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Theorem efgcpbllemb 15392
Description: Lemma for efgrelex 15388. Show that  L is an equivalence relation containing all direct extensions of a word, so is closed under  .~. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
efgcpbllem.1  |-  L  =  { <. i ,  j
>.  |  ( {
i ,  j } 
C_  W  /\  (
( A concat  i ) concat  B )  .~  ( ( A concat  j ) concat  B
) ) }
Assertion
Ref Expression
efgcpbllemb  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  .~  C_  L )
Distinct variable groups:    i, j, A    y, z    t, n, v, w, y, z   
i, m, n, t, v, w, x, M, j    i, k, T, j, m, t, x   
y, i, z, W, j    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , i,
j, m, t, x, y, z    B, i, j    S, i, j    i, I, j, m, n, t, v, w, x, y, z    D, i, j, m, t
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    B( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y, z, w, v, n)    I( k)    L( x, y, z, w, v, t, i, j, k, m, n)    M( y, z, k)

Proof of Theorem efgcpbllemb
Dummy variables  a 
b  c  f  g  h  r  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . 3  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
2 efgval.r . . 3  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
3 efgval2.m . . 3  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
4 efgval2.t . . 3  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
51, 2, 3, 4efgval2 15361 . 2  |-  .~  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f ) 
C_  [ f ] r ) }
6 efgcpbllem.1 . . . . . . 7  |-  L  =  { <. i ,  j
>.  |  ( {
i ,  j } 
C_  W  /\  (
( A concat  i ) concat  B )  .~  ( ( A concat  j ) concat  B
) ) }
76relopabi 5003 . . . . . 6  |-  Rel  L
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  Rel  L )
9 efgred.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
10 efgred.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
111, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 15391 . . . . . . . 8  |-  ( f L g  <->  ( f  e.  W  /\  g  e.  W  /\  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  g ) concat  B
) ) )
1211simp2bi 974 . . . . . . 7  |-  ( f L g  ->  g  e.  W )
1312adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  g  e.  W )
1411simp1bi 973 . . . . . . 7  |-  ( f L g  ->  f  e.  W )
1514adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  f  e.  W )
161, 2efger 15355 . . . . . . . 8  |-  .~  Er  W
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  .~  Er  W )
1811simp3bi 975 . . . . . . . 8  |-  ( f L g  ->  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  g ) concat  B
) )
1918adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  g ) concat  B
) )
2017, 19ersym 6920 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  (
( A concat  g ) concat  B )  .~  ( ( A concat  f ) concat  B
) )
211, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 15391 . . . . . 6  |-  ( g L f  <->  ( g  e.  W  /\  f  e.  W  /\  (
( A concat  g ) concat  B )  .~  ( ( A concat  f ) concat  B
) ) )
2213, 15, 20, 21syl3anbrc 1139 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f L
g )  ->  g L f )
2314ad2antrl 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  f  e.  W
)
241, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 15391 . . . . . . . 8  |-  ( g L h  <->  ( g  e.  W  /\  h  e.  W  /\  (
( A concat  g ) concat  B )  .~  ( ( A concat  h ) concat  B
) ) )
2524simp2bi 974 . . . . . . 7  |-  ( g L h  ->  h  e.  W )
2625ad2antll 711 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  h  e.  W
)
2716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  .~  Er  W
)
2818ad2antrl 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  ( ( A concat 
f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  g
) concat  B ) )
2924simp3bi 975 . . . . . . . 8  |-  ( g L h  ->  (
( A concat  g ) concat  B )  .~  ( ( A concat  h ) concat  B
) )
3029ad2antll 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  ( ( A concat 
g ) concat  B )  .~  ( ( A concat  h
) concat  B ) )
3127, 28, 30ertrd 6924 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  ( ( A concat 
f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  h
) concat  B ) )
321, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 15391 . . . . . 6  |-  ( f L h  <->  ( f  e.  W  /\  h  e.  W  /\  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  h ) concat  B
) ) )
3323, 26, 31, 32syl3anbrc 1139 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  ( f L g  /\  g L h ) )  ->  f L h )
3416a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  .~  Er  W )
35 fviss 5787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  C_ Word  ( I  X.  2o )
361, 35eqsstri 3380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  C_ Word  ( I  X.  2o )
37 simpll 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  A  e.  W )
3836, 37sseldi 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  A  e. Word  ( I  X.  2o ) )
39 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  f  e.  W )
4036, 39sseldi 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  f  e. Word  ( I  X.  2o ) )
41 ccatcl 11748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  f  e. Word  ( I  X.  2o ) )  -> 
( A concat  f )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
4238, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  ( A concat  f )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
43 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  B  e.  W )
4436, 43sseldi 3348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  B  e. Word  ( I  X.  2o ) )
45 ccatcl 11748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A concat  f )  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  B  e. Word 
( I  X.  2o ) )  ->  (
( A concat  f ) concat  B )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
4642, 44, 45syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
( A concat  f ) concat  B )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
471efgrcl 15352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  W  ->  (
I  e.  _V  /\  W  = Word  ( I  X.  2o ) ) )
4847simprd 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  W  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
4948ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
5046, 49eleqtrrd 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
( A concat  f ) concat  B )  e.  W )
5134, 50erref 6928 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  f ) concat  B
) )
5251ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  ( f  e.  W  ->  ( ( A concat  f
) concat  B )  .~  (
( A concat  f ) concat  B ) ) )
5352pm4.71d 617 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  ( f  e.  W  <->  ( f  e.  W  /\  ( ( A concat  f
) concat  B )  .~  (
( A concat  f ) concat  B ) ) ) )
541, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 15391 . . . . . . 7  |-  ( f L f  <->  ( f  e.  W  /\  f  e.  W  /\  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  f ) concat  B
) ) )
55 df-3an 939 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  W  /\  f  e.  W  /\  ( ( A concat  f
) concat  B )  .~  (
( A concat  f ) concat  B ) )  <->  ( (
f  e.  W  /\  f  e.  W )  /\  ( ( A concat  f
) concat  B )  .~  (
( A concat  f ) concat  B ) ) )
56 anidm 627 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  W  /\  f  e.  W )  <->  f  e.  W )
5756anbi1i 678 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  W  /\  f  e.  W
)  /\  ( ( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat 
f ) concat  B )
)  <->  ( f  e.  W  /\  ( ( A concat  f ) concat  B
)  .~  ( ( A concat  f ) concat  B ) ) )
5854, 55, 573bitri 264 . . . . . 6  |-  ( f L f  <->  ( f  e.  W  /\  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  f ) concat  B
) ) )
5953, 58syl6bbr 256 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  ( f  e.  W  <->  f L f ) )
608, 22, 33, 59iserd 6934 . . . 4  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  L  Er  W )
611, 2, 3, 4efgtf 15359 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  W  ->  (
( T `  f
)  =  ( a  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) ,  b  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( f splice  <. a ,  a , 
<" b ( M `
 b ) "> >. ) )  /\  ( T `  f ) : ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W ) )
6261simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  W  ->  ( T `  f ) : ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W )
6362adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  ( T `  f ) : ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W )
64 ffn 5594 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  f ) : ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W  ->  ( T `  f )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) )
65 ovelrn 6225 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  f )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  f
) )  X.  (
I  X.  2o ) )  ->  ( a  e.  ran  ( T `  f )  <->  E. c  e.  ( 0 ... ( # `
 f ) ) E. u  e.  ( I  X.  2o ) a  =  ( c ( T `  f
) u ) ) )
6663, 64, 653syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
a  e.  ran  ( T `  f )  <->  E. c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) E. u  e.  ( I  X.  2o ) a  =  ( c ( T `  f ) u ) ) )
67 simplr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
f  e.  W )
6862ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( T `  f
) : ( ( 0 ... ( # `  f ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W )
69 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) )
70 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  u  e.  ( I  X.  2o ) )
7168, 69, 70fovrnd 6221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( c ( T `
 f ) u )  e.  W )
7250adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  f
) concat  B )  e.  W
)
7337adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  A  e.  W )
7436, 73sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  A  e. Word  ( I  X.  2o ) )
7540adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
f  e. Word  ( I  X.  2o ) )
76 swrdcl 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( f substr  <. 0 ,  c >.
