Theorem ecelqsi 5511

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set.

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- (B e. A -> [B]R e. (A/.R))

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eceq2 5496	. . 3 |- (y = B -> [y]R = [B]R)
2	1	eleq1d 2210	. 2 |- (y = B -> ([y]R e. (A/.R) <-> [B]R e. (A/.R)))
3		eqid 2141	. . . 4 |- [y]R = [y]R
4		eceq2 5496	. . . . . 6 |- (x = y -> [x]R = [y]R)
5	4	eqeq2d 2152	. . . . 5 |- (x = y -> ([y]R = [x]R <-> [y]R = [y]R))
6	5	rcla4ev 2620	. . . 4 |- ((y e. A /\ [y]R = [y]R) -> E.x e. A [y]R = [x]R)
7	3, 6	mpan2 679	. . 3 |- (y e. A -> E.x e. A [y]R = [x]R)
8		ecelqsi.1	. . . . 5 |- R e. _V
9		ecexg 5483	. . . . 5 |- (R e. _V -> [y]R e. _V)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . 4 |- [y]R e. _V
11	10	elqs 5509	. . 3 |- ([y]R e. (A/.R) <-> E.x e. A [y]R = [x]R)
12	7, 11	sylibr 243	. 2 |- (y e. A -> [y]R e. (A/.R))
13	2, 12	vtoclga 2593	1 |- (B e. A -> [B]R e. (A/.R))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1586   e. wcel 1588  E.wrex 2356  _Vcvv 2538  [cec 5477  /.cqs 5478

This theorem is referenced by:  ecopqsi 5512  th3q 5537  1q 6575  addclpq 6576  mulclpq 6578  0r 6707  1sr 6708  m1r 6709  addclsr 6710  mulclsr 6711  ecelqsg 16555

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1592  ax-gen 1593  ax-8 1594  ax-9 1595  ax-10 1596  ax-11 1597  ax-12 1598  ax-13 1599  ax-14 1600  ax-17 1605  ax-4 1608  ax-5o 1610  ax-6o 1613  ax-9o 1763  ax-10o 1781  ax-16 1854  ax-11o 1864  ax-ext 2123  ax-sep 3606  ax-nul 3613  ax-pow 3649  ax-pr 3687  ax-un 3929

This theorem depends on definitions:  df-bi 220  df-or 338  df-an 339  df-ex 1616  df-sb 1816  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2129  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-ne 2268  df-rex 2360  df-v 2540  df-dif 2830  df-un 2832  df-in 2834  df-ss 2836  df-nul 3083  df-pw 3229  df-sn 3242  df-pr 3243  df-op 3246  df-uni 3367  df-br 3508  df-opab 3566  df-xp 4133  df-cnv 4135  df-dm 4137  df-rn 4138  df-res 4139  df-ima 4140  df-ec 5481  df-qs 5484

Copyright terms: Public domain