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Theorem dyadmaxlem 19167
Description: Lemma for dyadmax 19168. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
dyadmax.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
dyadmax.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
dyadmax.4  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
dyadmax.5  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
dyadmax.6  |-  ( ph  ->  -.  D  <  C
)
dyadmax.7  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) ) )
Assertion
Ref Expression
dyadmaxlem  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  /\  C  =  D ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, A, y    x, D, y   
x, F, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem dyadmaxlem
StepHypRef Expression
1 dyadmax.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) ) )
2 dyadmax.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
3 dyadmax.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
4 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
54dyadval 19162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( A F C )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
62, 3, 5syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A F C )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
76fveq2d 5636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
)
8 df-ov 5984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
97, 8syl6eqr 2416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) )  =  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
10 dyadmax.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
11 dyadmax.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
124dyadss 19164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e. 
NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  ->  (
( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  ->  D  <_  C
) )
132, 10, 3, 11, 12syl22anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  ->  D  <_  C
) )
141, 13mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  <_  C )
15 dyadmax.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  D  <  C
)
1611nn0red 10168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
173nn0red 10168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1816, 17eqleltd 9110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  =  C  <-> 
( D  <_  C  /\  -.  D  <  C
) ) )
1914, 15, 18mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  =  C )
2019oveq2d 5997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B F D )  =  ( B F C ) )
214dyadval 19162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( B F C )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
2210, 3, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B F C )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
2320, 22eqtrd 2398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B F D )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
2423fveq2d 5636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( B F D ) )  =  ( [,] `  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
)
25 df-ov 5984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  =  ( [,] `  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
2624, 25syl6eqr 2416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( B F D ) )  =  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
271, 9, 263sstr3d 3306 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  C_  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
282zred 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
29 2nn 10026 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
30 nnexpcl 11281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ C
)  e.  NN )
3129, 3, 30sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ C
)  e.  NN )
3228, 31nndivred 9941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
3332rexrd 9028 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
34 peano2re 9132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
3528, 34syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
3635, 31nndivred 9941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
3736rexrd 9028 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
3828lep1d 9835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  +  1 ) )
3931nnred 9908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ C
)  e.  RR )
4031nngt0d 9936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( 2 ^ C ) )
41 lediv1 9768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ C )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( A  <_  ( A  +  1 )  <->  ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
4228, 35, 39, 40, 41syl112anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <_  ( A  +  1 )  <-> 
( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
4338, 42mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )
44 ubicc2 10906 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )  ->  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
4533, 37, 43, 44syl3anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
4627, 45sseldd 3267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
4710zred 10268 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4847, 31nndivred 9941 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
49 peano2re 9132 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
5047, 49syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
5150, 31nndivred 9941 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
52 elicc2 10868 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( B  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <->  ( ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( B  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  /\  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) ) )
5348, 51, 52syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  ( ( B  /  (
2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <-> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) ) )
5446, 53mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
5554simp3d 970 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )
56 lediv1 9768 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  1 )  e.  RR  /\  ( B  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ C )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( A  +  1 )  <_  ( B  + 
1 )  <->  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
5735, 50, 39, 40, 56syl112anc 1187 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  <_  ( B  +  1 )  <-> 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
5855, 57mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  <_  ( B  +  1 ) )
59 1re 8984 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6059a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
6128, 47, 60leadd1d 9513 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  1 )  <_  ( B  + 
1 ) ) )
6258, 61mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
63 lbicc2 10905 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
6433, 37, 43, 63syl3anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
6527, 64sseldd 3267 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
66 elicc2 10868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )  ->  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( B  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <->  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( B  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( A  /  (
2 ^ C ) )  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) ) )
6748, 51, 66syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  ( ( B  /  (
2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <-> 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) ) )
6865, 67mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
6968simp2d 969 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )
70 lediv1 9768 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( 2 ^ C
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( B  <_  A 
<->  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
7147, 28, 39, 40, 70syl112anc 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  <_  A  <->  ( B  /  ( 2 ^ C ) )  <_  ( A  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
7269, 71mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  B  <_  A )
7328, 47letri3d 9108 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
7462, 72, 73mpbir2and 888 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  B )
7519eqcomd 2371 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  D )
7674, 75jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  /\  C  =  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    C_ wss 3238   <.cop 3732   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    e. cmpt2 5983   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885    + caddc 8887   RR*cxr 9013    < clt 9014    <_ cle 9015    / cdiv 9570   NNcn 9893   2c2 9942   NN0cn0 10114   ZZcz 10175   [,]cicc 10812   ^cexp 11269
This theorem is referenced by:  dyadmax  19168
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-sum 12367  df-rest 13537  df-topgen 13554  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-cmp 17331  df-ovol 19039
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