Theorem ef4p 7340

Description: Separate out the first four terms of the infinite series expansion of the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
ef4p.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
ef4p.2	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
ef4p	|- (exp` A) = ((((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6)) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))

Distinct variable groups:   A,j,k,y   k,F

Proof of Theorem ef4p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef4p.1	. 2 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
2		ef4p.2	. 2 |- A e. CC
3		3nn 5947	. . 3 |- 3 e. NN
4	3	nnnn0 6054	. 2 |- 3 e. NN0
5		ax1cn 5241	. . . 4 |- 1 e. CC
6	5, 2	addcl 5292	. . 3 |- (1 + A) e. CC
7	2	sqcl 6545	. . . 4 |- (A^2) e. CC
8		2cn 5927	. . . 4 |- 2 e. CC
9		2ne0 5937	. . . 4 |- 2 =/= 0
10	7, 8, 9	divcl 5679	. . 3 |- ((A^2) / 2) e. CC
11	6, 10	addcl 5292	. 2 |- ((1 + A) + ((A^2) / 2)) e. CC
12		2nn0 6062	. . 3 |- 2 e. NN0
13		1nn0 6061	. . . 4 |- 1 e. NN0
14		0nn0 6060	. . . . 5 |- 0 e. NN0
15		0cn 5300	. . . . 5 |- 0 e. CC
16		efvalt 7250	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (exp` A) = sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k)))
17	2, 16	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (exp` A) = sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k))
18	1	eftval 7258	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
19	18	sumeq2i 6926	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. NN0 ((A^k) / (!` k))
20		nn0uz 6370	. . . . . . . 8 |- NN0 = (ZZ>` 0)
21	20	sumeq1i 6925	. . . . . . 7 |- sum_k e. NN0 (F` k) = sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k)
22	17, 19, 21	3eqtr2 1493	. . . . . 6 |- (exp` A) = sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k)
23		efclt 7254	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (exp` A) e. CC)
24	2, 23	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (exp` A) e. CC
25	22, 24	eqeltrr 1537	. . . . . . 7 |- sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k) e. CC
26	25	addid2 5303	. . . . . 6 |- (0 + sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k)) = sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k)
27	22, 26	eqtr4 1490	. . . . 5 |- (exp` A) = (0 + sum_k e. (ZZ>` 0)(F` k))
28	1, 2	eft0val 7339	. . . . 5 |- (F` 0) = 1
29	5	addid2 5303	. . . . . 6 |- (0 + 1) = 1
30	29	eqcomi 1471	. . . . 5 |- 1 = (0 + 1)
31	1, 2, 14, 15, 27, 28, 30, 30	efsep 7337	. . . 4 |- (exp` A) = (1 + sum_k e. (ZZ>` 1)(F` k))
32	1	eftval 7258	. . . . . 6 |- (1 e. NN0 -> (F` 1) = ((A^1) / (!` 1)))
33	13, 32	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F` 1) = ((A^1) / (!` 1))
34		exp1t 6505	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (A^1) = A)
35	2, 34	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (A^1) = A
36		fac1 6872	. . . . . 6 |- (!` 1) = 1
37	35, 36	opreq12i 3958	. . . . 5 |- ((A^1) / (!` 1)) = (A / 1)
38	2	div1 5728	. . . . 5 |- (A / 1) = A
39	33, 37, 38	3eqtr 1491	. . . 4 |- (F` 1) = A
40		df-2 5917	. . . 4 |- 2 = (1 + 1)
41		eqid 1468	. . . 4 |- (1 + A) = (1 + A)
42	1, 2, 13, 5, 31, 39, 40, 41	efsep 7337	. . 3 |- (exp` A) = ((1 + A) + sum_k e. (ZZ>` 2)(F` k))
43	1	eftval 7258	. . . . 5 |- (2 e. NN0 -> (F` 2) = ((A^2) / (!` 2)))
44	12, 43	ax-mp 7	. . . 4 |- (F` 2) = ((A^2) / (!` 2))
45		fac2 6874	. . . . 5 |- (!` 2) = 2
46	45	opreq2i 3957	. . . 4 |- ((A^2) / (!` 2)) = ((A^2) / 2)
47	44, 46	eqtr 1487	. . 3 |- (F` 2) = ((A^2) / 2)
48		df-3 5918	. . 3 |- 3 = (2 + 1)
49		eqid 1468	. . 3 |- ((1 + A) + ((A^2) / 2)) = ((1 + A) + ((A^2) / 2))
50	1, 2, 12, 6, 42, 47, 48, 49	efsep 7337	. 2 |- (exp` A) = (((1 + A) + ((A^2) / 2)) + sum_k e. (ZZ>` 3)(F` k))
51	1	eftval 7258	. . . 4 |- (3 e. NN0 -> (F` 3) = ((A^3) / (!` 3)))
52	4, 51	ax-mp 7	. . 3 |- (F` 3) = ((A^3) / (!` 3))
53		fac3 6875	. . . 4 |- (!` 3) = 6
54	53	opreq2i 3957	. . 3 |- ((A^3) / (!` 3)) = ((A^3) / 6)
55	52, 54	eqtr 1487	. 2 |- (F` 3) = ((A^3) / 6)
56		df-4 5919	. 2 |- 4 = (3 + 1)
57		eqid 1468	. 2 |- (((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6)) = (((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6))
58	1, 2, 4, 11, 50, 55, 56, 57	efsep 7337	1 |- (exp` A) = ((((1 + A) + ((A^2) / 2)) + ((A^3) / 6)) + sum_k e. (ZZ>` 4)(F` k))

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  {copab 2656  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   / cdiv 5266  NN0cn0 5269  2c2 5908  3c3 5909  4c4 5910  6c6 5912  ZZ>cuz 6349  ^cexp 6500  !cfa 6868  sum_csu 6917  expce 7235

This theorem is referenced by:  ef4pt 7341

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-5 5920  df-6 5921  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-clim 6913  df-sum 6918  df-ef 7240

Copyright terms: Public domain