MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eff1o Unicode version

Theorem eff1o 20319
Description: The exponential function maps the set  S, of complex numbers with imaginary part in the closed-above, open-below interval from  -u pi to  pi one-to-one onto the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eff1o.1  |-  S  =  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) )
Assertion
Ref Expression
eff1o  |-  ( exp  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( CC  \  { 0 } )

Proof of Theorem eff1o
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pire 20240 . . 3  |-  pi  e.  RR
21renegcli 9295 . 2  |-  -u pi  e.  RR
3 eqid 2388 . . 3  |-  ( w  e.  ( -u pi (,] pi )  |->  ( exp `  ( _i  x.  w
) ) )  =  ( w  e.  (
-u pi (,] pi )  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
4 eff1o.1 . . 3  |-  S  =  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) )
5 rexr 9064 . . . 4  |-  ( -u pi  e.  RR  ->  -u pi  e.  RR* )
6 iocssre 10923 . . . 4  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR )  ->  ( -u pi (,] pi )  C_  RR )
75, 1, 6sylancl 644 . . 3  |-  ( -u pi  e.  RR  ->  ( -u pi (,] pi ) 
C_  RR )
81recni 9036 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
982timesi 10034 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  pi )  =  ( pi  +  pi )
109oveq2i 6032 . . . . . 6  |-  ( -u pi  +  ( 2  x.  pi ) )  =  ( -u pi  +  ( pi  +  pi ) )
112recni 9036 . . . . . . 7  |-  -u pi  e.  CC
128, 8addcli 9028 . . . . . . 7  |-  ( pi  +  pi )  e.  CC
1311, 12addcomi 9190 . . . . . 6  |-  ( -u pi  +  ( pi  +  pi ) )  =  ( ( pi  +  pi )  +  -u pi )
1412, 8negsubi 9311 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  +  pi )  +  -u pi )  =  ( ( pi  +  pi )  -  pi )
15 pncan 9244 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  pi  e.  CC )  -> 
( ( pi  +  pi )  -  pi )  =  pi )
168, 8, 15mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( ( pi  +  pi )  -  pi )  =  pi
1714, 16eqtri 2408 . . . . . 6  |-  ( ( pi  +  pi )  +  -u pi )  =  pi
1810, 13, 173eqtrri 2413 . . . . 5  |-  pi  =  ( -u pi  +  ( 2  x.  pi ) )
1918oveq2i 6032 . . . 4  |-  ( -u pi (,] pi )  =  ( -u pi (,] ( -u pi  +  ( 2  x.  pi ) ) )
2019efif1olem1 20312 . . 3  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( x  e.  (
-u pi (,] pi )  /\  y  e.  (
-u pi (,] pi ) ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
2119efif1olem2 20313 . . 3  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  (
-u pi (,] pi ) ( ( z  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
223, 4, 7, 20, 21eff1olem 20318 . 2  |-  ( -u pi  e.  RR  ->  ( exp  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( CC  \  {
0 } ) )
232, 22ax-mp 8 1  |-  ( exp  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( CC  \  { 0 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3261    C_ wss 3264   {csn 3758    e. cmpt 4208   `'ccnv 4818    |` cres 4821   "cima 4822   -1-1-onto->wf1o 5394   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   _ici 8926    + caddc 8927    x. cmul 8929   RR*cxr 9053    - cmin 9224   -ucneg 9225   2c2 9982   (,]cioc 10850   Imcim 11831   expce 12592   picpi 12597
This theorem is referenced by:  logrn  20324  eff1o2  20329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-ef 12598  df-sin 12600  df-cos 12601  df-pi 12603  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-limc 19621  df-dv 19622
  Copyright terms: Public domain W3C validator