Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eff1olem Structured version   Unicode version

Theorem eff1olem 20440
 Description: The exponential function maps the set , of complex numbers with imaginary part in a real interval of length , one-to-one onto the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eff1olem.1
eff1olem.2
eff1olem.3
eff1olem.4
eff1olem.5
Assertion
Ref Expression
eff1olem
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem eff1olem
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5216 . . . 4
2 eff1olem.2 . . . 4
3 imf 11908 . . . . . 6
43fdmi 5588 . . . . 5
54eqcomi 2439 . . . 4
61, 2, 53sstr4i 3379 . . 3
7 eff2 12690 . . . . . . 7
87a1i 11 . . . . . 6
98feqmptd 5771 . . . . 5
109reseq1d 5137 . . . 4
11 resmpt 5183 . . . 4
1210, 11eqtrd 2467 . . 3
136, 12ax-mp 8 . 2
146sseli 3336 . . . 4
157ffvelrni 5861 . . . 4
1614, 15syl 16 . . 3
1716adantl 453 . 2
18 simpr 448 . . . . . . . . . 10
19 eldifsn 3919 . . . . . . . . . 10
2018, 19sylib 189 . . . . . . . . 9
2120simpld 446 . . . . . . . 8
2220simprd 450 . . . . . . . 8
2321, 22absrpcld 12240 . . . . . . 7
24 reeff1o 20353 . . . . . . . . 9
25 f1ocnv 5679 . . . . . . . . 9
26 f1of 5666 . . . . . . . . 9
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . 8
2827ffvelrni 5861 . . . . . . 7
2923, 28syl 16 . . . . . 6
3029recnd 9104 . . . . 5
31 ax-icn 9039 . . . . . 6
32 eff1olem.3 . . . . . . . . 9
3332adantr 452 . . . . . . . 8
34 eff1olem.1 . . . . . . . . . . . 12
35 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
36 eff1olem.4 . . . . . . . . . . . 12
37 eff1olem.5 . . . . . . . . . . . 12
38 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
3934, 35, 32, 36, 37, 38efif1olem4 20437 . . . . . . . . . . 11
40 f1ocnv 5679 . . . . . . . . . . 11
41 f1of 5666 . . . . . . . . . . 11
4239, 40, 413syl 19 . . . . . . . . . 10
4342adantr 452 . . . . . . . . 9
4421abscld 12228 . . . . . . . . . . . 12
4544recnd 9104 . . . . . . . . . . 11
4621, 22absne0d 12239 . . . . . . . . . . 11
4721, 45, 46divcld 9780 . . . . . . . . . 10
4821, 45, 46absdivd 12247 . . . . . . . . . . 11
49 absidm 12117 . . . . . . . . . . . . 13
5021, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5150oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11
5245, 46dividd 9778 . . . . . . . . . . 11
5348, 51, 523eqtrd 2471 . . . . . . . . . 10
54 absf 12131 . . . . . . . . . . 11
55 ffn 5583 . . . . . . . . . . 11
56 fniniseg 5843 . . . . . . . . . . 11
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10
5847, 53, 57sylanbrc 646 . . . . . . . . 9
5943, 58ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8
6033, 59sseldd 3341 . . . . . . 7
6160recnd 9104 . . . . . 6
62 mulcl 9064 . . . . . 6
6331, 61, 62sylancr 645 . . . . 5
6430, 63addcld 9097 . . . 4
6529, 60crimd 12027 . . . . 5
6665, 59eqeltrd 2509 . . . 4
67 ffn 5583 . . . . 5
68 elpreima 5842 . . . . 5
693, 67, 68mp2b 10 . . . 4
7064, 66, 69sylanbrc 646 . . 3
7170, 2syl6eleqr 2526 . 2
72 efadd 12686 . . . . . . 7
7330, 63, 72syl2anc 643 . . . . . 6
74 fvres 5737 . . . . . . . . 9
7529, 74syl 16 . . . . . . . 8
76 f1ocnvfv2 6007 . . . . . . . . 9
7724, 23, 76sylancr 645 . . . . . . . 8
7875, 77eqtr3d 2469 . . . . . . 7
79 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11
8079fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
81 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13
8281fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12
8382cbvmptv 4292 . . . . . . . . . . 11
8434, 83eqtri 2455 . . . . . . . . . 10
85 fvex 5734 . . . . . . . . . 10
8680, 84, 85fvmpt 5798 . . . . . . . . 9
8759, 86syl 16 . . . . . . . 8
8839adantr 452 . . . . . . . . 9
89 f1ocnvfv2 6007 . . . . . . . . 9
9088, 58, 89syl2anc 643 . . . . . . . 8
9187, 90eqtr3d 2469 . . . . . . 7
9278, 91oveq12d 6091 . . . . . 6
9321, 45, 46divcan2d 9782 . . . . . 6
