MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadf Unicode version

Theorem dyadf 18946
Description: The function  F returns the endpoints of a dyadic rational covering of the real line. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
dyadf  |-  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
Distinct variable group:    x, y, F

Proof of Theorem dyadf
StepHypRef Expression
1 zre 10028 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
21adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  e.  RR )
32lep1d 9688 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  <_  ( x  + 
1 ) )
4 peano2re 8985 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
52, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  +  1 )  e.  RR )
6 2nn 9877 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
7 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  NN )
86, 7mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( 2 ^ y )  e.  NN )
98adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  NN )
109nnred 9761 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  RR )
119nngt0d 9789 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( 2 ^ y ) )
12 lediv1 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( x  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ y )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ y ) ) )  ->  ( x  <_  ( x  +  1 )  <->  ( x  / 
( 2 ^ y
) )  <_  (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) ) )
132, 5, 10, 11, 12syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  (
x  +  1 )  <-> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  <_  ( (
x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) ) )
143, 13mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  <_  ( (
x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) )
15 df-br 4024 . . . . 5  |-  ( ( x  /  ( 2 ^ y ) )  <_  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) )  <->  <. ( x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) ) >.  e.  <_  )
1614, 15sylib 188 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  <_  )
17 nndivre 9781 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 2 ^ y
)  e.  NN )  ->  ( x  / 
( 2 ^ y
) )  e.  RR )
181, 8, 17syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )
191, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
20 nndivre 9781 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR  /\  ( 2 ^ y
)  e.  NN )  ->  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) )  e.  RR )
2119, 8, 20syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )
22 opelxpi 4721 . . . . 5  |-  ( ( ( x  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR  /\  ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )  ->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2318, 21, 22syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
24 elin 3358 . . . 4  |-  ( <.
( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <-> 
( <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  <_  /\  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) ) )
2516, 23, 24sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2625rgen2 2639 . 2  |-  A. x  e.  ZZ  A. y  e. 
NN0  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
27 dyadmbl.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
2827fmpt2 6191 . 2  |-  ( A. x  e.  ZZ  A. y  e.  NN0  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2926, 28mpbi 199 1  |-  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    i^i cin 3151   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   -->wf 5251  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ^cexp 11104
This theorem is referenced by:  dyaddisj  18951  dyadmax  18953  dyadmbllem  18954  dyadmbl  18955  opnmbllem  18956
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator