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Theorem eff1olem 19910
Description: The exponential function maps the set  S, of complex numbers with imaginary part in a real interval of length  2  x.  pi, one-to-one onto the nonzero complex numbers. (Contributed by Paul Chapman, 16-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eff1olem.1  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
eff1olem.2  |-  S  =  ( `' Im " D )
eff1olem.3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
eff1olem.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
eff1olem.5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
eff1olem  |-  ( ph  ->  ( exp  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( CC  \  {
0 } ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, D    x, F, y, z    ph, w, x, y, z    x, S, y
Allowed substitution hints:    S( z, w)    F( w)

Proof of Theorem eff1olem
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5033 . . . 4  |-  ( `' Im " D ) 
C_  dom  Im
2 eff1olem.2 . . . 4  |-  S  =  ( `' Im " D )
3 imf 11598 . . . . . 6  |-  Im : CC
--> RR
43fdmi 5394 . . . . 5  |-  dom  Im  =  CC
54eqcomi 2287 . . . 4  |-  CC  =  dom  Im
61, 2, 53sstr4i 3217 . . 3  |-  S  C_  CC
7 eff2 12379 . . . . . . 7  |-  exp : CC
--> ( CC  \  {
0 } )
87a1i 10 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  CC  ->  exp : CC
--> ( CC  \  {
0 } ) )
98feqmptd 5575 . . . . 5  |-  ( S 
C_  CC  ->  exp  =  ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) ) )
109reseq1d 4954 . . . 4  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( exp  |`  S )  =  ( ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )  |`  S )
)
11 resmpt 5000 . . . 4  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( exp `  y ) )  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( exp `  y
) ) )
1210, 11eqtrd 2315 . . 3  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( exp  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( exp `  y ) ) )
136, 12ax-mp 8 . 2  |-  ( exp  |`  S )  =  ( y  e.  S  |->  ( exp `  y ) )
146sseli 3176 . . . 4  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  CC )
157ffvelrni 5664 . . . 4  |-  ( y  e.  CC  ->  ( exp `  y )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
1614, 15syl 15 . . 3  |-  ( y  e.  S  ->  ( exp `  y )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
1716adantl 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  y )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
18 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
19 eldifsn 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
2018, 19sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
2120simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  CC )
2220simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  =/=  0 )
2321, 22absrpcld 11930 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR+ )
24 reeff1o 19823 . . . . . . . . 9  |-  ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+
25 f1ocnv 5485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  ->  `' ( exp  |`  RR ) :
RR+
-1-1-onto-> RR )
26 f1of 5472 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( exp  |`  RR ) : RR+
-1-1-onto-> RR  ->  `' ( exp  |`  RR ) : RR+ --> RR )
2724, 25, 26mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  `' ( exp  |`  RR ) : RR+ --> RR
2827ffvelrni 5664 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR+  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  e.  RR )
2923, 28syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  e.  RR )
3029recnd 8861 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  e.  CC )
31 ax-icn 8796 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
32 eff1olem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
3332adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  D  C_  RR )
34 eff1olem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
35 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' abs " { 1 } )  =  ( `' abs " { 1 } )
36 eff1olem.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
37 eff1olem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
38 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
3934, 35, 32, 36, 37, 38efif1olem4 19907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } ) )
40 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " {
1 } )  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) -1-1-onto-> D )
41 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : ( `' abs " { 1 } ) -1-1-onto-> D  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
4239, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
4342adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D )
4421abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
4544recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  CC )
4621, 22absne0d 11929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  x
)  =/=  0 )
4721, 45, 46divcld 9536 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x  /  ( abs `  x ) )  e.  CC )
4821, 45, 46absdivd 11937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  (
x  /  ( abs `  x ) ) )  =  ( ( abs `  x )  /  ( abs `  ( abs `  x
) ) ) )
49 absidm 11807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  ( abs `  x
) )  =  ( abs `  x ) )
5021, 49syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  ( abs `  x ) )  =  ( abs `  x
) )
5150oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  x
)  /  ( abs `  ( abs `  x
) ) )  =  ( ( abs `  x
)  /  ( abs `  x ) ) )
5245, 46dividd 9534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  x
)  /  ( abs `  x ) )  =  1 )
5348, 51, 523eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( abs `  (
x  /  ( abs `  x ) ) )  =  1 )
54 absf 11821 . . . . . . . . . . 11  |-  abs : CC
--> RR
55 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
56 fniniseg 5646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( ( x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " {
1 } )  <->  ( (
x  /  ( abs `  x ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  =  1 ) ) )
5754, 55, 56mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " {
1 } )  <->  ( (
x  /  ( abs `  x ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  =  1 ) )
5847, 53, 57sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " { 1 } ) )
59 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F : ( `' abs " { 1 } ) --> D  /\  ( x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " { 1 } ) )  ->  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  e.  D )
