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Theorem dyaddisjlem 18950
Description: Lemma for dyaddisj 18951. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
dyaddisjlem  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, A, y    x, D, y   
x, F, y

Proof of Theorem dyaddisjlem
StepHypRef Expression
1 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  A  e.  ZZ )
2 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  C  e.  NN0 )
3 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
43dyadval 18947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( A F C )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
51, 2, 4syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A F C )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
65fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( (,) `  ( A F C ) )  =  ( (,) `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
)
7 df-ov 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  =  ( (,) `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
86, 7syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( (,) `  ( A F C ) )  =  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
9 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  B  e.  ZZ )
10 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  D  e.  NN0 )
113dyadval 18947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  NN0 )  -> 
( B F D )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) >. )
129, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B F D )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) >. )
1312fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( (,) `  ( B F D ) )  =  ( (,) `  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) >. )
)
14 df-ov 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  =  ( (,) `  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) >. )
1513, 14syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( (,) `  ( B F D ) )  =  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) ) )
168, 15ineq12d 3371 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  ( ( ( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  i^i  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) ) ) )
17 incom 3361 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  i^i  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) ) )  =  ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) )  i^i  (
( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
1816, 17syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  ( ( ( B  /  (
2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) )  i^i  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) ) )
1918adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  i^i  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) (,) (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) ) )
201zred 10117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  A  e.  RR )
2120recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  A  e.  CC )
22 2nn 9877 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
23 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ C
)  e.  NN )
2422, 2, 23sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ C
)  e.  NN )
2524nncnd 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ C
)  e.  CC )
26 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  D  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ D
)  e.  NN )
2722, 10, 26sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ D
)  e.  NN )
2827nncnd 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ D
)  e.  CC )
2924nnne0d 9790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ C
)  =/=  0 )
3021, 25, 28, 29div13d 9560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  =  ( ( ( 2 ^ D
)  /  ( 2 ^ C ) )  x.  A ) )
31 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
3231a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
2  e.  CC )
33 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
3433a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
2  =/=  0 )
352nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  C  e.  ZZ )
3610nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  D  e.  ZZ )
3732, 34, 35, 36expsubd 11256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ ( D  -  C )
)  =  ( ( 2 ^ D )  /  ( 2 ^ C ) ) )
38 2z 10054 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
39 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  C  <_  D )
40 znn0sub 10065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  <_  D  <->  ( D  -  C )  e.  NN0 ) )
4135, 36, 40syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( C  <_  D  <->  ( D  -  C )  e.  NN0 ) )
4239, 41mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( D  -  C
)  e.  NN0 )
43 zexpcl 11118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( D  -  C
)  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( D  -  C )
)  e.  ZZ )
4438, 42, 43sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ ( D  -  C )
)  e.  ZZ )
4537, 44eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( 2 ^ D )  /  (
2 ^ C ) )  e.  ZZ )
4645, 1zmulcld 10123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( 2 ^ D )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  A
)  e.  ZZ )
4730, 46eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  e.  ZZ )
48 zltp1le 10067 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  e.  ZZ )  ->  ( B  < 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  <->  ( B  + 
1 )  <_  (
( A  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
499, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  <  (
( A  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) )  <-> 
( B  +  1 )  <_  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D
) ) ) )
509zred 10117 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  ->  B  e.  RR )
5120, 24nndivred 9794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
5227nnred 9761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( 2 ^ D
)  e.  RR )
5327nngt0d 9789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
0  <  ( 2 ^ D ) )
54 ltdivmul2 9631 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ D )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) )  < 
( A  /  (
2 ^ C ) )  <->  B  <  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
5550, 51, 52, 53, 54syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <->  B  <  ( ( A  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
56 peano2re 8985 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
5750, 56syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  +  1 )  e.  RR )
58 ledivmul2 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  +  1 )  e.  RR  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ D )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_  ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <->  ( B  +  1 )  <_ 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) ) ) )
5957, 51, 52, 53, 58syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <->  ( B  +  1 )  <_ 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) ) ) )
6049, 55, 593bitr4d 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <->  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_ 
( A  /  (
2 ^ C ) ) ) )
6150, 27nndivred 9794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR )
6261rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR* )
6357, 27nndivred 9794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR )
6463rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR* )
6551rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
66 peano2re 8985 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
6720, 66syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  +  1 )  e.  RR )
6867, 24nndivred 9794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
6968rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
70 ioodisj 10765 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) )  e. 
RR*  /\  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  e. 
