Theorem efger 15355

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )

Assertion

Ref	Expression
efger	|- .~ Er W

Proof of Theorem efger

Dummy variables r y z n w x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . 5 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
2	1	efglem 15353	. . . 4 |- E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) )
3		abn0 3648	. . . 4 |- ( { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/) <-> E. r ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) )
4	2, 3	mpbir 202	. . 3 |- { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/)
5		ereq1 6915	. . . . 5 |- ( w = r -> ( w Er W <-> r Er W ) )
6	5	ralab2 3101	. . . 4 |- ( A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w Er W <-> A. r ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r Er W ) )
7		simpl 445	. . . 4 |- ( ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) -> r Er W )
8	6, 7	mpgbir 1560	. . 3 |- A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w Er W
9		iiner 6979	. . 3 |- ( ( { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } =/= (/) /\ A. w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w Er W ) -> |^|_ w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w Er W )
10	4, 8, 9	mp2an 655	. 2 |- |^|_ w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w Er W
11		efgval.r	. . . . 5 |- .~ = ( ~FG ` I )
12	1, 11	efgval 15354	. . . 4 |- .~ = |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) }
13		intiin 4147	. . . 4 |- |^| { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } = |^|_ w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w
14	12, 13	eqtri 2458	. . 3 |- .~ = |^|_ w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w
15		ereq1 6915	. . 3 |- ( .~ = |^|_ w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w -> ( .~ Er W <-> |^|_ w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w Er W ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. 2 |- ( .~ Er W <-> |^|_ w e. { r | ( r Er W /\ A. x e. W A. n e. ( 0 ... ( # ` x ) ) A. y e. I A. z e. 2o x r ( x splice <. n , n , <" <. y , z >. <. y , ( 1o \ z ) >. "> >. ) ) } w Er W )
17	10, 16	mpbir 202	1 |- .~ Er W

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 178   /\ wa 360   E.wex 1551   = wceq 1653   {cab 2424   =/= wne 2601   A.wral 2707   \ cdif 3319   (/)c0 3630   <.cop 3819   <.cotp 3820   |^|cint 4052   |^|_ciin 4096   class class class wbr 4215   _I cid 4496   X. cxp 4879   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1oc1o 6720   2oc2o 6721   Er wer 6905   0cc0 8995   ...cfz 11048   #chash 11623  Word cword 11722   splice csplice 11726   <"cs2 11810   ~_FG cefg 15343

This theorem is referenced by:  efginvrel2  15364  efgsrel  15371  efgredeu  15389  efgred2  15390  efgcpbllemb  15392  efgcpbl2  15394  frgpcpbl  15396  frgp0  15397  frgpadd  15400  frgpinv  15401  frgpmhm  15402  frgpuplem  15409  frgpupf  15410  frgpupval  15411  frgpup3lem  15414  frgpnabllem1  15489  frgpnabllem2  15490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-hash 11624  df-word 11728  df-concat 11729  df-s1 11730  df-substr 11731  df-splice 11732  df-s2 11817  df-efg 15346