)  e. Word  ( I  X.  2o ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
78 ccatcl 11748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
7974, 77, 78syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A concat  ( f substr  <.
0 ,  c >.
) )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
803efgmf 15350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  M :
( I  X.  2o )
--> ( I  X.  2o )
8180ffvelrni 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ( I  X.  2o )  ->  ( M `
 u )  e.  ( I  X.  2o ) )
8281ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( M `  u
)  e.  ( I  X.  2o ) )
8370, 82s2cld 11838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  <" u ( M `
 u ) ">  e. Word  ( I  X.  2o ) )
84 ccatcl 11748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  <" u ( M `  u ) ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) concat  <" u ( M `  u ) "> )  e. Word 
( I  X.  2o ) )
8579, 83, 84syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  <" u
( M `  u
) "> )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
86 swrdcl 11771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
8775, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
8844adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  B  e. Word  ( I  X.  2o ) )
89 ccatass 11755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  <" u
( M `  u
) "> )  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  B  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( (
( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  <" u
( M `  u
) "> ) concat  ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) concat  B )  =  ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  <" u ( M `  u ) "> ) concat  (
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )
) )
9085, 87, 88, 89syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  <" u ( M `  u ) "> ) concat  (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) concat  B )  =  ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  <" u ( M `  u ) "> ) concat  (
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )
) )
91 ccatcl 11748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  <" u ( M `  u ) ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) concat  <" u
( M `  u
) "> )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
9277, 83, 91syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u ( M `
 u ) "> )  e. Word  (
I  X.  2o ) )
93 ccatass 11755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u ( M `
 u ) "> )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( ( A concat  ( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u ( M `
 u ) "> ) ) concat  (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) )  =  ( A concat  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) concat  <" u
( M `  u
) "> ) concat  ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) ) )
9474, 92, 87, 93syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u
( M `  u
) "> )
) concat  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  ( A concat  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u ( M `
 u ) "> ) concat  ( f substr  <.
c ,  ( # `  f ) >. )
) ) )
95 ccatass 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  <" u ( M `  u ) ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) concat  <" u ( M `  u ) "> )  =  ( A concat  ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) concat  <" u
( M `  u
) "> )
) )
9674, 77, 83, 95syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  <" u
( M `  u
) "> )  =  ( A concat  (
( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u
( M `  u
) "> )
) )
9796oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A concat 
( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  <" u ( M `  u ) "> ) concat  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  ( ( A concat  (
( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u
( M `  u
) "> )
) concat  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ) )
981, 2, 3, 4efgtval 15360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  W  /\  c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) )  ->  (
c ( T `  f ) u )  =  ( f splice  <. c ,  c ,  <" u ( M `  u ) "> >.
) )
9967, 69, 70, 98syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( c ( T `
 f ) u )  =  ( f splice  <. c ,  c , 
<" u ( M `
 u ) "> >. ) )
100 splval 11785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  W  /\  ( c  e.  ( 0 ... ( # `  f ) )  /\  c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  <" u ( M `  u ) ">  e. Word  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f splice  <. c ,  c ,  <" u
( M `  u
) "> >. )  =  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) concat  <" u
( M `  u
) "> ) concat  ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) )
10167, 69, 69, 83, 100syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f splice  <. c ,  c ,  <" u
( M `  u
) "> >. )  =  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) concat  <" u
( M `  u
) "> ) concat  ( f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) )
10299, 101eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( c ( T `
 f ) u )  =  ( ( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u ( M `
 u ) "> ) concat  ( f substr  <.
