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Theorem e2ebindALT 29041
Description: Absorption of an existential quantifier of a double existential quantifier of non-distinct variables. The proof is derived by completeusersproof.c from User's Proof in VirtualDeductionProofs.txt. The User's Proof in html format is displayed in e2ebindVD 29024. (Contributed by Alan Sare, 11-Sep-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
e2ebindALT  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
)

Proof of Theorem e2ebindALT
StepHypRef Expression
1 ax10 2025 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. y  y  =  x )
2 nfe1 1747 . . . 4  |-  F/ y E. y ph
3219.9 1797 . . 3  |-  ( E. y E. y ph  <->  E. y ph )
4 excom 1756 . . . 4  |-  ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph )
5 nfa1 1806 . . . . . 6  |-  F/ y A. y  y  =  x
6 id 20 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. y  y  =  x )
7 biid 228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  <->  ph )
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ph  <->  ph ) )
98drex1 2059 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ph  <->  E. x ph ) )
106, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ph  <->  E. x ph ) )
115, 10alrimi 1781 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. y ( E. y ph  <->  E. x ph ) )
12 exbi 1591 . . . . 5  |-  ( A. y ( E. y ph 
<->  E. x ph )  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. y E. x ph ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. y E. x ph ) )
14 wl-bitr1 26220 . . . . 5  |-  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. y E. x ph )  ->  ( ( E. y E. x ph 
<->  E. x E. y ph )  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. x E. y ph ) ) )
1514impcom 420 . . . 4  |-  ( ( ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph )  /\  ( E. y E. y ph 
<->  E. y E. x ph ) )  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. x E. y ph ) )
164, 13, 15sylancr 645 . . 3  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. x E. y ph ) )
17 bitr3 28593 . . . 4  |-  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. x E. y ph )  ->  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. y ph )  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
) )
1817impcom 420 . . 3  |-  ( ( ( E. y E. y ph  <->  E. y ph )  /\  ( E. y E. y ph  <->  E. x E. y ph ) )  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph ) )
193, 16, 18sylancr 645 . 2  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
)
201, 19syl 16 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-ex 1551  df-nf 1554
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