Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredeu Structured version   Unicode version

Theorem efgredeu 15384
 Description: There is a unique reduced word equivalent to a given word. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
efgred.d
efgred.s Word ..^
Assertion
Ref Expression
efgredeu
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,,,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,,,,   ,,,,,,   ,   ,,,,,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,)   (,)   (,,,)

Proof of Theorem efgredeu
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . 5 Word
2 efgval.r . . . . 5 ~FG
3 efgval2.m . . . . 5
4 efgval2.t . . . . 5 splice
5 efgred.d . . . . 5
6 efgred.s . . . . 5 Word ..^
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsfo 15371 . . . 4
8 foelrn 5888 . . . 4
97, 8mpan 652 . . 3
101, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 15362 . . . . . . . 8 Word ..^
1110simp2bi 973 . . . . . . 7
1211adantl 453 . . . . . 6
131, 2, 3, 4, 5, 6efgsrel 15366 . . . . . . 7
1413adantl 453 . . . . . 6
15 breq1 4215 . . . . . . 7
1615rspcev 3052 . . . . . 6
1712, 14, 16syl2anc 643 . . . . 5
18 breq2 4216 . . . . . 6
1918rexbidv 2726 . . . . 5
2017, 19syl5ibrcom 214 . . . 4
2120rexlimdva 2830 . . 3
229, 21mpd 15 . 2
231, 2efger 15350 . . . . . . 7
2423a1i 11 . . . . . 6
25 simprl 733 . . . . . 6
26 simprr 734 . . . . . 6
2724, 25, 26ertr4d 6924 . . . . 5
281, 2, 3, 4, 5, 6efgrelex 15383 . . . . . 6
29 fofn 5655 . . . . . . . . . . . . . 14
30 fniniseg 5851 . . . . . . . . . . . . . 14
317, 29, 30mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13
3231simplbi 447 . . . . . . . . . . . 12
3332ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11
341, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 15363 . . . . . . . . . . 11
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . 10
3631simprbi 451 . . . . . . . . . . 11
3736ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10
38 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15
4037, 39eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14
411, 2, 3, 4, 5, 6efgs1b 15368 . . . . . . . . . . . . . . 15
4233, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
4340, 42mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13
4443oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12
45 1m1e0 10068 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11
4746fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
4835, 37, 473eqtr3rd 2477 . . . . . . . . 9
49 fniniseg 5851 . . . . . . . . . . . . . 14
507, 29, 49mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13
5150simplbi 447 . . . . . . . . . . . 12
5251ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11
531, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 15363 . . . . . . . . . . 11
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . 10
5550simprbi 451 . . . . . . . . . . 11
5655ad2antll 710 . . . . . . . . . 10
5738simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15
5856, 57eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14
591, 2, 3, 4, 5, 6efgs1b 15368 . . . . . . . . . . . . . . 15
6052, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
6158, 60mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13
6261oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12
6362, 45syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11
6463fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
6554, 56, 643eqtr3rd 2477 . . . . . . . . 9
6648, 65eqeq12d 2450 . . . . . . . 8
6766biimpd 199 . . . . . . 7
6867rexlimdvva 2837 . . . . . 6
6928, 68syl5 30 . . . . 5
7027, 69mpd 15 . . . 4
7170ex 424 . . 3
7271ralrimivva 2798 . 2
73 breq1 4215 . . 3
7473reu4 3128 . 2
7522, 72, 74sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  wreu 2707  crab 2709   cdif 3317  c0 3628  csn 3814  cop 3817  cotp 3818  ciun 4093   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cid 4493   cxp 4876  ccnv 4877   cdm 4878   crn 4879  cima 4881   wfn 5449  wfo 5452  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  c1o 6717  c2o 6718   wer 6902  cc0 8990  c1 8991   cmin 9291  cfz 11043  ..^cfzo 11135  chash 11618  Word cword 11717   splice csplice 11721  cs2 11805   ~FG cefg 15338 This theorem is referenced by:  efgred2  15385  frgpnabllem2  15485 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-ot 3824  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-hash 11619  df-word 11723  df-concat 11724  df-s1 11725  df-substr 11726  df-splice 11727  df-s2 11812  df-efg 15341
 Copyright terms: Public domain W3C validator