MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcllem Structured version   Unicode version

Theorem efcllem 12672
Description: Lemma for efcl 12677. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 12652 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eftval.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
efcllem  |-  ( A  e.  CC  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem efcllem
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10512 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 eqid 2435 . 2  |-  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  =  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )
3 2nn 10125 . . . 4  |-  2  e.  NN
4 nnrecre 10028 . . . 4  |-  ( 2  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
53, 4ax-mp 8 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
65a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
7 halflt1 10181 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  <  1
87a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  <  1 )
9 2re 10061 . . . 4  |-  2  e.  RR
10 abscl 12075 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
11 remulcl 9067 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( abs `  A )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  RR )
129, 10, 11sylancr 645 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( abs `  A ) )  e.  RR )
13 absge0 12084 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
14 0re 9083 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
15 2pos 10074 . . . . . 6  |-  0  <  2
1614, 9, 15ltleii 9188 . . . . 5  |-  0  <_  2
17 mulge0 9537 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( ( abs `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A ) ) )  ->  0  <_  (
2  x.  ( abs `  A ) ) )
189, 16, 17mpanl12 664 . . . 4  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  0  <_  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )
1910, 13, 18syl2anc 643 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )
20 flge0nn0 11217 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  ->  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )  e.  NN0 )
2112, 19, 20syl2anc 643 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  e. 
NN0 )
22 eftval.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
2322eftval 12671 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
2423adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  =  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
25 eftcl 12668 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
2624, 25eqeltrd 2509 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  e.  CC )
2710adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
28 eluznn0 10538 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  (
2  x.  ( abs `  A ) ) )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) ) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
2921, 28sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
30 nn0p1nn 10251 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
3129, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
3227, 31nndivred 10040 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  e.  RR )
335a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
3427, 29reexpcld 11532 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A ) ^
k )  e.  RR )
35 faccl 11568 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
3629, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
3734, 36nndivred 10040 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  RR )
38 expcl 11391 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  CC )
3929, 38syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( A ^ k )  e.  CC )
4039absge0d 12238 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( A ^ k ) ) )
41 absexp 12101 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( A ^ k ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ k
) )
4229, 41syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( A ^ k
) )  =  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
4340, 42breqtrd 4228 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( abs `  A
) ^ k ) )
4436nnred 10007 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
4536nngt0d 10035 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  0  <  ( ! `  k ) )
46 divge0 9871 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ k
) )  /\  (
( ! `  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  k ) ) )  ->  0  <_  (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
4734, 43, 44, 45, 46syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
4812adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  e.  RR )
49 peano2nn0 10252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  e. 
NN0  ->  ( ( |_
`  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  1 )  e.  NN0 )
5021, 49syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( |_ `  (
2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  1 )  e. 
NN0 )
5150nn0red 10267 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( |_ `  (
2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  1 )  e.  RR )
5251adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  1 )  e.  RR )
5331nnred 10007 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
54 flltp1 11201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  ( abs `  A ) )  e.  RR  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  (
( |_ `  (
2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  1 ) )
5548, 54syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  (
( |_ `  (
2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  1 ) )
56 eluzp1p1 10503 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  1 ) ) )
5756adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  1 ) ) )
58 eluzle 10490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  (
2  x.  ( abs `  A ) ) )  +  1 ) )  ->  ( ( |_
`  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  1 )  <_  (
k  +  1 ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )  +  1 )  <_  (
k  +  1 ) )
6048, 52, 53, 55, 59ltletrd 9222 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( 2  x.  ( abs `  A
) )  <  (
k  +  1 ) )
6127recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
62 2cn 10062 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
63 mulcom 9068 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( abs `  A
)  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) )
6461, 62, 63sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( abs `  A ) ) )
6531nncnd 10008 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
6665mulid2d 9098 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( 1  x.  ( k  +  1 ) )  =  ( k  +  1 ) )
6760, 64, 663brtr4d 4234 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A )  x.  2 )  <  (
1  x.  ( k  +  1 ) ) )
689, 15pm3.2i 442 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