RR* )  /\  (
( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR* ) )  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  i^i  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) (,) (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  =  (/) )
7170ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  e.  RR*  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR* )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR*  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
)  ->  ( (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_  ( A  / 
( 2 ^ C
) )  ->  (
( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) (,) (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) )  i^i  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )  =  (/) ) )
7262, 64, 65, 69, 71syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  -> 
( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) )  i^i  (
( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  =  (/) ) )
7360, 72sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  -> 
( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) )  i^i  (
( A  /  (
2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  =  (/) ) )
7473imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  i^i  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) (,) (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  =  (/) )
7519, 74eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) )
76 3mix3 1126 . . 3  |-  ( ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/)  ->  (
( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
7775, 76syl 15 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) )  C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
7851adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR )
7968adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR )
80 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( B  /  (
2 ^ D ) ) )
8167recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  +  1 )  e.  CC )
8281, 25, 28, 29div13d 9560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  =  ( ( ( 2 ^ D
)  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( A  + 
1 ) ) )
831peano2zd 10120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( A  +  1 )  e.  ZZ )
8445, 83zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( 2 ^ D )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  ( A  +  1 ) )  e.  ZZ )
8582, 84eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  e.  ZZ )
86 zltp1le 10067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  e.  ZZ )  ->  ( B  < 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) )  <->  ( B  + 
1 )  <_  (
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
879, 85, 86syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( B  <  (
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) )  <-> 
( B  +  1 )  <_  ( (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
88 ltdivmul2 9631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ D )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) )  < 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <->  B  <  ( ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
8950, 68, 52, 53, 88syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <-> 
B  <  ( (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
90 ledivmul2 9633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ D )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  <->  ( B  +  1 )  <_ 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  x.  (
2 ^ D ) ) ) )
9157, 68, 52, 53, 90syl112anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) )  <_  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <-> 
( B  +  1 )  <_  ( (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  x.  ( 2 ^ D ) ) ) )
9287, 89, 913bitr4d 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  <  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <-> 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
9392biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) )  <_  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )
9493adantrl 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )
95 iccss 10718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )  /\  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( B  /  (
2 ^ D ) )  /\  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )  -> 
( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) [,] (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) )  C_  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
9678, 79, 80, 94, 95syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) [,] ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) )  C_  (
( A  /  (
2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
9712fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( [,] `  ( B F D ) )  =  ( [,] `  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) >. )
)
98 df-ov 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) )  =  ( [,] `  <. ( B  /  ( 2 ^ D ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) >. )
9997, 98syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( [,] `  ( B F D ) )  =  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) [,] ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) ) ) )
10099adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( [,] `  ( B F D ) )  =  ( ( B  /  (
2 ^ D ) ) [,] ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) )
1015fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( [,] `  ( A F C ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
)
102 df-ov 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
103101, 102syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( [,] `  ( A F C ) )  =  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
104103adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( [,] `  ( A F C ) )  =  ( ( A  /  (
2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
10596, 100, 1043sstr4d 3221 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( [,] `  ( B F D ) )  C_  ( [,] `  ( A F C ) ) )
106 3mix2 1125 . . . . 5  |-  ( ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) )  C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
107105, 106syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  /\  ( B  /  (
2 ^ D ) )  <  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) )  C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
108107anassrs 629 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 )
)  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( B  /  (
2 ^ D ) ) )  /\  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  < 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )  ->  (
( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
10916adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  ( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  i^i  ( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) (,) (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) ) )
110 ioodisj 10765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e. 
RR*  /\  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e. 
RR* )  /\  (
( B  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR*  /\  (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) )  e.  RR* ) )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  i^i  ( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) (,) (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) )  =  (/) )
111110ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR*  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )  /\  ( ( B  / 
( 2 ^ D
) )  e.  RR*  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ D ) )  e.  RR* )
)  ->  ( (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <_  ( B  / 
( 2 ^ D
) )  ->  (
( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) (,) (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  i^i  ( ( B  /  ( 2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ D
) ) ) )  =  (/) ) )
11265, 69, 62, 64, 111syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) )  -> 
( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )  i^i  (
( B  /  (
2 ^ D ) ) (,) ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) )  =  (/) ) )
113112imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) (,) ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  i^i  ( ( B  / 
( 2 ^ D
) ) (,) (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ D ) ) ) )  =  (/) )
114109, 113eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) )
115114, 76syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) )  C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
116115adantlr 695 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 )
)  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( B  /  (
2 ^ D ) ) )  /\  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <_  ( B  / 
( 2 ^ D
) ) )  -> 
( ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
11761adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( B  / 
( 2 ^ D
) )  e.  RR )
11868adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR )
119108, 116, 117, 118ltlecasei 8928 . 2  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( B  /  ( 2 ^ D ) ) )  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) )  C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
12077, 119, 61, 51ltlecasei 8928 1  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  C  <_  D )  -> 
( ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  \/  ( [,] `  ( B F D ) ) 
C_  ( [,] `  ( A F C ) )  \/  ( ( (,) `  ( A F C ) )  i^i  ( (,) `  ( B F D ) ) )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   <.cop 3643   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   ^cexp 11104
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-seq 11047  df-exp 11105
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