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Theorem dyadmax 19495
Description: Any nonempty set of dyadic rational intervals has a maximal element. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
Assertion
Ref Expression
dyadmax  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) )
Distinct variable groups:    x, y    z, w, x, y, A   
w, F, x, y, z

Proof of Theorem dyadmax
Dummy variables  c 
d  a  b  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltweuz 11306 . . . . 5  |-  <  We  ( ZZ>= `  0 )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  <  We  ( ZZ>= `  0 )
)
3 nn0ex 10232 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
43rabex 4357 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  e.  _V
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  e.  _V )
6 ssrab2 3430 . . . . . 6  |-  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  C_  NN0
7 nn0uz 10525 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
86, 7sseqtri 3382 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  C_  ( ZZ>= ` 
0 )
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  C_  ( ZZ>= ` 
0 ) )
10 id 21 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) )
11 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
1211dyadf 19488 . . . . . . . . . . . 12  |-  F :
( ZZ  X.  NN0 )
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )
13 ffn 5594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( ZZ  X.  NN0 ) --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  F  Fn  ( ZZ  X.  NN0 ) )
14 ovelrn 6225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  ( ZZ  X.  NN0 )  ->  ( z  e.  ran  F  <->  E. a  e.  ZZ  E. n  e. 
NN0  z  =  ( a F n ) ) )
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ran  F  <->  E. a  e.  ZZ  E. n  e. 
NN0  z  =  ( a F n ) )
16 rexcom 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. n  e.  NN0  z  =  ( a F n )  <->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
1715, 16bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ran  F  <->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
1817biimpi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ran  F  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
1918rgen 2773 . . . . . . . 8  |-  A. z  e.  ran  F E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )
20 ssralv 3409 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ran  F  ->  ( A. z  e.  ran  F E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  ->  A. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) ) )
2119, 20mpi 17 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ran  F  ->  A. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
22 r19.2z 3719 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )  ->  E. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
2310, 21, 22syl2anr 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
24 rexcom 2871 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  A  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. n  e.  NN0  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
2523, 24sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. n  e.  NN0  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
26 rabn0 3649 . . . . 5  |-  ( { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  NN0  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) )
2725, 26sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  =/=  (/) )
28 wereu 4581 . . . 4  |-  ( (  <  We  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  ( { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  e.  _V  /\  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
)  /\  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  =/=  (/) ) )  ->  E! c  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
292, 5, 9, 27, 28syl13anc 1187 . . 3  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E! c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
30 reurex 2924 . . 3  |-  ( E! c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. c  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
3129, 30syl 16 . 2  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e.  {
n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c
)
32 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( n  =  c  ->  (
a F n )  =  ( a F c ) )
3332eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( n  =  c  ->  (
z  =  ( a F n )  <->  z  =  ( a F c ) ) )
34332rexbidv 2750 . . . . 5  |-  ( n  =  c  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c ) ) )
3534elrab 3094 . . . 4  |-  ( c  e.  { n  e. 
NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  <->  ( c  e. 
NN0  /\  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c ) ) )
36 eqeq1 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  ( a F n )  <->  w  =  ( a F n ) ) )
37 oveq1 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
a F n )  =  ( b F n ) )
3837eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  (
w  =  ( a F n )  <->  w  =  ( b F n ) ) )
3936, 38cbvrex2v 2943 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F n ) )
40 oveq2 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  d  ->  (
b F n )  =  ( b F d ) )
4140eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  d  ->  (
w  =  ( b F n )  <->  w  =  ( b F d ) ) )
42412rexbidv 2750 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  d  ->  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F n )  <->  E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) )
4339, 42syl5bb 250 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  d  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n )  <->  E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) )
4443ralrab 3098 . . . . . . 7  |-  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  < 
c  <->  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
45 r19.23v 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. w  e.  A  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <-> 
( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
4645ralbii 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. d  e.  NN0  A. w  e.  A  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <->  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
47 ralcom 2870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. d  e.  NN0  A. w  e.  A  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <->  A. w  e.  A  A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
4846, 47bitr3i 244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  <->  A. w  e.  A  A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )
49 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  ->  A  C_  ran  F )
5049sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  ran  F )
51 ovelrn 6225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  Fn  ( ZZ  X.  NN0 )  ->  ( w  e.  ran  F  <->  E. b  e.  ZZ  E. d  e. 
NN0  w  =  ( b F d ) ) )
5212, 13, 51mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ran  F  <->  E. b  e.  ZZ  E. d  e. 
NN0  w  =  ( b F d ) )
5350, 52sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  E. b  e.  ZZ  E. d  e. 