c ,  ( # `  f ) >. )
) )
103102oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A concat  ( c
( T `  f
) u ) )  =  ( A concat  (
( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat  <" u ( M `
 u ) "> ) concat  ( f substr  <.
c ,  ( # `  f ) >. )
) ) )
10494, 97, 1033eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A concat  ( c
( T `  f
) u ) )  =  ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  <" u ( M `  u ) "> ) concat  (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) )
105104oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
c ( T `  f ) u ) ) concat  B )  =  ( ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  <" u ( M `  u ) "> ) concat  (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) concat  B ) )
106 lencl 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( # `  A )  e.  NN0 )
10774, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  A )  e.  NN0 )
108 nn0uz 10525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
109107, 108syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  A )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
110 elfznn0 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  ->  c  e.  NN0 )
111110ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
c  e.  NN0 )
112 uzaddcl 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
( # `  A )  +  c )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
113109, 111, 112syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
11442adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A concat  f )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
115 ccatlen 11749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A concat  f )  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  B  e. Word 
( I  X.  2o ) )  ->  ( # `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
)  =  ( (
# `  ( A concat  f ) )  +  (
# `  B )
) )
116114, 88, 115syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( ( A concat  f ) concat  B
) )  =  ( ( # `  ( A concat  f ) )  +  ( # `  B
) ) )
117 ccatlen 11749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  f  e. Word  ( I  X.  2o ) )  -> 
( # `  ( A concat 
f ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  f ) ) )
11874, 75, 117syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( A concat 
f ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  f ) ) )
119 elfzuz3 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  ->  ( # `
 f )  e.  ( ZZ>= `  c )
)
120119ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  ( ZZ>= `  c
) )
121107nn0zd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  A )  e.  ZZ )
122 eluzadd 10519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  f
)  e.  ( ZZ>= `  c )  /\  ( # `
 A )  e.  ZZ )  ->  (
( # `  f )  +  ( # `  A
) )  e.  (
ZZ>= `  ( c  +  ( # `  A
) ) ) )
123120, 121, 122syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  f
)  +  ( # `  A ) )  e.  ( ZZ>= `  ( c  +  ( # `  A
) ) ) )
124 lencl 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( # `  f )  e.  NN0 )
12575, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  NN0 )
126125nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  CC )
127107nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  A )  e.  CC )
128126, 127addcomd 9273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  f
)  +  ( # `  A ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  f ) ) )
129111nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
c  e.  CC )
130129, 127addcomd 9273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( c  +  (
# `  A )
)  =  ( (
# `  A )  +  c ) )
131130fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ZZ>= `  ( c  +  ( # `  A
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  +  c ) ) )
132123, 128, 1313eltr3d 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  f ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  +  c ) ) )
133118, 132eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( A concat 
f ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  +  c ) ) )
134 lencl 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( # `  B )  e.  NN0 )
13588, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  B )  e.  NN0 )
136 uzaddcl 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( # `  ( A concat  f ) )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  +  c ) )  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  ( A concat  f ) )  +  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  A )  +  c ) ) )
137133, 135, 136syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  ( A concat  f ) )  +  ( # `  B
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  A )  +  c ) ) )
138116, 137eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( ( A concat  f ) concat  B
) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  A )  +  c ) ) )
139 elfzuzb 11058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  A
)  +  c )  e.  ( 0 ... ( # `  (
( A concat  f ) concat  B ) ) )  <->  ( (
( # `  A )  +  c )  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( # `  (
( A concat  f ) concat  B ) )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  A )  +  c ) ) ) )
140113, 138, 139sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  e.  ( 0 ... ( # `  (
( A concat  f ) concat  B ) ) ) )
1411, 2, 3, 4efgtval 15360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A concat  f
) concat  B )  e.  W  /\  ( ( # `  A
)  +  c )  e.  ( 0 ... ( # `  (
( A concat  f ) concat  B ) ) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) )  -> 
( ( ( # `  A )  +  c ) ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) u )  =  ( ( ( A concat  f ) concat  B ) splice  <. ( (
# `  A )  +  c ) ,  ( ( # `  A
)  +  c ) ,  <" u ( M `  u ) "> >. )
)
14272, 140, 70, 141syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( # `  A )  +  c ) ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) u )  =  ( ( ( A concat  f ) concat  B ) splice  <. ( (
# `  A )  +  c ) ,  ( ( # `  A
)  +  c ) ,  <" u ( M `  u ) "> >. )
)
143 wrd0 11737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e. Word  (
I  X.  2o )
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  ->  (/) 
e. Word  ( I  X.  2o ) )
145 ccatcl 11748 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  B  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) concat  B )  e. Word 
( I  X.  2o ) )
14687, 88, 145syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
147 ccatrid 11754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) )  e. Word  ( I  X.  2o )  -> 
( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  (/) )  =  ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) ) )
14879, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  (/) )  =  ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) ) )
149148oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A concat 
( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  (/) ) concat  (
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )
)  =  ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  ( ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. ) concat  B ) ) )
150 ccatass 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  B  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( (
( A concat  ( f substr  <.
0 ,  c >.
) ) concat  ( f substr  <.
c ,  ( # `  f ) >. )
) concat  B )  =  ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) ) concat  ( (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) concat  B ) ) )
15179, 87, 88, 150syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A concat 
( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) concat  B )  =  ( ( A concat 
( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  (
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )
) )
152 ccatass 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) concat  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  ( A concat  ( ( f substr  <. 0 ,  c
>. ) concat  ( f substr  <.
c ,  ( # `  f ) >. )
) ) )
15374, 77, 87, 152syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. )
)  =  ( A concat 
( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat 
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) ) ) )
154111, 108syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
c  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
155 eluzfz1 11069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... c
) )
156154, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
0  e.  ( 0 ... c ) )
157125, 108syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
158 eluzfz2 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  f )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( # `  f
)  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) )
159157, 158syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  f )  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) )
160 ccatswrd 11778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( 0  e.  ( 0 ... c )  /\  c  e.  ( 0 ... ( # `  f ) )  /\  ( # `  f )  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) ) )  ->  ( ( f substr  <. 0 ,  c >.
) concat  ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  ( f substr  <. 0 ,  ( # `  f
) >. ) )
16175, 156, 69, 159, 160syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat 
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  ( f substr  <. 0 ,  ( # `  f
) >. ) )
162 swrdid 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( f substr  <. 0 ,  ( # `  f ) >. )  =  f )
16375, 162syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( f substr  <. 0 ,  ( # `  f
) >. )  =  f )
164161, 163eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( f substr  <. 0 ,  c >. ) concat 
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) )  =  f )
165164oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( A concat  ( (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) concat  ( f substr  <.
c ,  ( # `  f ) >. )
) )  =  ( A concat  f ) )
166153, 165eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  ( f substr  <. c ,  ( # `  f ) >. )
)  =  ( A concat 
f ) )
167166oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A concat 
( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  (
f substr  <. c ,  (
# `  f ) >. ) ) concat  B )  =  ( ( A concat 
f ) concat  B )
)
168149, 151, 1673eqtr2rd 2477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  f
) concat  B )  =  ( ( ( A concat  (
f substr  <. 0 ,  c
>. ) ) concat  (/) ) concat  (
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )
) )
169 ccatlen 11749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  ( f substr  <. 0 ,  c >. )  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( # `  ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ) )
17074, 77, 169syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( A concat 
( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) )  =  ( ( # `  A )  +  (
# `  ( f substr  <.
0 ,  c >.
