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Theorem efginvrel2 15351
 Description: The inverse of the reverse of a word composed with the word relates to the identity. (This provides an explicit expression for the representation of the group inverse, given a representative of the free group equivalence class.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
Assertion
Ref Expression
efginvrel2 concat reverse
Distinct variable groups:   ,   ,,,,   ,,,   ,,,,,   , ,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,)   (,,,,)   (,)

Proof of Theorem efginvrel2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 Word
2 fviss 5776 . . . 4 Word Word
31, 2eqsstri 3370 . . 3 Word
43sseli 3336 . 2 Word
5 id 20 . . . . . 6
6 fveq2 5720 . . . . . . . . 9 reverse reverse
7 rev0 11788 . . . . . . . . 9 reverse
86, 7syl6eq 2483 . . . . . . . 8 reverse
98coeq2d 5027 . . . . . . 7 reverse
10 co02 5375 . . . . . . 7
119, 10syl6eq 2483 . . . . . 6 reverse
125, 11oveq12d 6091 . . . . 5 concat reverse concat
1312breq1d 4214 . . . 4 concat reverse concat
1413imbi2d 308 . . 3 concat reverse concat
15 id 20 . . . . . 6
16 fveq2 5720 . . . . . . 7 reverse reverse
1716coeq2d 5027 . . . . . 6 reverse reverse
1815, 17oveq12d 6091 . . . . 5 concat reverse concat reverse
1918breq1d 4214 . . . 4 concat reverse concat reverse
2019imbi2d 308 . . 3 concat reverse concat reverse
21 id 20 . . . . . 6 concat concat
22 fveq2 5720 . . . . . . 7 concat reverse reverse concat
2322coeq2d 5027 . . . . . 6 concat reverse reverse concat
2421, 23oveq12d 6091 . . . . 5 concat concat reverse concat concat reverse concat
2524breq1d 4214 . . . 4 concat concat reverse concat concat reverse concat
2625imbi2d 308 . . 3 concat concat reverse concat concat reverse concat
27 id 20 . . . . . 6
28 fveq2 5720 . . . . . . 7 reverse reverse
2928coeq2d 5027 . . . . . 6 reverse reverse
3027, 29oveq12d 6091 . . . . 5 concat reverse concat reverse
3130breq1d 4214 . . . 4 concat reverse concat reverse
3231imbi2d 308 . . 3 concat reverse concat reverse
33 wrd0 11724 . . . . 5 Word
34 ccatlid 11740 . . . . 5 Word concat
3533, 34ax-mp 8 . . . 4 concat
36 efgval.r . . . . . . 7 ~FG
371, 36efger 15342 . . . . . 6
3837a1i 11 . . . . 5
391efgrcl 15339 . . . . . . 7 Word
4039simprd 450 . . . . . 6 Word
4133, 40syl5eleqr 2522 . . . . 5
4238, 41erref 6917 . . . 4
4335, 42syl5eqbr 4237 . . 3 concat
4437a1i 11 . . . . . . 7 Word
45 simprl 733 . . . . . . . . . 10 Word Word
46 revcl 11785 . . . . . . . . . . . 12 Word reverse Word
4746ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11 Word reverse Word
48 efgval2.m . . . . . . . . . . . 12
4948efgmf 15337 . . . . . . . . . . 11
50 wrdco 11792 . . . . . . . . . . 11 reverse Word reverse Word
5147, 49, 50sylancl 644 . . . . . . . . . 10 Word reverse Word
52 ccatcl 11735 . . . . . . . . . 10 Word reverse Word concat reverse Word
5345, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . 9 Word concat reverse Word
5440adantr 452 . . . . . . . . 9 Word Word
5553, 54eleqtrrd 2512 . . . . . . . 8 Word concat reverse
56 lencl 11727 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
5756ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13 Word
58 nn0uz 10512 . . . . . . . . . . . . 13
5957, 58syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . 12 Word
60 ccatlen 11736 . . . . . . . . . . . . . 14 Word reverse Word concat reverse reverse
6145, 51, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 Word concat reverse reverse
6257nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
63 uzid 10492 . . . . . . . . . . . . . . 15
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
65 lencl 11727 . . . . . . . . . . . . . . 15 reverse Word reverse
6651, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 Word reverse
67 uzaddcl 10525 . . . . . . . . . . . . . 14 reverse reverse
6864, 66, 67syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13 Word reverse
6961, 68eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . 12 Word concat reverse
70 elfzuzb 11045 . . . . . . . . . . . 12 concat reverse concat reverse
7159, 69, 70sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11 Word concat reverse
72 simprr 734 . . . . . . . . . . 11 Word
73 efgval2.t . . . . . . . . . . . 12 splice
741, 36, 48, 73efgtval 15347 . . . . . . . . . . 11 concat reverse concat reverse concat reverse concat reverse splice
7555, 71, 72, 74syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10 Word concat reverse concat reverse splice
7633a1i 11 . . . . . . . . . . 11 Word Word
7749ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . . . 13
7872, 77syl 16 . . . . . . . . . . . 12 Word
7972, 78s2cld 11825 . . . . . . . . . . 11 Word Word
80 ccatrid 11741 . . . . . . . . . . . . . 14 Word concat
8180ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13 Word concat
8281eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . 12 Word concat
8382oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11 Word concat reverse concat concat reverse
84 eqidd 2436 . . . . . . . . . . 11 Word
85 hash0 11638 . . . . . . . . . . . . 13
8685oveq2i 6084 . . . . . . . . . . . 12
