MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadmaxlem Structured version   Unicode version

Theorem dyadmaxlem 19520
Description: Lemma for dyadmax 19521. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dyadmbl.1  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
dyadmax.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
dyadmax.3  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
dyadmax.4  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
dyadmax.5  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
dyadmax.6  |-  ( ph  ->  -.  D  <  C
)
dyadmax.7  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) ) )
Assertion
Ref Expression
dyadmaxlem  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  /\  C  =  D ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, C, y    x, A, y    x, D, y   
x, F, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem dyadmaxlem
StepHypRef Expression
1 dyadmax.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) ) )
2 dyadmax.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
3 dyadmax.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
4 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( x  e.  ZZ ,  y  e.  NN0  |->  <. ( x  /  (
2 ^ y ) ) ,  ( ( x  +  1 )  /  ( 2 ^ y ) ) >.
)
54dyadval 19515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( A F C )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
62, 3, 5syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A F C )  =  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
76fveq2d 5761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
)
8 df-ov 6113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  =  ( [,] `  <. ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
97, 8syl6eqr 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( A F C ) )  =  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
10 dyadmax.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
11 dyadmax.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
124dyadss 19517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e. 
NN0  /\  D  e.  NN0 ) )  ->  (
( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  ->  D  <_  C
) )
132, 10, 3, 11, 12syl22anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( [,] `  ( A F C ) ) 
C_  ( [,] `  ( B F D ) )  ->  D  <_  C
) )
141, 13mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  <_  C )
15 dyadmax.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  D  <  C
)
1611nn0red 10306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
173nn0red 10306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
1816, 17eqleltd 9248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  =  C  <-> 
( D  <_  C  /\  -.  D  <  C
) ) )
1914, 15, 18mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  =  C )
2019oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B F D )  =  ( B F C ) )
214dyadval 19515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( B F C )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
2210, 3, 21syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B F C )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
2320, 22eqtrd 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B F D )  =  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) >. )
2423fveq2d 5761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( B F D ) )  =  ( [,] `  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
)
25 df-ov 6113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) )  =  ( [,] `  <. ( B  /  ( 2 ^ C ) ) ,  ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) >. )
2624, 25syl6eqr 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( [,] `  ( B F D ) )  =  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
271, 9, 263sstr3d 3376 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  C_  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
282zred 10406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
29 2nn 10164 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
30 nnexpcl 11425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ C
)  e.  NN )
3129, 3, 30sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ C
)  e.  NN )
3228, 31nndivred 10079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
3332rexrd 9165 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
34 peano2re 9270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
3528, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
3635, 31nndivred 10079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
3736rexrd 9165 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR* )
3828lep1d 9973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  +  1 ) )
3931nnred 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ C
)  e.  RR )
4031nngt0d 10074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  ( 2 ^ C ) )
41 lediv1 9906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ C )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( A  <_  ( A  +  1 )  <->  ( A  / 
( 2 ^ C
) )  <_  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
4228, 35, 39, 40, 41syl112anc 1189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  <_  ( A  +  1 )  <-> 
( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
4338, 42mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )
44 ubicc2 11045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )  ->  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
4533, 37, 43, 44syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
4627, 45sseldd 3335 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
4710zred 10406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4847, 31nndivred 10079 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
49 peano2re 9270 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
5047, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
5150, 31nndivred 10079 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )
52 elicc2 11006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( B  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <->  ( ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( B  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  /\  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) ) )
5348, 51, 52syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  ( ( B  /  (
2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <-> 
( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) ) )
5446, 53mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
5554simp3d 972 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )
56 lediv1 9906 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  1 )  e.  RR  /\  ( B  +  1
)  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ C )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( ( A  +  1 )  <_  ( B  + 
1 )  <->  ( ( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) )
5735, 50, 39, 40, 56syl112anc 1189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  <_  ( B  +  1 )  <-> 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
5855, 57mpbird 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  <_  ( B  +  1 ) )
59 1re 9121 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6059a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
6128, 47, 60leadd1d 9651 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  +  1 )  <_  ( B  + 
1 ) ) )
6258, 61mpbird 225 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
63 lbicc2 11044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR*  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( A  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) )  ->  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( A  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
6433, 37, 43, 63syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( A  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
6527, 64sseldd 3335 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  (
2 ^ C ) )  e.  ( ( B  /  ( 2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
66 elicc2 11006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) )  e.  RR )  ->  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  ( ( B  / 
( 2 ^ C
) ) [,] (
( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <->  ( ( A  /  ( 2 ^ C ) )  e.  RR  /\  ( B  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( A  /  (
2 ^ C ) )  /\  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  <_ 
( ( B  + 
1 )  /  (
2 ^ C ) ) ) ) )
6748, 51, 66syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  ( ( B  /  (
2 ^ C ) ) [,] ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) )  <-> 
( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) ) )
6865, 67mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
( 2 ^ C
) )  e.  RR  /\  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) )  /\  ( A  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( ( B  +  1 )  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
6968simp2d 971 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) )
70 lediv1 9906 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( 2 ^ C
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ C ) ) )  ->  ( B  <_  A 
<->  ( B  /  (
2 ^ C ) )  <_  ( A  /  ( 2 ^ C ) ) ) )
7147, 28, 39, 40, 70syl112anc 1189 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  <_  A  <->  ( B  /  ( 2 ^ C ) )  <_  ( A  / 
( 2 ^ C
) ) ) )
7269, 71mpbird 225 . . 3  |-  ( ph  ->  B  <_  A )
7328, 47letri3d 9246 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
7462, 72, 73mpbir2and 890 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  B )
7519eqcomd 2447 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  D )
7674, 75jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  /\  C  =  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727    C_ wss 3306   <.cop 3841   class class class wbr 4237   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022    + caddc 9024   RR*cxr 9150    < clt 9151    <_ cle 9152    / cdiv 9708   NNcn 10031   2c2 10080   NN0cn0 10252   ZZcz 10313   [,]cicc 10950   ^cexp 11413
This theorem is referenced by:  dyadmax  19521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-sum 12511  df-rest 13681  df-topgen 13698  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-cmp 17481  df-ovol 19392
  Copyright terms: Public domain W3C validator