Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efginvrel1 Structured version   Unicode version

Theorem efginvrel1 15362
 Description: The inverse of the reverse of a word composed with the word relates to the identity. (This provides an explicit expression for the representation of the group inverse, given a representative of the free group equivalence class.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
Assertion
Ref Expression
efginvrel1 reverse concat
Distinct variable groups:   ,   ,,,,   ,,,   ,,,,,   , ,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,)   (,,,,)   (,)

Proof of Theorem efginvrel1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10 Word
2 fviss 5786 . . . . . . . . . 10 Word Word
31, 2eqsstri 3380 . . . . . . . . 9 Word
43sseli 3346 . . . . . . . 8 Word
5 revcl 11795 . . . . . . . 8 Word reverse Word
64, 5syl 16 . . . . . . 7 reverse Word
7 efgval2.m . . . . . . . 8
87efgmf 15347 . . . . . . 7
9 revco 11805 . . . . . . 7 reverse Word reversereverse reverse reverse
106, 8, 9sylancl 645 . . . . . 6 reversereverse reverse reverse
11 revrev 11801 . . . . . . . 8 Word reversereverse
124, 11syl 16 . . . . . . 7 reversereverse
1312coeq2d 5037 . . . . . 6 reversereverse
1410, 13eqtr3d 2472 . . . . 5 reverse reverse
1514coeq2d 5037 . . . 4 reverse reverse
16 wrdf 11735 . . . . . . . . 9 Word ..^
174, 16syl 16 . . . . . . . 8 ..^
1817ffvelrnda 5872 . . . . . . 7 ..^
197efgmnvl 15348 . . . . . . 7
2018, 19syl 16 . . . . . 6 ..^
2120mpteq2dva 4297 . . . . 5 ..^ ..^
228ffvelrni 5871 . . . . . . 7
2318, 22syl 16 . . . . . 6 ..^
24 fcompt 5906 . . . . . . 7 ..^ ..^
258, 17, 24sylancr 646 . . . . . 6 ..^
268a1i 11 . . . . . . 7
2726feqmptd 5781 . . . . . 6
28 fveq2 5730 . . . . . 6
2923, 25, 27, 28fmptco 5903 . . . . 5 ..^
3017feqmptd 5781 . . . . 5 ..^
3121, 29, 303eqtr4d 2480 . . . 4
3215, 31eqtrd 2470 . . 3 reverse reverse
3332oveq2d 6099 . 2 reverse concat reverse reverse reverse concat
34 wrdco 11802 . . . . 5 reverse Word reverse Word
356, 8, 34sylancl 645 . . . 4 reverse Word
361efgrcl 15349 . . . . 5 Word
3736simprd 451 . . . 4 Word
3835, 37eleqtrrd 2515 . . 3 reverse
39 efgval.r . . . 4 ~FG
40 efgval2.t . . . 4 splice
411, 39, 7, 40efginvrel2 15361 . . 3 reverse reverse concat reverse reverse
4238, 41syl 16 . 2 reverse concat reverse reverse
4333, 42eqbrtrrd 4236 1 reverse concat
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   cdif 3319  c0 3630  cop 3819  cotp 3820   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cid 4495   cxp 4878   ccom 4884  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  c1o 6719  c2o 6720  cc0 8992  cfz 11045  ..^cfzo 11137  chash 11620  Word cword 11719   concat cconcat 11720   splice csplice 11723  reversecreverse 11724  cs2 11807   ~FG cefg 15340 This theorem is referenced by:  frgp0  15394 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-substr 11728  df-splice 11729  df-reverse 11730  df-s2 11814  df-efg 15343
 Copyright terms: Public domain W3C validator