MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgmf Unicode version

Theorem efgmf 15038
Description: The formal inverse operation is an endofunction on the generating set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efgmval.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
Assertion
Ref Expression
efgmf  |-  M :
( I  X.  2o )
--> ( I  X.  2o )
Distinct variable group:    y, z, I
Allowed substitution hints:    M( y, z)

Proof of Theorem efgmf
StepHypRef Expression
1 2oconcl 6518 . . . 4  |-  ( z  e.  2o  ->  ( 1o  \  z )  e.  2o )
2 opelxpi 4737 . . . 4  |-  ( ( y  e.  I  /\  ( 1o  \  z
)  e.  2o )  ->  <. y ,  ( 1o  \  z )
>.  e.  ( I  X.  2o ) )
31, 2sylan2 460 . . 3  |-  ( ( y  e.  I  /\  z  e.  2o )  -> 
<. y ,  ( 1o 
\  z ) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
43rgen2 2652 . 2  |-  A. y  e.  I  A. z  e.  2o  <. y ,  ( 1o  \  z )
>.  e.  ( I  X.  2o )
5 efgmval.m . . 3  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
65fmpt2 6207 . 2  |-  ( A. y  e.  I  A. z  e.  2o  <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >.  e.  ( I  X.  2o )  <-> 
M : ( I  X.  2o ) --> ( I  X.  2o ) )
74, 6mpbi 199 1  |-  M :
( I  X.  2o )
--> ( I  X.  2o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    \ cdif 3162   <.cop 3656    X. cxp 4703   -->wf 5267    e. cmpt2 5876   1oc1o 6488   2oc2o 6489
This theorem is referenced by:  efgtf  15047  efgtlen  15051  efginvrel2  15052  efginvrel1  15053  efgredleme  15068  efgredlemc  15070  efgcpbllemb  15080  frgp0  15085  frgpinv  15089  vrgpinv  15094  frgpnabllem1  15177
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-1o 6495  df-2o 6496
  Copyright terms: Public domain W3C validator