MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efglem Structured version   Unicode version

Theorem efglem 15350
Description: Lemma for efgval 15351. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
Assertion
Ref Expression
efglem  |-  E. r
( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )
Distinct variable groups:    y, r,
z, n, x, W   
n, I, r, x, y, z

Proof of Theorem efglem
StepHypRef Expression
1 xpider 6977 . 2  |-  ( W  X.  W )  Er  W
2 simpll 732 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  x  e.  W )
3 efgval.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
4 fviss 5786 . . . . . . . . 9  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  C_ Word  ( I  X.  2o )
53, 4eqsstri 3380 . . . . . . . 8  |-  W  C_ Word  ( I  X.  2o )
65, 2sseldi 3348 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  x  e. Word  ( I  X.  2o ) )
7 opelxpi 4912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  I  /\  z  e.  2o )  -> 
<. y ,  z >.  e.  ( I  X.  2o ) )
87adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  <. y ,  z >.  e.  ( I  X.  2o ) )
9 2oconcl 6749 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  2o  ->  ( 1o  \  z )  e.  2o )
10 opelxpi 4912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  I  /\  ( 1o  \  z
)  e.  2o )  ->  <. y ,  ( 1o  \  z )
>.  e.  ( I  X.  2o ) )
119, 10sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  I  /\  z  e.  2o )  -> 
<. y ,  ( 1o 
\  z ) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
1211adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
138, 12s2cld 11835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. ">  e. Word  ( I  X.  2o ) )
14 splcl 11783 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e. Word  ( I  X.  2o )  /\  <" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )  ->  ( x splice  <.
n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
156, 13, 14syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  (
x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
)  e. Word  ( I  X.  2o ) )
163efgrcl 15349 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  W  ->  (
I  e.  _V  /\  W  = Word  ( I  X.  2o ) ) )
1716simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  W  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
1817ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  W  = Word  ( I  X.  2o ) )
1915, 18eleqtrrd 2515 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  (
x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
)  e.  W )
20 brxp 4911 . . . . 5  |-  ( x ( W  X.  W
) ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
)  <->  ( x  e.  W  /\  ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )  e.  W ) )
212, 19, 20sylanbrc 647 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  W  /\  n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) )  /\  ( y  e.  I  /\  z  e.  2o ) )  ->  x
( W  X.  W
) ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )
2221ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( ( x  e.  W  /\  n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) )  ->  A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x ( W  X.  W ) ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
)
2322rgen2 2804 . 2  |-  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x ( W  X.  W ) ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
24 fvex 5744 . . . . 5  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  e.  _V
253, 24eqeltri 2508 . . . 4  |-  W  e. 
_V
2625, 25xpex 4992 . . 3  |-  ( W  X.  W )  e. 
_V
27 ereq1 6914 . . . 4  |-  ( r  =  ( W  X.  W )  ->  (
r  Er  W  <->  ( W  X.  W )  Er  W
) )
28 breq 4216 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( W  X.  W )  ->  (
x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )  <->  x ( W  X.  W
) ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
29282ralbidv 2749 . . . . 5  |-  ( r  =  ( W  X.  W )  ->  ( A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )  <->  A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x
( W  X.  W
) ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
30292ralbidv 2749 . . . 4  |-  ( r  =  ( W  X.  W )  ->  ( A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
)  <->  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x ( W  X.  W ) ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
3127, 30anbi12d 693 . . 3  |-  ( r  =  ( W  X.  W )  ->  (
( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  <->  ( ( W  X.  W )  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x ( W  X.  W ) ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) ) )
3226, 31spcev 3045 . 2  |-  ( ( ( W  X.  W
)  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x ( W  X.  W ) ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  ->  E. r
( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
331, 23, 32mp2an 655 1  |-  E. r
( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   <.cop 3819   <.cotp 3820   class class class wbr 4214    _I cid 4495    X. cxp 4878   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1oc1o 6719   2oc2o 6720    Er wer 6904   0cc0 8992   ...cfz 11045   #chash 11620  Word cword 11719   splice csplice 11723   <"cs2 11807
This theorem is referenced by:  efgval  15351  efger  15352
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-substr 11728  df-splice 11729  df-s2 11814
  Copyright terms: Public domain W3C validator