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Theorem eff1olem 20440
Description: The exponential function maps the set  S, of complex numbers with imaginary part in a real interval of length  2  x.  pi, one-to-one onto the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eff1olem.1  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
eff1olem.2  |-  S  =  ( `' Im " D )
eff1olem.3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
eff1olem.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
eff1olem.5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
eff1olem  |-  ( ph  ->  ( exp  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( CC  \  {
0 } ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, D    x, F, y, z    ph, w, x, y, z    x, S, y
Allowed substitution hints:    S( z, w)    F( w)

Proof of Theorem eff1olem
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5216 . . . 4  |-  ( `' Im " D ) 
C_  dom  Im
2 eff1olem.2 . . . 4  |-  S  =  ( `' Im " D )
3 imf 11908 . . . . . 6  |-  Im : CC
--> RR
43fdmi 5588 . . . . 5  |-  dom  Im  =  CC
54eqcomi 2439 . . . 4  |-  CC  =  dom  Im
61, 2, 53sstr4i 3379 . . 3  |-  S  C_  CC
7 eff2 12690 . . . . . . 7  |-  exp : CC
--> ( CC  \  {
0 } )
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  CC  ->  exp : CC
--> ( CC  \  {
0 } ) )
98feqmptd 5771 . . . . 5  |-  ( S 
C_  CC  ->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
109reseq1d 5137 . . . 4  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( exp  |`  S )  =  ( ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )  |`  S )
)
11 resmpt 5183 . . . 4  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( exp `  y
) ) )
1210, 11eqtrd 2467 . . 3  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( exp  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( exp `  y ) ) )
136, 12ax-mp 8 . 2  |-  ( exp  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( exp `  y ) )
146sseli 3336 . . . 4  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  CC )
157ffvelrni 5861 . . . 4  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( y  e.  S  ->  ( exp `  y )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
1716adantl 453 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  y )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
18 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
19 eldifsn 3919 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
2018, 19sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
2120simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  CC )
2220simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  =/=  0 )
2321, 22absrpcld 12240 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR+ )
24 reeff1o 20353 . . . . . . . . 9  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+
25 f1ocnv 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  ->  `' ( exp  |`  RR ) :
RR+
-1-1-onto-> RR )
26 f1of 5666 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( exp  |`  RR ) : RR+
-1-1-onto-> RR  ->  `' ( exp  |`  RR ) : RR+ --> RR )
2724, 25, 26mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  `' ( exp  |`  RR ) : RR+ --> RR
2827ffvelrni 5861 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR+  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  e.  RR )
2923, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  e.  RR )
3029recnd 9104 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  e.  CC )
31 ax-icn 9039 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
32 eff1olem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
3332adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  D  C_  RR )
34 eff1olem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
35 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' abs " { 1 } )  =  ( `' abs " { 1 } )
36 eff1olem.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
37 eff1olem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
38 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
3934, 35, 32, 36, 37, 38efif1olem4 20437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } ) )
40 f1ocnv 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " {
1 } )  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) -1-1-onto-> D )
41 f1of 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : ( `' abs " { 1 } ) -1-1-onto-> D  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
4239, 40, 413syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
4342adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
4421abscld 12228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
4544recnd 9104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  CC )
4621, 22absne0d 12239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  =/=  0 )
4721, 45, 46divcld 9780 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x  /  ( abs `  x ) )  e.  CC )
4821, 45, 46absdivd 12247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  (
x  /  ( abs `  x ) ) )  =  ( ( abs `  x )  /  ( abs `  ( abs `  x
) ) ) )
49 absidm 12117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  x
) )  =  ( abs `  x ) )
5021, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  ( abs `  x ) )  =  ( abs `  x
) )
5150oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  x
)  /  ( abs `  ( abs `  x
) ) )  =  ( ( abs `  x
)  /  ( abs `  x ) ) )
5245, 46dividd 9778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  x
)  /  ( abs `  x ) )  =  1 )
5348, 51, 523eqtrd 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  (
x  /  ( abs `  x ) ) )  =  1 )
54 absf 12131 . . . . . . . . . . 11  |-  abs : CC
--> RR
55 ffn 5583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
56 fniniseg 5843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( ( x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " {
1 } )  <->  ( (
x  /  ( abs `  x ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  =  1 ) ) )
5754, 55, 56mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " {
1 } )  <->  ( (
x  /  ( abs `  x ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  =  1 ) )
5847, 53, 57sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " { 1 } ) )
5943, 58ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  e.  D )
6033, 59sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  e.  RR )
6160recnd 9104 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  e.  CC )
