MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi0 Unicode version

Theorem efgi0 15272
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efgi0  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
)

Proof of Theorem efgi0
StepHypRef Expression
1 0ex 4273 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
21prid1 3848 . . . . 5  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
3 df2o3 6666 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
42, 3eleqtrri 2453 . . . 4  |-  (/)  e.  2o
5 efgval.w . . . . 5  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
6 efgval.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
75, 6efgi 15271 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  (/)  e.  2o ) )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >. ) )
84, 7mpanr2 666 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. "> >.
) )
983impa 1148 . 2  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >. ) )
10 tru 1327 . . . 4  |-  T.
11 eqidd 2381 . . . . 5  |-  (  T. 
->  <. J ,  (/) >.  =  <. J ,  (/) >.
)
12 dif0 3634 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
\  (/) )  =  1o
1312opeq2i 3923 . . . . . 6  |-  <. J , 
( 1o  \  (/) ) >.  =  <. J ,  1o >.
1413a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >.  =  <. J ,  1o >. )
1511, 14s2eqd 11746 . . . 4  |-  (  T. 
->  <" <. J ,  (/)
>. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. ">  =  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> )
16 oteq3 3930 . . . 4  |-  ( <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. ">  =  <" <. J ,  (/)
>. <. J ,  1o >. ">  ->  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
1710, 15, 16mp2b 10 . . 3  |-  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >.
1817oveq2i 6024 . 2  |-  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. "> >.
)  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
199, 18syl6breq 4185 1  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3253   (/)c0 3564   {cpr 3751   <.cop 3753   <.cotp 3754   class class class wbr 4146    _I cid 4427    X. cxp 4809   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   1oc1o 6646   2oc2o 6647   0cc0 8916   ...cfz 10968   #chash 11538  Word cword 11637   splice csplice 11641   <"cs2 11725   ~FG cefg 15258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-ot 3760  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-hash 11539  df-word 11643  df-concat 11644  df-s1 11645  df-substr 11646  df-splice 11647  df-s2 11732  df-efg 15261
  Copyright terms: Public domain W3C validator