MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efglem Unicode version

Theorem efglem 15025
Description: Lemma for efgval 15026. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
Assertion
Ref Expression
efglem  |-  E. r
( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )
Distinct variable groups:    y, r,
z, n, x, W   
n, I, r, x, y, z

Proof of Theorem efglem
StepHypRef Expression
1 xpider 6730 . 2  |-  ( W  X.  W )  Er  W
2 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  x  e.  W )
3 efgval.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
4 fviss 5580 . . . . . . . . 9  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  C_ Word  ( I  X.  2o )
53, 4eqsstri 3208 . . . . . . . 8  |-  W  C_ Word  ( I  X.  2o )
65, 2sseldi 3178 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  x  e. Word  ( I  X.  2o ) )
7 opelxpi 4721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  I  /\  z  e.  2o )  -> 
<. y ,  z >.  e.  ( I  X.  2o ) )
87adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  <. y ,  z >.  e.  ( I  X.  2o ) )
9 2oconcl 6502 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  2o  ->  ( 1o  \  z )  e.  2o )
10 opelxpi 4721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  I  /\  ( 1o  \  z
)  e.  2o )  ->  <. y ,  ( 1o  \  z )
>.  e.  ( I  X.  2o ) )
119, 10sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  I  /\  z  e.  2o )  -> 
<. y ,  ( 1o 
\  z ) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
1211adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
138, 12s2cld 11519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. ">  e. Word  ( I  X.  2o ) )
14 splcl 11467 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  <" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( x splice  <.
n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
156, 13, 14syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  (
x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
)  e. Word  ( I  X.  2o ) )
163efgrcl 15024 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  W  ->  (
I  e.  _V  /\  W  = Word  ( I  X.  2o ) ) )
1716simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  W  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
1817ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
1915, 18eleqtrrd 2360 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  (
x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
)  e.  W )
20 brxp 4720 . . . . 5  |-  ( x ( W  X.  W
) ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
)  <->  ( x  e.  W  /\  ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )  e.  W ) )
212, 19, 20sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  x
( W  X.  W
) ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )
2221ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ( x  e.  W  /\  n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) )  ->  A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x ( W  X.  W ) ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
)
2322rgen2 2639 . 2  |-  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x ( W  X.  W ) ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
24 fvex 5539 . . . . 5  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  e.  _V
253, 24eqeltri 2353 . . . 4  |-  W  e. 
_V
2625, 25xpex 4801 . . 3  |-  ( W  X.  W )  e. 
_V
27 ereq1 6667 . . . 4  |-  ( r  =  ( W  X.  W )  ->  (
r  Er  W  <->  ( W  X.  W )  Er  W
) )
28 breq 4025 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( W  X.  W )  ->  (
x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )  <->  x ( W  X.  W
) ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
29282ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( r  =  ( W  X.  W )  ->  ( A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )  <->  A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x
( W  X.  W
) ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
30292ralbidv 2585 . . . 4  |-  ( r  =  ( W  X.  W )  ->  ( A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
)  <->  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x ( W  X.  W ) ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
3127, 30anbi12d 691 . . 3  |-  ( r  =  ( W  X.  W )  ->  (
( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  <->  ( ( W  X.  W )  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x ( W  X.  W ) ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) ) )
3226, 31spcev 2875 . 2  |-  ( ( ( W  X.  W
)  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x ( W  X.  W ) ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  ->  E. r
( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
331, 23, 32mp2an 653 1  |-  E. r
( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   <.cop 3643   <.cotp 3644   class class class wbr 4023    _I cid 4304    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472   2oc2o 6473    Er wer 6657   0cc0 8737   ...cfz 10782   #chash 11337  Word cword 11403   splice csplice 11407   <"cs2 11491
This theorem is referenced by:  efgval  15026  efger  15027
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-substr 11412  df-splice 11413  df-s2 11498
  Copyright terms: Public domain W3C validator