62 mulcl 9064 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  e.  CC )
6331, 61, 62sylancr 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  e.  CC )
6430, 63addcld 9097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  CC )
6529, 60crimd 12027 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( Im `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )
6665, 59eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( Im `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  e.  D
)
67 ffn 5583 . . . . 5  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
68 elpreima 5842 . . . . 5  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  ( `' Im " D )  <-> 
( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  e.  D
) ) )
693, 67, 68mp2b 10 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  ( `' Im " D )  <-> 
( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  e.  D
) )
7064, 66, 69sylanbrc 646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  ( `' Im " D ) )
7170, 2syl6eleqr 2526 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  S )
72 efadd 12686 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  e.  CC  /\  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
7330, 63, 72syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( exp `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
74 fvres 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  e.  RR  ->  ( ( exp  |`  RR ) `
 ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) ) )  =  ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) ) )
7529, 74syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( exp  |`  RR ) `
 ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) ) )  =  ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) ) )
76 f1ocnvfv2 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  /\  ( abs `  x )  e.  RR+ )  ->  ( ( exp  |`  RR ) `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  =  ( abs `  x
) )
7724, 23, 76sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( exp  |`  RR ) `
 ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) ) )  =  ( abs `  x
) )
7875, 77eqtr3d 2469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  =  ( abs `  x
) )
79 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  ->  ( _i  x.  z )  =  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )
8079fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  z
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) ) ) )
81 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  z ) )
8281fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
8382cbvmptv 4292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  D  |->  ( exp `  ( _i  x.  w
) ) )  =  ( z  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
8434, 83eqtri 2455 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( z  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
85 fvex 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp `  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  _V
8680, 84, 85fvmpt 5798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  e.  D  ->  ( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) ) ) )
8759, 86syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )
8839adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  F : D -1-1-onto-> ( `' abs " {
1 } ) )
89 f1ocnvfv2 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } )  /\  (
x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " {
1 } ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  =  ( x  / 
( abs `  x
) ) )
9088, 58, 89syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  =  ( x  / 
( abs `  x
) ) )
9187, 90eqtr3d 2469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  =  ( x  /  ( abs `  x
) ) )
9278, 91oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )
9321, 45, 46divcan2d 9782 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  x
)  x.  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  =  x )
9473, 92, 933eqtrrd 2472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
9594adantrl 697 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  x  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
96 fveq2 5720 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
9796eqeq2d 2446 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  ->  ( x  =  ( exp `  y
)  <->  x  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) ) )
9895, 97syl5ibrcom 214 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  ->  x  =  ( exp `  y ) ) )
9914adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
10099replimd 11992 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  =  ( ( Re
`  y )  +  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )
101 absef 12788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  y
) )  =  ( exp `  ( Re
`  y ) ) )
10299, 101syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( exp `  y
) )  =  ( exp `  ( Re
`  y ) ) )
10399recld 11989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Re `  y )  e.  RR )
104 fvres 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Re `  y )  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 ( Re `  y ) )  =  ( exp `  (
Re `  y )
) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 ( Re `  y ) )  =  ( exp `  (
Re `  y )
) )
106102, 105eqtr4d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( exp `  y
) )  =  ( ( exp  |`  RR ) `
 ( Re `  y ) ) )
107106fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  =  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( ( exp  |`  RR ) `  (
Re `  y )
) ) )
108 f1ocnvfv1 6006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  /\  ( Re
`  y )  e.  RR )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( ( exp  |`  RR ) `  (
Re `  y )
) )  =  ( Re `  y ) )
10924, 103, 108sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( ( exp  |`  RR ) `  (
Re `  y )
) )  =  ( Re `  y ) )
110107, 109eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  =  ( Re
`  y ) )
11199imcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Im `  y )  e.  RR )
112111recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Im `  y )  e.  CC )
113 mulcl 9064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  y )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  y )
)  e.  CC )