) ) ) )
171 swrd0len 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) ) )  -> 
( # `  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) )  =  c )
17275, 69, 171syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( # `  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) )  =  c )
173172oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  ( # `  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) )  =  ( ( # `  A
)  +  c ) )
174170, 173eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  =  ( # `  ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. )
) ) )
175 hash0 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( # `  (/) )  =  0
176175oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( # `  A
)  +  c )  +  ( # `  (/) ) )  =  ( ( (
# `  A )  +  c )  +  0 )
177107, 111nn0addcld 10283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  e.  NN0 )
178177nn0cnd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  e.  CC )
179178addid1d 9271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( # `  A )  +  c )  +  0 )  =  ( ( # `  A )  +  c ) )
180176, 179syl5req 2483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( # `  A
)  +  c )  =  ( ( (
# `  A )  +  c )  +  ( # `  (/) ) ) )
18179, 144, 146, 83, 168, 174, 180splval2 11791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( A concat 
f ) concat  B ) splice  <.
( ( # `  A
)  +  c ) ,  ( ( # `  A )  +  c ) ,  <" u
( M `  u
) "> >. )  =  ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >. ) ) concat  <" u ( M `  u ) "> ) concat  (
( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )
) )
182142, 181eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( # `  A )  +  c ) ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) u )  =  ( ( ( A concat  ( f substr  <. 0 ,  c >.
) ) concat  <" u
( M `  u
) "> ) concat  ( ( f substr  <. c ,  ( # `  f
) >. ) concat  B )
) )
18390, 105, 1823eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
c ( T `  f ) u ) ) concat  B )  =  ( ( ( # `  A )  +  c ) ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) u ) )
1841, 2, 3, 4efgtf 15359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A concat  f ) concat  B )  e.  W  ->  ( ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) )  =  ( a  e.  ( 0 ... ( # `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) ) ,  b  e.  ( I  X.  2o ) 
|->  ( ( ( A concat 
f ) concat  B ) splice  <.
a ,  a , 
<" b ( M `
 b ) "> >. ) )  /\  ( T `  ( ( A concat  f ) concat  B
) ) : ( ( 0 ... ( # `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W ) )
185184simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A concat  f ) concat  B )  e.  W  ->  ( T `  (
( A concat  f ) concat  B ) ) : ( ( 0 ... ( # `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W )
186 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T `  ( ( A concat  f ) concat  B
) ) : ( ( 0 ... ( # `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) --> W  ->  ( T `  ( ( A concat  f ) concat  B ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) )
18772, 185, 1863syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( T `  (
( A concat  f ) concat  B ) )  Fn  (
( 0 ... ( # `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
) )  X.  (
I  X.  2o ) ) )
188 fnovrn 6224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T `  (
( A concat  f ) concat  B ) )  Fn  (
( 0 ... ( # `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
) )  X.  (
I  X.  2o ) )  /\  ( (
# `  A )  +  c )  e.  ( 0 ... ( # `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) )  ->  (
( ( # `  A
)  +  c ) ( T `  (
( A concat  f ) concat  B ) ) u )  e.  ran  ( T `
 ( ( A concat 
f ) concat  B )
) )
189187, 140, 70, 188syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( # `  A )  +  c ) ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) u )  e.  ran  ( T `  ( ( A concat  f ) concat  B ) ) )
190183, 189eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  (
c ( T `  f ) u ) ) concat  B )  e. 
ran  ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) )
1911, 2, 3, 4efgi2 15362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A concat  f
) concat  B )  e.  W  /\  ( ( A concat  (
c ( T `  f ) u ) ) concat  B )  e. 
ran  ( T `  ( ( A concat  f
) concat  B ) ) )  ->  ( ( A concat 
f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  (
c ( T `  f ) u ) ) concat  B ) )
19272, 190, 191syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( A concat  f
) concat  B )  .~  (
( A concat  ( c
( T `  f
) u ) ) concat  B ) )
1931, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 15391 . . . . . . . . . 10  |-  ( f L ( c ( T `  f ) u )  <->  ( f  e.  W  /\  (
c ( T `  f ) u )  e.  W  /\  (
( A concat  f ) concat  B )  .~  ( ( A concat  ( c ( T `  f ) u ) ) concat  B
) ) )
19467, 71, 192, 193syl3anbrc 1139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
f L ( c ( T `  f
) u ) )
195 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  a  e. 
