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Theorem efaddlem 12374
Description: Lemma for efadd 12375 (exponential function addition law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efadd.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
efadd.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( B ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
efadd.3  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( A  +  B ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
efadd.4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
efadd.5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
efaddlem  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( A  +  B )
)  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    F( n)    G( n)    H( n)

Proof of Theorem efaddlem
Dummy variables  j 
k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efadd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 efadd.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
31, 2addcld 8854 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
4 efadd.3 . . . 4  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( A  +  B ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
54efcvg 12366 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( exp `  ( A  +  B
) ) )
63, 5syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( exp `  ( A  +  B
) ) )
7 efadd.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
87eftval 12358 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( F `
 j )  =  ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
) )
98adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( F `  j )  =  ( ( A ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
10 absexp 11789 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( A ^ j ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ j
) )
111, 10sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( A ^ j
) )  =  ( ( abs `  A
) ^ j ) )
12 faccl 11298 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ! `
 j )  e.  NN )
1312adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
14 nnre 9753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  j )  e.  NN  ->  ( ! `  j )  e.  RR )
15 nnnn0 9972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  j )  e.  NN  ->  ( ! `  j )  e.  NN0 )
1615nn0ge0d 10021 . . . . . . . 8  |-  ( ( ! `  j )  e.  NN  ->  0  <_  ( ! `  j
) )
1714, 16absidd 11905 . . . . . . 7  |-  ( ( ! `  j )  e.  NN  ->  ( abs `  ( ! `  j ) )  =  ( ! `  j
) )
1813, 17syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ! `  j
) )  =  ( ! `  j ) )
1911, 18oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  ( A ^
j ) )  / 
( abs `  ( ! `  j )
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ j )  /  ( ! `  j ) ) )
20 expcl 11121 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( A ^ j
)  e.  CC )
211, 20sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( A ^ j )  e.  CC )
2213nncnd 9762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  j )  e.  CC )
2313nnne0d 9790 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  j )  =/=  0
)
2421, 22, 23absdivd 11937 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
) )  =  ( ( abs `  ( A ^ j ) )  /  ( abs `  ( ! `  j )
) ) )
25 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
2625eftval 12358 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 j )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
2726adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 j )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) )
2819, 24, 273eqtr4rd 2326 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 j )  =  ( abs `  (
( A ^ j
)  /  ( ! `
 j ) ) ) )
29 eftcl 12355 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  e.  CC )
301, 29sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( A ^ j )  / 
( ! `  j
) )  e.  CC )
31 efadd.2 . . . . . 6  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( B ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
3231eftval 12358 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( B ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
3332adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( ( B ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
34 eftcl 12355 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( B ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
352, 34sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( B ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
364eftval 12358 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( H `
 k )  =  ( ( ( A  +  B ) ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
3736adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( ( ( A  +  B ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
381adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
392adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
40 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
41 binom 12288 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) ^ k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
4238, 39, 40, 41syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A  +  B ) ^ k )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
4342oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( A  +  B
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) ) )
44 fzfid 11035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... k )  e. 
Fin )
45 faccl 11298 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4645adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
4746nncnd 9762 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
48 bccl2 11335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  (
k  _C  j )  e.  NN )
4948adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  _C  j )  e.  NN )
5049nncnd 9762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  _C  j )  e.  CC )
511ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  A  e.  CC )
52 fznn0sub 10824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  (
k  -  j )  e.  NN0 )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  j )  e.  NN0 )
5451, 53expcld 11245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( A ^ ( k  -  j ) )  e.  CC )
552ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  B  e.  CC )
56 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  j  e.  NN0 )
5756adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  j  e.  NN0 )
5855, 57expcld 11245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( B ^ j )  e.  CC )
5954, 58mulcld 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) )  e.  CC )
6050, 59mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( k  _C  j
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  e.  CC )
6146nnne0d 9790 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ! `  k )  =/=  0
)
6244, 47, 60, 61fsumdivc 12248 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( k  _C  j )  x.  ( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) ) )
6351, 57expcld 11245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( A ^ j )  e.  CC )
6457, 12syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  j )  e.  NN )
6564nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  j )  e.  CC )
6664nnne0d 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  j )  =/=  0 )
6763, 65, 66divcld 9536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( A ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  e.  CC )
6831eftval 12358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  -  j )  e.  NN0  ->  ( G `
 ( k  -  j ) )  =  ( ( B ^
( k  -  j
) )  /  ( ! `  ( k  -  j ) ) ) )
6953, 68syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  ( k  -  j ) )  =  ( ( B ^ ( k  -  j ) )  / 
( ! `  (
k  -  j ) ) ) )
7055, 53expcld 11245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( B ^ ( k  -  j ) )  e.  CC )
71 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  -  j )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  -  j ) )  e.  NN )
7253, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  ( k  -  j ) )  e.  NN )
7372nncnd 9762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  ( k  -  j ) )  e.  CC )
7472nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  ( k  -  j ) )  =/=  0 )
7570, 73, 74divcld 9536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( B ^ (
k  -  j ) )  /  ( ! `
 ( k  -  j ) ) )  e.  CC )
7669, 75eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  ( k  -  j ) )  e.  CC )
7767, 76mulcld 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) )  e.  CC )
78 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) ) )
79 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )
8078, 79oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  (
( A ^ j
)  /  ( ! `
 j ) )  =  ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  m ) )  / 
( ! `  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
81 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  (
k  -  j )  =  ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )
8281fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  ( G `  ( k  -  j ) )  =  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
8380, 82oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( ( 0  +  k )  -  m )  ->  (
( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )  x.  ( G `  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  m ) ) ) ) )
8477, 83fsumrev2 12244 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( A ^ j )  /  ( ! `  j ) )  x.  ( G `  (
k  -  j ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  m ) ) )  x.  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) ) )
8531eftval 12358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( G `
 j )  =  ( ( B ^
j )  /  ( ! `  j )
) )
8657, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  j )  =  ( ( B ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
8786oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( k  -  j
) )  /  ( ! `  ( k  -  j ) ) )  x.  ( G `
 j ) )  =  ( ( ( A ^ ( k  -  j ) )  /  ( ! `  ( k  -  j
) ) )  x.  ( ( B ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )
8872, 64nnmulcld 9793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) )  e.  NN )
8988nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) )  e.  CC )
9088nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) )  =/=  0 )
9159, 89, 90divrec2d 9540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) )  /  ( ( ! `
 ( k  -  j ) )  x.  ( ! `  j
) ) )  =  ( ( 1  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
9254, 73, 58, 65, 74, 66divmuldivd 9577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( k  -  j
) )  /  ( ! `  ( k  -  j ) ) )  x.  ( ( B ^ j )  /  ( ! `  j ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) )  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
93 bcval2 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 0 ... k )  ->  (
k  _C  j )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
9493adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  _C  j )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
9594oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( k  _C  j
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ( ! `  k )  /  ( ( ! `
 ( k  -  j ) )  x.  ( ! `  j
) ) )  / 
( ! `  k
) ) )
9647adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
9761adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  k )  =/=  0 )
9896, 89, 96, 90, 97divdiv32d 9561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( ! `  k )  /  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) ) )  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ( ! `  k )  /  ( ! `  k ) )  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
9996, 97dividd 9534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ! `
 k ) )  =  1 )
10099oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( ! `  k )  /  ( ! `  k )
)  /  ( ( ! `  ( k  -  j ) )  x.  ( ! `  j ) ) )  =  ( 1  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
10198, 100eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( ! `  k )  /  (
( ! `  (
k  -  j ) )  x.  ( ! `
 j ) ) )  /  ( ! `
 k ) )  =  ( 1  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
10295, 101eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( k  _C  j
)  /  ( ! `
 k ) )  =  ( 1  / 
( ( ! `  ( k  -  j
) )  x.  ( ! `  j )
) ) )
103102oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( k  _C  j )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( ! `
 ( k  -  j ) )  x.  ( ! `  j
) ) )  x.  ( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
10491, 92, 1033eqtr4rd 2326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( k  _C  j )  /  ( ! `  k )
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( k  -  j ) )  /  ( ! `  ( k  -  j
) ) )  x.  ( ( B ^
j )  /  ( ! `  j )
) ) )
10587, 104eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( k  -  j
) )  /  ( ! `  ( k  -  j ) ) )  x.  ( G `
 j ) )  =  ( ( ( k  _C  j )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
106 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
107106ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  k  e.  CC )
108107addid2d 9013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
0  +  k )  =  k )
109108oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( 0  +  k )  -  j )  =  ( k  -  j ) )
110109oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  ( A ^ (
k  -  j ) ) )
111109fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) )  =  ( ! `  ( k  -  j
) ) )
112110, 111oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( A ^ (
( 0  +  k )  -  j ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  j ) ) )  =  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  / 
( ! `  (
k  -  j ) ) ) )
113109oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  ( k  -  ( k  -  j