NN0  w  =  ( b F d ) )
54 rexcom 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. b  e.  ZZ  E. d  e.  NN0  w  =  ( b F d )  <->  E. d  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )
55 r19.29 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. d  e. 
NN0  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) )
5655expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. d  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) ) )
5754, 56sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. b  e.  ZZ  E. d  e.  NN0  w  =  ( b F d )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) ) )
5853, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) ) ) )
59 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  a  e.  ZZ )
6059ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
61 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
62 simp-5r 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  c  e.  NN0 )
63 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  d  e.  NN0 )
64 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  -.  d  <  c )
65 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) )
6611, 60, 61, 62, 63, 64, 65dyadmaxlem 19494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  (
a  =  b  /\  c  =  d )
)
67 oveq12 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( a  =  b  /\  c  =  d )  ->  ( a F c )  =  ( b F d ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( -.  d  <  c  /\  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )  ->  (
a F c )  =  ( b F d ) )
6968exp32 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( -.  d  <  c  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) )  ->  (
a F c )  =  ( b F d ) ) ) )
70 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  ( [,] `  w )  =  ( [,] `  (
b F d ) ) )
7170sseq2d 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  <->  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) ) ) )
72 eqeq2 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( a F c )  =  w  <->  ( a F c )  =  ( b F d ) ) )
7371, 72imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w )  <->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) )  ->  ( a F c )  =  ( b F d ) ) ) )
7473imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( b F d )  ->  (
( -.  d  < 
c  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) )  <->  ( -.  d  <  c  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  ( b F d ) )  ->  (
a F c )  =  ( b F d ) ) ) ) )
7569, 74syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  (
d  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( w  =  ( b F d )  ->  ( -.  d  <  c  -> 
( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) ) )
7675anassrs 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  (
w  =  ( b F d )  -> 
( -.  d  < 
c  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) ) )
7776rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  -> 
( -.  d  < 
c  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) ) )
7877a2d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  ->  (
( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  (
( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) ) )
7978imp3a 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  /\  d  e.  NN0 )  ->  (
( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
8079rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( E. d  e.  NN0  ( ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  /\  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d ) )  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
8158, 80syld 43 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  -> 
( a F c )  =  w ) ) )
8281ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  ->  ( A. w  e.  A  A. d  e.  NN0  ( E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) )
8348, 82syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  ->  ( A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) ) )
8483imp 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  (
z  e.  A  /\  a  e.  ZZ )
)  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) )
8584an32s 781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  (
a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  (
a F c )  =  w ) )
86 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  ( [,] `  z )  =  ( [,] `  (
a F c ) ) )
8786sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  (
( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  <->  ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w ) ) )
88 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  (
z  =  w  <->  ( a F c )  =  w ) )
8987, 88imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  (
( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w )  <->  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
9089ralbidv 2727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( a F c )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w )  <->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  ( a F c ) )  C_  ( [,] `  w )  ->  ( a F c )  =  w ) ) )
9185, 90syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  ( z  e.  A  /\  a  e.  ZZ ) )  -> 
( z  =  ( a F c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9291anassrs 631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  z  e.  A
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( z  =  ( a F c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9392rexlimdva 2832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  /\  z  e.  A
)  ->  ( E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9493reximdva 2820 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  /\  A. d  e.  NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c ) )  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
9594ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( A. d  e. 
NN0  ( E. w  e.  A  E. b  e.  ZZ  w  =  ( b F d )  ->  -.  d  <  c )  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9644, 95syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  ( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9796com23 75 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c )  ->  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9897expimpd 588 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
( c  e.  NN0  /\ 
E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F c ) )  ->  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
9935, 98syl5bi 210 . . 3  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  (
c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  ->  ( A. d  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  < 
c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) ) )
10099rexlimdv 2831 . 2  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. c  e.  { n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) } A. d  e. 
{ n  e.  NN0  |  E. z  e.  A  E. a  e.  ZZ  z  =  ( a F n ) }  -.  d  <  c  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z
)  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) ) )
10131, 100mpd 15 1  |-  ( ( A  C_  ran  F  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  A  A. w  e.  A  ( ( [,] `  z )  C_  ( [,] `  w )  ->  z  =  w ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   E!wreu 2709   {crab 2711   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   <.cop 3819   class class class wbr 4215    We wwe 4543    X. cxp 4879   ran crn 4882    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    < clt 9125    <_ cle 9126    / cdiv 9682   2c2 10054   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   [,]cicc 10924   ^cexp 11387
This theorem is referenced by:  dyadmbllem  19496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cmp 17455  df-ovol 19366
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