6043, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  e.  D )
6133, 60sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  e.  RR )
6261recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  e.  CC )
63 mulcl 8821 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  e.  CC )
6431, 62, 63sylancr 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  e.  CC )
6530, 64addcld 8854 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  CC )
6629, 61crimd 11717 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( Im `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )
6766, 60eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( Im `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  e.  D
)
68 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
69 elpreima 5645 . . . . 5  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  ( `' Im " D )  <-> 
( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  e.  D
) ) )
703, 68, 69mp2b 9 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  ( `' Im " D )  <-> 
( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( Im `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  e.  D
) )
7165, 67, 70sylanbrc 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  ( `' Im " D ) )
7271, 2syl6eleqr 2374 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  S )
73 efadd 12375 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  e.  CC  /\  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
7430, 64, 73syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( exp `  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
75 fvres 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  e.  RR  ->  ( ( exp  |`  RR ) `
 ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) ) )  =  ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) ) )
7629, 75syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( exp  |`  RR ) `
 ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) ) )  =  ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) ) )
77 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  /\  ( abs `  x )  e.  RR+ )  ->  ( ( exp  |`  RR ) `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  =  ( abs `  x
) )
7824, 23, 77sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( exp  |`  RR ) `
 ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) ) )  =  ( abs `  x
) )
7976, 78eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  =  ( abs `  x
) )
80 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  ->  ( _i  x.  z )  =  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )
8180fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  z
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) ) ) )
82 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  z ) )
8382fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
8483cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  D  |->  ( exp `  ( _i  x.  w
) ) )  =  ( z  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
8534, 84eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( z  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
86 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp `  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  e.  _V
8781, 85, 86fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  e.  D  ->  ( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) ) ) )
8860, 87syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )
8939adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  F : D -1-1-onto-> ( `' abs " {
1 } ) )
90 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } )  /\  (
x  /  ( abs `  x ) )  e.  ( `' abs " {
1 } ) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  =  ( x  / 
( abs `  x
) ) )
9189, 58, 90syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( F `  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )  =  ( x  / 
( abs `  x
) ) )
9288, 91eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  =  ( x  /  ( abs `  x
) ) )
9379, 92oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( exp `  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) )
9421, 45, 46divcan2d 9538 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( abs `  x
)  x.  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  =  x )
9574, 93, 943eqtrrd 2320 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
9695adantrl 696 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  x  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
97 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
9897eqeq2d 2294 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  ->  ( x  =  ( exp `  y
)  <->  x  =  ( exp `  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) ) )
9996, 98syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  ->  x  =  ( exp `  y ) ) )
10014adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  CC )
101100replimd 11682 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  =  ( ( Re
`  y )  +  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )
102 absef 12477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  y
) )  =  ( exp `  ( Re
`  y ) ) )
103100, 102syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( exp `  y
) )  =  ( exp `  ( Re
`  y ) ) )
104100recld 11679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Re `  y )  e.  RR )
105 fvres 5542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Re `  y )  e.  RR  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 ( Re `  y ) )  =  ( exp `  (
Re `  y )
) )
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( exp  |`  RR ) `
 ( Re `  y ) )  =  ( exp `  (
Re `  y )
) )
107103, 106eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( abs `  ( exp `  y
) )  =  ( ( exp  |`  RR ) `
 ( Re `  y ) ) )
108107fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  =  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( ( exp  |`  RR ) `  (
Re `  y )
) ) )
109 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp  |`  RR ) : RR -1-1-onto-> RR+  /\  ( Re
`  y )  e.  RR )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( ( exp  |`  RR ) `  (
Re `  y )
) )  =  ( Re `  y ) )
11024, 104, 109sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( ( exp  |`  RR ) `  (
Re `  y )
) )  =  ( Re `  y ) )
111108, 110eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  =  ( Re
`  y ) )
112100imcld 11680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Im `  y )  e.  RR )
113112recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Im `  y )  e.  CC )