8757nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . . 13 Word
8887addid1d 9258 . . . . . . . . . . . 12 Word
8986, 88syl5req 2480 . . . . . . . . . . 11 Word
9045, 76, 51, 79, 83, 84, 89splval2 11778 . . . . . . . . . 10 Word concat reverse splice concat concat reverse
9172s1cld 11748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word
92 revccat 11790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word reverse concat reverse concat reverse
9345, 91, 92syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word reverse concat reverse concat reverse
94 revs1 11789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 reverse
9594oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . 15 reverse concat reverse concat reverse
9693, 95syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . 14 Word reverse concat concat reverse
9796coeq2d 5027 . . . . . . . . . . . . 13 Word reverse concat concat reverse
9849a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
99 ccatco 11796 . . . . . . . . . . . . . 14 Word reverse Word concat reverse concat reverse
10091, 47, 98, 99syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13 Word concat reverse concat reverse
101 s1co 11794 . . . . . . . . . . . . . . 15
10272, 49, 101sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
103102oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13 Word concat reverse concat reverse
10497, 100, 1033eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . 12 Word reverse concat concat reverse
105104oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11 Word concat concat reverse concat concat concat concat reverse
106 ccatcl 11735 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word concat Word
10745, 91, 106syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 Word concat Word
10878s1cld 11748 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
109 ccatass 11742 . . . . . . . . . . . 12 concat Word Word reverse Word concat concat concat reverse concat concat concat reverse
110107, 108, 51, 109syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 Word concat concat concat reverse concat concat concat reverse
111 ccatass 11742 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word Word concat concat concat concat
11245, 91, 108, 111syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13 Word concat concat concat concat
113 df-s2 11804 . . . . . . . . . . . . . 14 concat
114113oveq2i 6084 . . . . . . . . . . . . 13 concat concat concat
115112, 114syl6eqr 2485 . . . . . . . . . . . 12 Word concat concat concat
116115oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11 Word concat concat concat reverse concat concat reverse
117105, 110, 1163eqtr2rd 2474 . . . . . . . . . 10 Word concat concat reverse concat concat reverse concat
11875, 90, 1173eqtrd 2471 . . . . . . . . 9 Word concat reverse concat concat reverse concat
1191, 36, 48, 73efgtf 15346 . . . . . . . . . . . 12 concat reverse concat reverse concat reverse concat reverse splice concat reverse concat reverse
120119simprd 450 . . . . . . . . . . 11 concat reverse concat reverse concat reverse
121 ffn 5583 . . . . . . . . . . 11 concat reverse concat reverse concat reverse concat reverse
12255, 120, 1213syl 19 . . . . . . . . . 10 Word concat reverse concat reverse
123 fnovrn 6213 . . . . . . . . . 10 concat reverse concat reverse concat reverse concat reverse concat reverse
124122, 71, 72, 123syl3anc 1184 . . . . . . . . 9 Word concat reverse concat reverse
125118, 124eqeltrrd 2510 . . . . . . . 8 Word concat concat reverse concat concat reverse
1261, 36, 48, 73efgi2 15349 . . . . . . . 8 concat reverse concat concat reverse concat concat reverse concat reverse concat concat reverse concat
12755, 125, 126syl2anc 643 . . . . . . 7 Word concat reverse concat concat reverse concat
12844, 127ersym 6909 . . . . . 6 Word concat concat reverse concat concat reverse
12944ertr 6912 . . . . . 6 Word concat concat reverse concat concat reverse concat reverse concat concat reverse concat
130128, 129mpand 657 . . . . 5 Word concat reverse concat concat reverse concat
131130expcom 425 . . . 4 Word concat reverse concat concat reverse concat
132131a2d 24 . . 3 Word concat reverse concat concat reverse concat
13314, 20, 26, 32, 43, 132wrdind 11783 . 2 Word concat reverse
1344, 133mpcom 34 1 concat reverse
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   cdif 3309  c0 3620  cop 3809  cotp 3810   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cid 4485   cxp 4868   crn 4871   ccom 4874   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  c1o 6709  c2o 6710   wer 6894  cc0 8982   caddc 8985  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  cfz 11035  chash 11610  Word cword 11709   concat cconcat 11710  cs1 11711   splice csplice 11713  reversecreverse 11714  cs2 11797   ~FG cefg 15330 This theorem is referenced by:  efginvrel1  15352  frgpinv  15388 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-hash 11611  df-word 11715  df-concat 11716  df-s1 11717  df-substr 11718  df-splice 11719  df-reverse 11720  df-s2 11804  df-efg 15333
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