MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgi0 Structured version   Unicode version

Theorem efgi0 15357
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efgi0  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
)

Proof of Theorem efgi0
StepHypRef Expression
1 0ex 4342 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
21prid1 3914 . . . . 5  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
3 df2o3 6740 . . . . 5  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
42, 3eleqtrri 2511 . . . 4  |-  (/)  e.  2o
5 efgval.w . . . . 5  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
6 efgval.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
75, 6efgi 15356 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  ( J  e.  I  /\  (/)  e.  2o ) )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >. ) )
84, 7mpanr2 667 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  W  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  A
) ) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. "> >.
) )
983impa 1149 . 2  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >. ) )
10 tru 1331 . . . 4  |-  T.
11 eqidd 2439 . . . . 5  |-  (  T. 
->  <. J ,  (/) >.  =  <. J ,  (/) >.
)
12 dif0 3700 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
\  (/) )  =  1o
1312opeq2i 3990 . . . . . 6  |-  <. J , 
( 1o  \  (/) ) >.  =  <. J ,  1o >.
1413a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >.  =  <. J ,  1o >. )
1511, 14s2eqd 11831 . . . 4  |-  (  T. 
->  <" <. J ,  (/)
>. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. ">  =  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> )
16 oteq3 3997 . . . 4  |-  ( <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. ">  =  <" <. J ,  (/)
>. <. J ,  1o >. ">  ->  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
1710, 15, 16mp2b 10 . . 3  |-  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o  \  (/) ) >. "> >.  =  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >.
1817oveq2i 6095 . 2  |-  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  ( 1o 
\  (/) ) >. "> >.
)  =  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
199, 18syl6breq 4254 1  |-  ( ( A  e.  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  A
) )  /\  J  e.  I )  ->  A  .~  ( A splice  <. N ,  N ,  <" <. J ,  (/) >. <. J ,  1o >. "> >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319   (/)c0 3630   {cpr 3817   <.cop 3819   <.cotp 3820   class class class wbr 4215    _I cid 4496    X. cxp 4879   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1oc1o 6720   2oc2o 6721   0cc0 8995   ...cfz 11048   #chash 11623  Word cword 11722   splice csplice 11726   <"cs2 11810   ~FG cefg 15343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-hash 11624  df-word 11728  df-concat 11729  df-s1 11730  df-substr 11731  df-splice 11732  df-s2 11817  df-efg 15346
  Copyright terms: Public domain W3C validator