114 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  y )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  y )
)  e.  CC )
11531, 113, 114sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
_i  x.  ( Im `  y ) )  e.  CC )
116 efcl 12364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  x.  ( Im
`  y ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) )  e.  CC )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) )  e.  CC )
118104recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Re `  y )  e.  CC )
119 efcl 12364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  e.  CC )
120118, 119syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  e.  CC )
121 efne0 12377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  =/=  0 )
122118, 121syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( Re `  y ) )  =/=  0 )
123117, 120, 122divcan3d 9541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( ( exp `  (
Re `  y )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )  / 
( exp `  (
Re `  y )
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
124101fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
( Re `  y
)  +  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) ) )
125 efadd 12375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  y
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  y )
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( Re `  y
)  +  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re
`  y ) )  x.  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) ) )
126118, 115, 125syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  ( ( Re
`  y )  +  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )  =  ( ( exp `  (
Re `  y )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) ) )
127124, 126eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( exp `  y )  =  ( ( exp `  (
Re `  y )
)  x.  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) ) )
128127, 103oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  =  ( ( ( exp `  ( Re `  y
) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) ) )  / 
( exp `  (
Re `  y )
) ) )
129 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
y  e.  ( `' Im " D )  <-> 
( y  e.  CC  /\  ( Im `  y
)  e.  D ) ) )
1303, 68, 129mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( `' Im " D )  <->  ( y  e.  CC  /\  ( Im
`  y )  e.  D ) )
131130simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' Im " D )  ->  (
Im `  y )  e.  D )
132131, 2eleq2s 2375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  ->  (
Im `  y )  e.  D )
133132adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
Im `  y )  e.  D )
134 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( Im `  y )  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  ( Im `  y ) ) )
135134fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( Im `  y )  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
136 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( exp `  ( _i  x.  (
Im `  y )
) )  e.  _V
137135, 34, 136fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  y )  e.  D  ->  ( F `  ( Im `  y ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
138133, 137syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  ( Im `  y ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  ( Im `  y ) ) ) )
139123, 128, 1383eqtr4d 2325 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  =  ( F `  (
Im `  y )
) )
140139fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) )  =  ( `' F `  ( F `
 ( Im `  y ) ) ) )
141 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : D -1-1-onto-> ( `' abs " { 1 } )  /\  (
Im `  y )  e.  D )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( Im `  y ) ) )  =  ( Im `  y ) )
14239, 132, 141syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' F `  ( F `
 ( Im `  y ) ) )  =  ( Im `  y ) )
143140, 142eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) )  =  ( Im `  y ) )
144143oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
_i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  / 
( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  (
Im `  y )
) )
145111, 144oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) ) )  =  ( ( Re
`  y )  +  ( _i  x.  (
Im `  y )
) ) )
146101, 145eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) ) ) ) )
147 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  ( exp `  y ) ) )
148147fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  =  ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) ) )
149 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  x  =  ( exp `  y ) )
150149, 147oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( x  /  ( abs `  x
) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) )
151150fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) )  =  ( `' F `  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) ) )
152151oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) ) )
153148, 152oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  ( exp `  y ) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y
)  /  ( abs `  ( exp `  y
) ) ) ) ) ) )
154153eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  <->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  ( exp `  y
) ) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( ( exp `  y )  /  ( abs `  ( exp `  y ) ) ) ) ) ) ) )
155146, 154syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
x  =  ( exp `  y )  ->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
156155adantrr 697 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  ( x  =  ( exp `  y
)  ->  y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `  ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) ) ) )
15799, 156impbid 183 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) )  ->  ( y  =  ( ( `' ( exp  |`  RR ) `
 ( abs `  x
) )  +  ( _i  x.  ( `' F `  ( x  /  ( abs `  x
) ) ) ) )  <->  x  =  ( exp `  y ) ) )
15813, 17, 72, 157f1o2d 6069 1  |-  ( ph  ->  ( exp  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( CC  \  {
0 } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    \ cdif 3149    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   ZZcz 10024   RR+crp 10354   [,]cicc 10659   Recre 11582   Imcim 11583   abscabs 11719   expce 12343   sincsin 12345   picpi 12348
This theorem is referenced by:  eff1o  19911
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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