11431, 112, 113sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
_i  x.  ( Im `  y ) )  e.  CC )
115 efcl 12675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  x.  ( Im
`  y ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) )  e.  CC )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) )  e.  CC )
117103recnd 9104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Re `  y )  e.  CC )
118 efcl 12675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  e.  CC )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  e.  CC )
120 efne0 12688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  =/=  0 )
121117, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  =/=  0 )
122116, 119, 121divcan3d 9785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( exp `  (
Re `  y )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )  / 
( exp `  (
Re `  y )
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
123100fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
( Re `  y
)  +  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) ) )
124 efadd 12686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  y
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  y )
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( Re `  y
)  +  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re
`  y ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) ) )
125117, 114, 124syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( ( Re
`  y )  +  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )  =  ( ( exp `  (
Re `  y )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) ) )
126123, 125eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  y )  =  ( ( exp `  (
Re `  y )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) ) )
127126, 102oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  =  ( ( ( exp `  ( Re `  y
) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) )  / 
( exp `  (
Re `  y )
) ) )
128 elpreima 5842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
y  e.  ( `' Im " D )  <-> 
( y  e.  CC  /\  ( Im `  y
)  e.  D ) ) )
1293, 67, 128mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( `' Im " D )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( Im
`  y )  e.  D ) )
130129simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' Im " D )  ->  (
Im `  y )  e.  D )
131130, 2eleq2s 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  ->  (
Im `  y )  e.  D )
132131adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Im `  y )  e.  D )
133 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( Im `  y )  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) )
134133fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( Im `  y )  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
135 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) )  e.  _V
136134, 34, 135fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  y )  e.  D  ->  ( F `  ( Im `  y ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
137132, 136syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  ( Im `  y ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
138122, 127, 1373eqtr4d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  =  ( F `  (
Im `  y )
) )
139138fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) )  =  ( `' F `  ( F `
 ( Im `  y ) ) ) )
140 f1ocnvfv1 6006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } )  /\  (
Im `  y )  e.  D )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( Im `  y ) ) )  =  ( Im `  y ) )
14139, 131, 140syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( Im `  y ) ) )  =  ( Im `  y ) )
142139, 141eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) )  =  ( Im `  y ) )
143142oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
_i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  / 
( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
Im `  y )
) )
144110, 143oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) ) )  =  ( ( Re
`  y )  +  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )
145100, 144eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) ) ) ) )
146 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( exp `  y ) ) )
147146fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  =  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) ) )
148 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  x  =  ( exp `  y ) )
149148, 146oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( x  /  ( abs `  x
) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) )
150149fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  =  ( `' F `  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) ) )
151150oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) ) )
152147, 151oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) ) ) ) )
153152eqeq2d 2446 . . . . 5  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  <->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) ) ) ) )
154145, 153syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
x  =  ( exp `  y )  ->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
155154adantrr 698 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
15698, 155impbid 184 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  <->  x  =  ( exp `  y ) ) )
15713, 17, 71, 156f1o2d 6288 1  |-  ( ph  ->  ( exp  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( CC  \  {
0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698    \ cdif 3309    C_ wss 3312   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   dom cdm 4870    |` cres 4872   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981   _ici 8982    + caddc 8983    x. cmul 8985    < clt 9110    - cmin 9281   -ucneg 9282    / cdiv 9667   2c2 10039   ZZcz 10272   RR+crp 10602   [,]cicc 10909   Recre 11892   Imcim 11893   abscabs 12029   expce 12654   sincsin 12656   picpi 12659
This theorem is referenced by:  eff1o  20441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ioc 10911  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609  df-shft 11872  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-limsup 12255  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-ef 12660  df-sin 12662  df-cos 12663  df-pi 12665  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898  df-limc 19743  df-dv 19744
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