MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadf Unicode version

Theorem dyadf 18962
Description: The function  F returns the endpoints of a dyadic rational covering of the real line. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
dyadf  |-  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
Distinct variable group:    x, y, F

Proof of Theorem dyadf
StepHypRef Expression
1 zre 10044 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
21adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  e.  RR )
32lep1d 9704 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  x  <_  ( x  + 
1 ) )
4 peano2re 9001 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
52, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  +  1 )  e.  RR )
6 2nn 9893 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
7 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  NN )
86, 7mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( 2 ^ y )  e.  NN )
98adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  NN )
109nnred 9777 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ y
)  e.  RR )
119nngt0d 9805 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( 2 ^ y ) )
12 lediv1 9637 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( x  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ y )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ y ) ) )  ->  ( x  <_  ( x  +  1 )  <->  ( x  / 
( 2 ^ y
) )  <_  (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) ) )
132, 5, 10, 11, 12syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  (
x  +  1 )  <-> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  <_  ( (
x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) ) )
143, 13mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  <_  ( (
x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) )
15 df-br 4040 . . . . 5  |-  ( ( x  /  ( 2 ^ y ) )  <_  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) )  <->  <. ( x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) ) >.  e.  <_  )
1614, 15sylib 188 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  <_  )
17 nndivre 9797 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 2 ^ y
)  e.  NN )  ->  ( x  / 
( 2 ^ y
) )  e.  RR )
181, 8, 17syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( x  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )
191, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
x  +  1 )  e.  RR )
20 nndivre 9797 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  +  1 )  e.  RR  /\  ( 2 ^ y
)  e.  NN )  ->  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) )  e.  RR )
2119, 8, 20syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )
22 opelxpi 4737 . . . . 5  |-  ( ( ( x  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR  /\  ( ( x  + 
1 )  /  (
2 ^ y ) )  e.  RR )  ->  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2318, 21, 22syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
24 elin 3371 . . . 4  |-  ( <.
( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <-> 
( <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  <_  /\  <. (
x  /  ( 2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  / 
( 2 ^ y
) ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) ) )
2516, 23, 24sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN0 )  ->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2625rgen2 2652 . 2  |-  A. x  e.  ZZ  A. y  e. 
NN0  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
27 dyadmbl.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
2827fmpt2 6207 . 2  |-  ( A. x  e.  ZZ  A. y  e.  NN0  <. ( x  / 
( 2 ^ y
) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) )
>.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2926, 28mpbi 199 1  |-  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    i^i cin 3164   <.cop 3656   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   -->wf 5267  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  dyaddisj  18967  dyadmax  18969  dyadmbllem  18970  dyadmbl  18971  opnmbllem  18972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator