Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgred Structured version   Unicode version

Theorem efgred 15380
 Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 15363 is uniquely determined, given the terminal point. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
efgred.d
efgred.s Word ..^
Assertion
Ref Expression
efgred
Distinct variable groups:   ,   ,,,,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem efgred
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . 8 Word
2 fviss 5784 . . . . . . . 8 Word Word
31, 2eqsstri 3378 . . . . . . 7 Word
4 efgval.r . . . . . . . . . . 11 ~FG
5 efgval2.m . . . . . . . . . . 11
6 efgval2.t . . . . . . . . . . 11 splice
7 efgred.d . . . . . . . . . . 11
8 efgred.s . . . . . . . . . . 11 Word ..^
91, 4, 5, 6, 7, 8efgsf 15361 . . . . . . . . . 10 Word ..^
109fdmi 5596 . . . . . . . . . . 11 Word ..^
1110feq2i 5586 . . . . . . . . . 10 Word ..^
129, 11mpbir 201 . . . . . . . . 9
1312ffvelrni 5869 . . . . . . . 8
1413adantr 452 . . . . . . 7
153, 14sseldi 3346 . . . . . 6 Word
16 lencl 11735 . . . . . 6 Word
1715, 16syl 16 . . . . 5
18 peano2nn0 10260 . . . . 5
1917, 18syl 16 . . . 4
20 breq2 4216 . . . . . . 7
2120imbi1d 309 . . . . . 6
22212ralbidv 2747 . . . . 5
23 breq2 4216 . . . . . . 7
2423imbi1d 309 . . . . . 6
25242ralbidv 2747 . . . . 5
26 breq2 4216 . . . . . . 7
2726imbi1d 309 . . . . . 6
28272ralbidv 2747 . . . . 5
29 breq2 4216 . . . . . . 7
3029imbi1d 309 . . . . . 6
31302ralbidv 2747 . . . . 5
3212ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . 11
333, 32sseldi 3346 . . . . . . . . . 10 Word
34 lencl 11735 . . . . . . . . . 10 Word
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9
36 nn0nlt0 10248 . . . . . . . . 9
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8
3837pm2.21d 100 . . . . . . 7
3938adantr 452 . . . . . 6
4039rgen2a 2772 . . . . 5
41 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . 14
42 simpl3l 1012 . . . . . . . . . . . . . . 15
43 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4443imbi1d 309 . . . . . . . . . . . . . . . 16
45442ralbidv 2747 . . . . . . . . . . . . . . 15
4642, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
4741, 46mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13
48 simpl2l 1010 . . . . . . . . . . . . 13
49 simpl2r 1011 . . . . . . . . . . . . 13
50 simpl3r 1013 . . . . . . . . . . . . 13
51 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
521, 4, 5, 6, 7, 8, 47, 48, 49, 50, 51efgredlem 15379 . . . . . . . . . . . 12
53 iman 414 . . . . . . . . . . . 12
5452, 53mpbir 201 . . . . . . . . . . 11
55543expia 1155 . . . . . . . . . 10
5655exp3a 426 . . . . . . . . 9
5756ralrimivva 2798 . . . . . . . 8
58 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12
5958fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11
6059eqeq1d 2444 . . . . . . . . . 10
6158eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . 11
62 fveq1 5727 . . . . . . . . . . . 12
6362eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . 11
6461, 63imbi12d 312 . . . . . . . . . 10
6560, 64imbi12d 312 . . . . . . . . 9
66 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12
6766eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . 11
68 fveq1 5727 . . . . . . . . . . . 12
6968eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . 11
7067, 69imbi12d 312 . . . . . . . . . 10
7170imbi2d 308 . . . . . . . . 9
7265, 71cbvral2v 2940 . . . . . . . 8
7357, 72sylib 189 . . . . . . 7
7473ancli 535 . . . . . 6
7535adantr 452 . . . . . . . . . . 11
76 nn0leltp1 10333 . . . . . . . . . . . . 13
77 nn0re 10230 . . . . . . . . . . . . . 14
78 nn0re 10230 . . . . . . . . . . . . . 14
79 leloe 9161 . . . . . . . . . . . . . 14
8077, 78, 79syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13
8176, 80bitr3d 247 . . . . . . . . . . . 12
8281ancoms 440 . . . . . . . . . . 11
8375, 82sylan2 461 . . . . . . . . . 10
8483imbi1d 309 . . . . . . . . 9
85 jaob 759 . . . . . . . . 9
8684, 85syl6bb 253 . . . . . . . 8
87862ralbidva 2745 . . . . . . 7
88 r19.26-2 2839 . . . . . . 7
8987, 88syl6bb 253 . . . . . 6
9074, 89syl5ibr 213 . . . . 5
9122, 25, 28, 31, 40, 90nn0ind 10366 . . . 4
9219, 91syl 16 . . 3
9317nn0red 10275 . . . 4
9493ltp1d 9941 . . 3
95 fveq2 5728 . . . . . . 7
9695fveq2d 5732 . . . . . 6
9796breq1d 4222 . . . . 5
9895eqeq1d 2444 . . . . . 6
99 fveq1 5727 . . . . . . 7
10099eqeq1d 2444 . . . . . 6
10198, 100imbi12d 312 . . . . 5
10297, 101imbi12d 312 . . . 4
103 fveq2 5728 . . . . . . 7
104103eqeq2d 2447 . . . . . 6
105 fveq1 5727 . . . . . . 7
106105eqeq2d 2447 . . . . . 6
107104, 106imbi12d 312 . . . . 5
108107imbi2d 308 . . . 4
109102, 108rspc2v 3058 . . 3
11092, 94, 109mp2d 43 . 2
1111103impia 1150 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  crab 2709   cdif 3317  c0 3628  csn 3814  cop 3817  cotp 3818  ciun 4093   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cid 4493   cxp 4876   cdm 4878   crn 4879  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  c1o 6717  c2o 6718  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   clt 9120   cle 9121   cmin 9291  cn0 10221  cfz 11043  ..^cfzo 11135  chash 11618  Word cword 11717   splice csplice 11721  cs2 11805   ~FG cefg 15338 This theorem is referenced by:  efgrelexlemb  15382 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-ot 3824  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-hash 11619  df-word 11723  df-concat 11724  df-s1 11725  df-substr 11726  df-splice 11727  df-s2 11812
 Copyright terms: Public domain W3C validator