Theorem ecoprcom 4303

Description: Lemma used to transfer a commutative law via an equivalence relation.

Hypotheses

Ref	Expression
ecoprcom.1	|- C = ((S X. S)/.R)
ecoprcom.2	|- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = [<.D, G>.]R)
ecoprcom.3	|- (((z e. S /\ w e. S) /\ (x e. S /\ y e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
ecoprcom.4	|- D = H
ecoprcom.5	|- G = J

Assertion

Ref	Expression
ecoprcom	|- ((A e. C /\ B e. C) -> (AFB) = (BFA))

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,F,y,z,w   x,R,y,z,w   x,S,y,z,w   z,C,w

Proof of Theorem ecoprcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecoprcom.1	. 2 |- C = ((S X. S)/.R)
2		opreq1 3953	. . 3 |- ([<.x, y>.]R = A -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = (AF[<.z, w>.]R))
3		opreq2 3954	. . 3 |- ([<.x, y>.]R = A -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = ([<.z, w>.]RFA))
4	2, 3	eqeq12d 1481	. 2 |- ([<.x, y>.]R = A -> (([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) <-> (AF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RFA)))
5		opreq2 3954	. . 3 |- ([<.z, w>.]R = B -> (AF[<.z, w>.]R) = (AFB))
6		opreq1 3953	. . 3 |- ([<.z, w>.]R = B -> ([<.z, w>.]RFA) = (BFA))
7	5, 6	eqeq12d 1481	. 2 |- ([<.z, w>.]R = B -> ((AF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RFA) <-> (AFB) = (BFA)))
8		ecoprcom.4	. . . 4 |- D = H
9		ecoprcom.5	. . . 4 |- G = J
10		opeq12 2480	. . . . 5 |- ((D = H /\ G = J) -> <.D, G>. = <.H, J>.)
11		eceq2 4262	. . . . 5 |- (<.D, G>. = <.H, J>. -> [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R)
12	10, 11	syl 10	. . . 4 |- ((D = H /\ G = J) -> [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R)
13	8, 9, 12	mp2an 695	. . 3 |- [<.D, G>.]R = [<.H, J>.]R
14		ecoprcom.2	. . 3 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = [<.D, G>.]R)
15		ecoprcom.3	. . . 4 |- (((z e. S /\ w e. S) /\ (x e. S /\ y e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
16	15	ancoms 436	. . 3 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R) = [<.H, J>.]R)
17	13, 14, 16	3eqtr4a 1524	. 2 |- (((x e. S /\ y e. S) /\ (z e. S /\ w e. S)) -> ([<.x, y>.]RF[<.z, w>.]R) = ([<.z, w>.]RF[<.x, y>.]R))
18	1, 4, 7, 17	2ecoptocl 4288	1 |- ((A e. C /\ B e. C) -> (AFB) = (BFA))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  <.cop 2401   X. cxp 3158  (class class class)co 3948  [cec 4243  /.cqs 4244

This theorem is referenced by:  addcompq 5034  mulcompq 5036  addcomsr 5168  mulcomsr 5170  axaddcom 5247  axmulcom 5248

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fv 3188  df-opr 3950  df-ec 4247  df-qs 4250

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