_V
196 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
197195, 196elec 6947 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  [ f ] L  <->  f L a )
198 breq2 4219 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( c ( T `  f ) u )  ->  (
f L a  <->  f L
( c ( T `
 f ) u ) ) )
199197, 198syl5bb 250 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( c ( T `  f ) u )  ->  (
a  e.  [ f ] L  <->  f L
( c ( T `
 f ) u ) ) )
200194, 199syl5ibrcom 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  /\  f  e.  W )  /\  (
c  e.  ( 0 ... ( # `  f
) )  /\  u  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( a  =  ( c ( T `  f ) u )  ->  a  e.  [
f ] L ) )
201200rexlimdvva 2839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  ( E. c  e.  (
0 ... ( # `  f
) ) E. u  e.  ( I  X.  2o ) a  =  ( c ( T `  f ) u )  ->  a  e.  [
f ] L ) )
20266, 201sylbid 208 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  (
a  e.  ran  ( T `  f )  ->  a  e.  [ f ] L ) )
203202ssrdv 3356 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W
)  /\  f  e.  W )  ->  ran  ( T `  f ) 
C_  [ f ] L )
204203ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] L )
205 fvex 5745 . . . . . . 7  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  e.  _V
2061, 205eqeltri 2508 . . . . . 6  |-  W  e. 
_V
207 erex 6932 . . . . . 6  |-  ( L  Er  W  ->  ( W  e.  _V  ->  L  e.  _V ) )
20860, 206, 207ee10 1386 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  L  e.  _V )
209 ereq1 6915 . . . . . . 7  |-  ( r  =  L  ->  (
r  Er  W  <->  L  Er  W ) )
210 eceq2 6945 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  L  ->  [ f ] r  =  [
f ] L )
211210sseq2d 3378 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  L  ->  ( ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r  <->  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) )
212211ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( r  =  L  ->  ( A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r  <->  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) )
213209, 212anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( r  =  L  ->  (
( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r )  <->  ( L  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) ) )
214213elabg 3085 . . . . 5  |-  ( L  e.  _V  ->  ( L  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] r ) }  <->  ( L  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) ) )
215208, 214syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  ( L  e.  {
r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f ) 
C_  [ f ] r ) }  <->  ( L  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] L ) ) )
21660, 204, 215mpbir2and 890 . . 3  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  L  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `
 f )  C_  [ f ] r ) } )
217 intss1 4067 . . 3  |-  ( L  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r ) }  ->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r ) } 
C_  L )
218216, 217syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. f  e.  W  ran  ( T `  f
)  C_  [ f ] r ) } 
C_  L )
2195, 218syl5eqss 3394 1  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  W )  ->  .~  C_  L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   {cpr 3817   <.cop 3819   <.cotp 3820   |^|cint 4052   U_ciun 4095   class class class wbr 4215   {copab 4268    e. cmpt 4269    _I cid 4496    X. cxp 4879   ran crn 4882   Rel wrel 4886    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   1oc1o 6720   2oc2o 6721    Er wer 6905   [cec 6906   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    - cmin 9296   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048  ..^cfzo 11140   #chash 11623  Word cword 11722   concat cconcat 11723   substr csubstr 11725   splice csplice 11726   <"cs2 11810   ~FG cefg 15343
This theorem is referenced by:  efgcpbl  15393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-ec 6910  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-hash 11624  df-word 11728  df-concat 11729  df-s1 11730  df-substr 11731  df-splice 11732  df-s2 11817  df-efg 15346
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