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Theorem e2ebindVD 29004
Description: The following User's Proof is a Virtual Deduction proof (see: wvd1 28636) completed automatically by a Metamath tools program invoking mmj2 and the Metamath Proof Assistant. e2ebind 28628 is e2ebindVD 29004 without virtual deductions and was automatically derived from e2ebindVD 29004
1::  |-  ( ph  <->  ph )
2:1:  |-  ( A. y y  =  x  ->  ( ph  <->  ph ) )
3:2:  |-  ( A. y y  =  x  ->  ( E. y ph  <->  E. x ph  ) )
4::  |-  (. A. y y  =  x  ->.  A. y y  =  x ).
5:3,4:  |-  (. A. y y  =  x  ->.  ( E. y ph  <->  E. x  ph ) ).
6::  |-  ( A. y y  =  x  ->  A. y A. y y  =  x )
7:5,6:  |-  (. A. y y  =  x  ->.  A. y ( E. y ph  <->  E. x ph ) ).
8:7:  |-  (. A. y y  =  x  ->.  ( E. y E. y ph  <->  E. y E. x ph ) ).
9::  |-  ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph )
10:8,9:  |-  (. A. y y  =  x  ->.  ( E. y E. y ph  <->  E. x E. y ph ) ).
11::  |-  ( E. y ph  ->  A. y E. y ph )
12:11:  |-  ( E. y E. y ph  <->  E. y ph )
13:10,12:  |-  (. A. y y  =  x  ->.  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph ) ).
14:13:  |-  ( A. y y  =  x  ->  ( E. x E. y ph  <->  E.  y ph ) )
15::  |-  ( A. y y  =  x  <->  A. x x  =  y )
qed:14,15:  |-  ( A. x x  =  y  ->  ( E. x E. y ph  <->  E.  y ph ) )
(Contributed by Alan Sare, 27-Nov-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
e2ebindVD  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
)

Proof of Theorem e2ebindVD
StepHypRef Expression
1 ax10 1897 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. y  y  =  x )
2 hba1 1731 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  x  ->  A. y A. y 
y  =  x )
3 idn1 28641 . . . . . . . 8  |-  (. A. y  y  =  x  ->.  A. y  y  =  x ).
4 biid 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  <->  ph )
54a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( ph  <->  ph ) )
65drex1 1920 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. y ph  <->  E. x ph ) )
73, 6e1_ 28704 . . . . . . 7  |-  (. A. y  y  =  x  ->.  ( E. y ph  <->  E. x ph ) ).
82, 7gen11nv 28694 . . . . . 6  |-  (. A. y  y  =  x  ->.  A. y ( E. y ph 
<->  E. x ph ) ).
9 exbi 1571 . . . . . 6  |-  ( A. y ( E. y ph 
<->  E. x ph )  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. y E. x ph ) )
108, 9e1_ 28704 . . . . 5  |-  (. A. y  y  =  x  ->.  ( E. y E. y ph 
<->  E. y E. x ph ) ).
11 excom 1798 . . . . 5  |-  ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph )
12 bibi1 317 . . . . . 6  |-  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. y E. x ph )  ->  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. x E. y ph )  <->  ( E. y E. x ph  <->  E. x E. y ph ) ) )
1312biimprd 214 . . . . 5  |-  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. y E. x ph )  ->  ( ( E. y E. x ph 
<->  E. x E. y ph )  ->  ( E. y E. y ph  <->  E. x E. y ph ) ) )
1410, 11, 13e10 28772 . . . 4  |-  (. A. y  y  =  x  ->.  ( E. y E. y ph 
<->  E. x E. y ph ) ).
15 nfe1 1718 . . . . 5  |-  F/ y E. y ph
161519.9 1795 . . . 4  |-  ( E. y E. y ph  <->  E. y ph )
17 bitr3 28571 . . . 4  |-  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. x E. y ph )  ->  ( ( E. y E. y ph 
<->  E. y ph )  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
) )
1814, 16, 17e10 28772 . . 3  |-  (. A. y  y  =  x  ->.  ( E. x E. y ph 
<->  E. y ph ) ).
1918in1 28638 . 2  |-  ( A. y  y  =  x  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
)
201, 19syl 15 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. x E. y ph  <->  E. y ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-vd1 28637
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