Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dyadss Structured version   Unicode version

 Description: Two closed dyadic rational intervals are either in a subset relationship or are almost disjoint (the interiors are disjoint). (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . 6
2 simpllr 736 . . . . . . . . . 10
3 simplrr 738 . . . . . . . . . 10
4 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . 11
54dyadval 19484 . . . . . . . . . 10
62, 3, 5syl2anc 643 . . . . . . . . 9
76fveq2d 5732 . . . . . . . 8
8 df-ov 6084 . . . . . . . 8
97, 8syl6eqr 2486 . . . . . . 7
102zred 10375 . . . . . . . . 9
11 2nn 10133 . . . . . . . . . 10
12 nnexpcl 11394 . . . . . . . . . 10
1311, 3, 12sylancr 645 . . . . . . . . 9
1410, 13nndivred 10048 . . . . . . . 8
15 peano2re 9239 . . . . . . . . . 10
1610, 15syl 16 . . . . . . . . 9
1716, 13nndivred 10048 . . . . . . . 8
18 iccssre 10992 . . . . . . . 8
1914, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . 7
209, 19eqsstrd 3382 . . . . . 6
21 ovolss 19381 . . . . . 6
221, 20, 21syl2anc 643 . . . . 5
23 simplll 735 . . . . . 6
24 simplrl 737 . . . . . 6
254dyadovol 19485 . . . . . 6
2623, 24, 25syl2anc 643 . . . . 5
274dyadovol 19485 . . . . . 6
282, 3, 27syl2anc 643 . . . . 5
2922, 26, 283brtr3d 4241 . . . 4
30 nnexpcl 11394 . . . . . 6
3111, 24, 30sylancr 645 . . . . 5
32 nnre 10007 . . . . . . 7
33 nngt0 10029 . . . . . . 7
3432, 33jca 519 . . . . . 6
35 nnre 10007 . . . . . . 7
36 nngt0 10029 . . . . . . 7
3735, 36jca 519 . . . . . 6
38 lerec 9892 . . . . . 6
3934, 37, 38syl2an 464 . . . . 5
4013, 31, 39syl2anc 643 . . . 4
4129, 40mpbird 224 . . 3
42 2re 10069 . . . . 5
4342a1i 11 . . . 4
443nn0zd 10373 . . . 4
4524nn0zd 10373 . . . 4
46 1lt2 10142 . . . . 5
4746a1i 11 . . . 4
4843, 44, 45, 47leexp2d 11553 . . 3
4941, 48mpbird 224 . 2
5049ex 424 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wss 3320  cop 3817   class class class wbr 4212  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   clt 9120   cle 9121   cdiv 9677  cn 10000  c2 10049  cn0 10221  cz 10282  cicc 10919  cexp 11382  covol 19359 This theorem is referenced by:  dyadmaxlem  19489 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-ovol 19361
 Copyright terms: Public domain W3C validator