9473, 92, 933eqtrrd 2472 . . . . 5
9594adantrl 697 . . . 4
96 fveq2 5720 . . . . 5
9796eqeq2d 2446 . . . 4
9895, 97syl5ibrcom 214 . . 3
9914adantl 453 . . . . . . 7
10099replimd 11992 . . . . . 6
101 absef 12788 . . . . . . . . . . 11
10299, 101syl 16 . . . . . . . . . 10
10399recld 11989 . . . . . . . . . . 11
104 fvres 5737 . . . . . . . . . . 11
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . 10
106102, 105eqtr4d 2470 . . . . . . . . 9
107106fveq2d 5724 . . . . . . . 8
108 f1ocnvfv1 6006 . . . . . . . . 9
10924, 103, 108sylancr 645 . . . . . . . 8
110107, 109eqtrd 2467 . . . . . . 7
11199imcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . 15
112111recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . 14
113 mulcl 9064 . . . . . . . . . . . . . 14
11431, 112, 113sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13
115 efcl 12675 . . . . . . . . . . . . 13
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12
117103recnd 9104 . . . . . . . . . . . . 13
118 efcl 12675 . . . . . . . . . . . . 13
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . 12
120 efne0 12688 . . . . . . . . . . . . 13
121117, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12
122116, 119, 121divcan3d 9785 . . . . . . . . . . 11
123100fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13
124 efadd 12686 . . . . . . . . . . . . . 14
125117, 114, 124syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
126123, 125eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12
127126, 102oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11
128 elpreima 5842 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1293, 67, 128mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
130129simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14
131130, 2eleq2s 2527 . . . . . . . . . . . . 13
132131adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
133 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14
134133fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13
135 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . 13
136134, 34, 135fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . 12
137132, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11
138122, 127, 1373eqtr4d 2477 . . . . . . . . . 10
139138fveq2d 5724 . . . . . . . . 9
140 f1ocnvfv1 6006 . . . . . . . . . 10
14139, 131, 140syl2an 464 . . . . . . . . 9
142139, 141eqtrd 2467 . . . . . . . 8
143142oveq2d 6089 . . . . . . 7
144110, 143oveq12d 6091 . . . . . 6
145100, 144eqtr4d 2470 . . . . 5
146 fveq2 5720 . . . . . . . 8
147146fveq2d 5724 . . . . . . 7
148 id 20 . . . . . . . . . 10
149148, 146oveq12d 6091 . . . . . . . . 9
150149fveq2d 5724 . . . . . . . 8
151150oveq2d 6089 . . . . . . 7
152147, 151oveq12d 6091 . . . . . 6
153152eqeq2d 2446 . . . . 5
154145, 153syl5ibrcom 214 . . . 4
155154adantrr 698 . . 3
15698, 155impbid 184 . 2
15713, 17, 71, 156f1o2d 6288 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698   cdif 3309   wss 3312  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258  ccnv 4869   cdm 4870   cres 4872  cima 4873   wfn 5441  wf 5442  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8978  cr 8979  cc0 8980  c1 8981  ci 8982   caddc 8983   cmul 8985   clt 9110   cmin 9281  cneg 9282   cdiv 9667  c2 10039  cz 10272  crp 10602  cicc 10909  cre 11892  cim 11893  cabs 12029  ce 12654  csin 12656  cpi 12659 This theorem is referenced by:  eff1o  20441 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ioc 10911  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609  df-shft 11872  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-limsup 12255  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-ef 12660  df-sin 12662  df-cos 12663  df-pi 12665  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898  df-limc 19743  df-dv 19744
 Copyright terms: Public domain W3C validator