) ) )
114 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  CC )
11557, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  j  e.  CC )
116107, 115nncand 9162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  ( k  -  j ) )  =  j )
117113, 116eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  j )
118117fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  ( G `  ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) ) )  =  ( G `  j ) )
119112, 118oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( A ^
( ( 0  +  k )  -  j
) )  /  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) ) )  x.  ( G `
 ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( k  -  j ) )  /  ( ! `  ( k  -  j
) ) )  x.  ( G `  j
) ) )
12050, 59, 96, 97div23d 9573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ( k  _C  j )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( A ^
( k  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )
121105, 119, 1203eqtr4rd 2326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  e.  ( 0 ... k
) )  ->  (
( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) )  =  ( ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  j ) )  /  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) )  x.  ( G `  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) ) ) ) )
122121sumeq2dv 12176 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( k  _C  j )  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^ j
) ) )  / 
( ! `  k
) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^
( ( 0  +  k )  -  j
) )  /  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) ) )  x.  ( G `
 ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) ) ) )
123 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  m  ->  (
( 0  +  k )  -  j )  =  ( ( 0  +  k )  -  m ) )
124123oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  m  ->  ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) ) )
125123fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  m  ->  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) )  =  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )
126124, 125oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  m  ->  (
( A ^ (
( 0  +  k )  -  j ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  j ) ) )  =  ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  m ) )  / 
( ! `  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
127123oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  m  ->  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) )  =  ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )
128127fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  m  ->  ( G `  ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) ) )  =  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
129126, 128oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  m  ->  (
( ( A ^
( ( 0  +  k )  -  j
) )  /  ( ! `  ( (
0  +  k )  -  j ) ) )  x.  ( G `
 ( k  -  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) ) )  =  ( ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  m
) ) )  x.  ( G `  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  m ) ) ) ) )
130129cbvsumv 12169 . . . . . . . . 9  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( A ^ ( ( 0  +  k )  -  j ) )  /  ( ! `  ( ( 0  +  k )  -  j
) ) )  x.  ( G `  (
k  -  ( ( 0  +  k )  -  j ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  m ) ) )  x.  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) )
131122, 130syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( k  _C  j )  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^ j
) ) )  / 
( ! `  k
) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ (
( 0  +  k )  -  m ) )  /  ( ! `
 ( ( 0  +  k )  -  m ) ) )  x.  ( G `  ( k  -  (
( 0  +  k )  -  m ) ) ) ) )
13284, 131eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... k
) ( ( ( A ^ j )  /  ( ! `  j ) )  x.  ( G `  (
k  -  j ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( k  _C  j )  x.  (
( A ^ (
k  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) )  /  ( ! `
 k ) ) )
13362, 132eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( k  _C  j
)  x.  ( ( A ^ ( k  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
13443, 133eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( A  +  B
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^ j )  / 
( ! `  j
) )  x.  ( G `  ( k  -  j ) ) ) )
13537, 134eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... k ) ( ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  x.  ( G `
 ( k  -  j ) ) ) )
1361abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
137136recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
13825efcllem 12359 . . . . 5  |-  ( ( abs `  A )  e.  CC  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
139137, 138syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
14031efcllem 12359 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
1412, 140syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
1429, 28, 30, 33, 35, 135, 139, 141mertens 12342 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( sum_ j  e.  NN0  ( ( A ^ j )  /  ( ! `  j ) )  x. 
sum_ k  e.  NN0  ( ( B ^
k )  /  ( ! `  k )
) ) )
143 efval 12361 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  = 
sum_ j  e.  NN0  ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
) )
1441, 143syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( exp `  A
)  =  sum_ j  e.  NN0  ( ( A ^ j )  / 
( ! `  j
) ) )
145 efval 12361 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  B )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( B ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
1462, 145syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( exp `  B
)  =  sum_ k  e.  NN0  ( ( B ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
147144, 146oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  A
)  x.  ( exp `  B ) )  =  ( sum_ j  e.  NN0  ( ( A ^
j )  /  ( ! `  j )
)  x.  sum_ k  e.  NN0  ( ( B ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
148142, 147breqtrrd 4049 . 2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )
149 climuni 12026 . 2  |-  ( (  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( exp `  ( A  +  B
) )  /\  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )  -> 
( exp `  ( A  +  B )
)  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )
1506, 148, 149syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( A  +  B )
)  =  ( ( exp `  A )  x.  ( exp `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ...cfz 10782    seq cseq 11046   ^cexp 11104   !cfa 11288    _C cbc 11315   abscabs 11719    ~~> cli 11958   sum_csu 12158   expce 12343
This theorem is referenced by:  efadd  12375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349
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