6968a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
70 1re 9082 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
7170a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  1  e.  RR )
7231nngt0d 10035 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  0  <  ( k  +  1 ) )
7353, 72jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) ) )
74 lt2mul2div 9878 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  /\  ( 1  e.  RR  /\  (
( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( (
( abs `  A
)  x.  2 )  <  ( 1  x.  ( k  +  1 ) )  <->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  <  (
1  /  2 ) ) )
7527, 69, 71, 73, 74syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
( abs `  A
)  x.  2 )  <  ( 1  x.  ( k  +  1 ) )  <->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  <  (
1  /  2 ) ) )
7667, 75mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  <  (
1  /  2 ) )
77 ltle 9155 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
1  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  A )  /  (
k  +  1 ) )  <  ( 1  /  2 )  -> 
( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
7832, 5, 77sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  <  ( 1  / 
2 )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
2 ) ) )
7976, 78mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A )  / 
( k  +  1 ) )  <_  (
1  /  2 ) )
8032, 33, 37, 47, 79lemul2ad 9943 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( 1  /  2
) ) )
81 peano2nn0 10252 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
8229, 81syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
8322eftval 12671 . . . . . 6  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^
( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
8482, 83syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ (
k  +  1 ) )  /  ( ! `
 ( k  +  1 ) ) ) )
8584fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( abs `  ( ( A ^ ( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
86 absexp 12101 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ (
k  +  1 ) ) )
8782, 86syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  A
) ^ ( k  +  1 ) ) )
8861, 29expp1d 11516 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A ) ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  x.  ( abs `  A
) ) )
8987, 88eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  x.  ( abs `  A
) ) )
90 faccl 11568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
9182, 90syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
9291nnred 10007 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
9391nnnn0d 10266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
9493nn0ge0d 10269 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  0  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
9592, 94absidd 12217 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ! `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
96 facp1 11563 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
9729, 96syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) ) )
9895, 97eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ! `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) ) )
9989, 98oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( A ^
( k  +  1 ) ) )  / 
( abs `  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  x.  ( abs `  A ) )  / 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) ) )
100 expcl 11391 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
k  +  1 ) )  e.  CC )
10182, 100syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  e.  CC )
10291nncnd 10008 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
10391nnne0d 10036 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  ( k  +  1 ) )  =/=  0
)
104101, 102, 103absdivd 12249 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A ^
( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A ^ ( k  +  1 ) ) )  /  ( abs `  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
10534recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  A ) ^
k )  e.  CC )
10636nncnd 10008 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
10736nnne0d 10036 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ! `  k )  =/=  0
)
10831nnne0d 10036 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  =/=  0 )
109105, 106, 61, 65, 107, 108divmuldivd 9823 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  x.  ( ( abs `  A
)  /  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ k )  x.  ( abs `  A
) )  /  (
( ! `  k
)  x.  ( k  +  1 ) ) ) )
11099, 104, 1093eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A ^
( k  +  1 ) )  /  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  (
k  +  1 ) ) ) )
11185, 110eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  (
k  +  1 ) ) ) )
1125recni 9094 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
11329, 26syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
114113abscld 12230 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  RR )
115114recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  e.  CC )
116 mulcom 9068 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( F `
 k ) )  e.  CC )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  ( abs `  ( F `  k ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  k
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
117112, 115, 116sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
1  /  2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( abs `  ( F `  k )
)  x.  ( 1  /  2 ) ) )
11829, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( F `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
119118fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )
120 eftabs 12670 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
12129, 120syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
122119, 121eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
123122oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( F `  k ) )  x.  ( 1  /  2
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
124117, 123eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( (
1  /  2 )  x.  ( abs `  ( F `  k )
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
12580, 111, 1243brtr4d 4234 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( 2  x.  ( abs `  A
) ) ) ) )  ->  ( abs `  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( 1  /  2
)  x.  ( abs `  ( F `  k
) ) ) )
1261, 2, 6, 8, 21, 26, 125cvgrat 12652 1  |-  ( A  e.  CC  ->  seq  0 (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZ>=cuz 10480   |_cfl 11193    seq cseq 11315   ^cexp 11374   !cfa 11558   abscabs 12031    ~~> cli 12270
This theorem is referenced by:  eff  12676  efcvg  12679  reefcl  12681  efaddlem  12687  eftlcvg  12699  effsumlt  12704  eflegeo  12714  eirrlem  12795
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472
  Copyright terms: Public domain W3C validator