Theorem effsumle 7397

Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function of a nonnegative real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
effsumle.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
effsumle.2	|- A e. RR
effsumle.3	|- N e. NN0

Assertion

Ref	Expression
effsumle	|- (0 <_ A -> (( + seq0 F)` N) <_ (exp` A))

Distinct variable group:   A,j,y

Proof of Theorem effsumle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divge0t 5858	. . . . . . 7 |- ((((A^k) e. RR /\ 0 <_ (A^k)) /\ ((!` k) e. RR /\ 0 < (!` k))) -> 0 <_ ((A^k) / (!` k)))
2		effsumle.2	. . . . . . . . 9 |- A e. RR
3		reexpclt 6581	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ k e. NN0) -> (A^k) e. RR)
4	2, 3	mpan 697	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (A^k) e. RR)
5	4	adantr 391	. . . . . . 7 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> (A^k) e. RR)
6		expge0t 6592	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (A^k))
7	2, 6	mp3an1 905	. . . . . . 7 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (A^k))
8		facclt 6940	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. NN)
9		nnret 5931	. . . . . . . . 9 |- ((!` k) e. NN -> (!` k) e. RR)
10	8, 9	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> (!` k) e. RR)
11	10	adantr 391	. . . . . . 7 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> (!` k) e. RR)
12		nngt0t 5948	. . . . . . . . 9 |- ((!` k) e. NN -> 0 < (!` k))
13	8, 12	syl 10	. . . . . . . 8 |- (k e. NN0 -> 0 < (!` k))
14	13	adantr 391	. . . . . . 7 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 < (!` k))
15	1, 5, 7, 11, 14	syl2anc 474	. . . . . 6 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ ((A^k) / (!` k)))
16		effsumle.1	. . . . . . . 8 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
17	16	eftval 7316	. . . . . . 7 |- (k e. NN0 -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
18	17	adantr 391	. . . . . 6 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> (F` k) = ((A^k) / (!` k)))
19	15, 18	breqtrrd 2646	. . . . 5 |- ((k e. NN0 /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (F` k))
20		elnn0uz 6442	. . . . 5 |- (k e. NN0 <-> k e. (ZZ>` 0))
21	19, 20	sylanbr 452	. . . 4 |- ((k e. (ZZ>` 0) /\ 0 <_ A) -> 0 <_ (F` k))
22	21	expcom 374	. . 3 |- (0 <_ A -> (k e. (ZZ>` 0) -> 0 <_ (F` k)))
23	22	r19.21aiv 1716	. 2 |- (0 <_ A -> A.k e. (ZZ>` 0)0 <_ (F` k))
24		effsumle.3	. . . . 5 |- N e. NN0
25		nn0uz 6439	. . . . 5 |- NN0 = (ZZ>` 0)
26	24, 25	eleqtr 1549	. . . 4 |- N e. (ZZ>` 0)
27		nn0ex 6107	. . . . . 6 |- NN0 e. V
28	27, 16	fopabex2 3618	. . . . 5 |- F e. V
29		fvex 3738	. . . . 5 |- (exp` A) e. V
30		addex 5329	. . . . . . 7 |- + e. V
31	30, 28	seq0seqz 6543	. . . . . 6 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
32	2	recn 5326	. . . . . . 7 |- A e. CC
33	16	efcvg 7314	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> ( + seq0 F) ~~> (exp` A))
34	32, 33	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ( + seq0 F) ~~> (exp` A)
35	31, 34	eqbrtrr 2641	. . . . 5 |- (<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A)
36		reeftclt 7374	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ j e. NN0) -> ((A^j) / (!` j)) e. RR)
37	2, 36	mpan 697	. . . . . . 7 |- (j e. NN0 -> ((A^j) / (!` j)) e. RR)
38	16, 37	fopab 3833	. . . . . 6 |- F:NN0-->RR
39		feq2 3627	. . . . . . 7 |- (NN0 = (ZZ>` 0) -> (F:NN0-->RR <-> F:(ZZ>` 0)-->RR))
40	25, 39	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (F:NN0-->RR <-> F:(ZZ>` 0)-->RR)
41	38, 40	mpbi 189	. . . . 5 |- F:(ZZ>` 0)-->RR
42	28, 29, 35, 41	climserzle 7147	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>` 0) /\ A.k e. (ZZ>` 0)0 <_ (F` k)) -> ((<.0, + >. seq F)` N) <_ (exp` A))
43	26, 42	mpan 697	. . 3 |- (A.k e. (ZZ>` 0)0 <_ (F` k) -> ((<.0, + >. seq F)` N) <_ (exp` A))
44	31	fveq1i 3731	. . 3 |- (( + seq0 F)` N) = ((<.0, + >. seq F)` N)
45	43, 44	syl5eqbr 2653	. 2 |- (A.k e. (ZZ>` 0)0 <_ (F` k) -> (( + seq0 F)` N) <_ (exp` A))
46	23, 45	syl 10	1 |- (0 <_ A -> (( + seq0 F)` N) <_ (exp` A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  <.cop 2415   class class class wbr 2624  {copab 2671  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249   / cdiv 5306   <_ cle 5307  NNcn 5308  NN0cn0 5309   < clt 5498  ZZ>cuz 6418   seq cseqz 6532   seq0 cseq0 6533  ^cexp 6569  !cfa 6931   ~~> cli 6974  expce 7293

This theorem is referenced by:  efge1 7401  efge1p 7402

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain