MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi0 Structured version   Unicode version

Theorem efgi0 15344
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efgi0  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
)

Proof of Theorem efgi0
StepHypRef Expression
1 0ex 4331 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
21prid1 3904 . . . . 5  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
3 df2o3 6729 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
42, 3eleqtrri 2508 . . . 4  |-  (/)  e.  2o
5 efgval.w . . . . 5  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
6 efgval.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
75, 6efgi 15343 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  (/)  e.  2o ) )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >. ) )
84, 7mpanr2 666 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. "> >.
) )
983impa 1148 . 2  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >. ) )
10 tru 1330 . . . 4  |-  T.
11 eqidd 2436 . . . . 5  |-  (  T. 
->  <. J ,  (/) >.  =  <. J ,  (/) >.
)
12 dif0 3690 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
\  (/) )  =  1o
1312opeq2i 3980 . . . . . 6  |-  <. J , 
( 1o  \  (/) ) >.  =  <. J ,  1o >.
1413a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >.  =  <. J ,  1o >. )
1511, 14s2eqd 11818 . . . 4  |-  (  T. 
->  <" <. J ,  (/)
>. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. ">  =  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> )
16 oteq3 3987 . . . 4  |-  ( <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. ">  =  <" <. J ,  (/)
>. <. J ,  1o >. ">  ->  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
1710, 15, 16mp2b 10 . . 3  |-  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >.
1817oveq2i 6084 . 2  |-  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. "> >.
)  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
199, 18syl6breq 4243 1  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309   (/)c0 3620   {cpr 3807   <.cop 3809   <.cotp 3810   class class class wbr 4204    _I cid 4485    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1oc1o 6709   2oc2o 6710   0cc0 8982   ...cfz 11035   #chash 11610  Word cword 11709   splice csplice 11713   <"cs2 11797   ~FG cefg 15330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-hash 11611  df-word 11715  df-concat 11716  df-s1 11717  df-substr 11718  df-splice 11719  df-s2 11804  df-efg 15333
  Copyright terms: Public domain W3C validator