Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlem Structured version   Unicode version

Theorem efgredlem 15381
 Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 15365 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
efgred.d
efgred.s Word ..^
efgredlem.1
efgredlem.2
efgredlem.3
efgredlem.4
efgredlem.5
Assertion
Ref Expression
efgredlem
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,   ,,   ,,,,,,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem efgredlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10 Word
2 fviss 5786 . . . . . . . . . 10 Word Word
31, 2eqsstri 3380 . . . . . . . . 9 Word
4 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . 13
5 efgval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 ~FG
6 efgval2.m . . . . . . . . . . . . . . 15
7 efgval2.t . . . . . . . . . . . . . . 15 splice
8 efgred.d . . . . . . . . . . . . . . 15
9 efgred.s . . . . . . . . . . . . . . 15 Word ..^
101, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 15364 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^
1110simp1bi 973 . . . . . . . . . . . . 13 Word
124, 11syl 16 . . . . . . . . . . . 12 Word
1312eldifad 3334 . . . . . . . . . . 11 Word
14 wrdf 11735 . . . . . . . . . . 11 Word ..^
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10 ..^
16 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15
17 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15
201, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 4, 17, 18, 19efgredlema 15374 . . . . . . . . . . . . . 14
2120simpld 447 . . . . . . . . . . . . 13
22 nnm1nn0 10263 . . . . . . . . . . . . 13
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2421nnred 10017 . . . . . . . . . . . . 13
2524lem1d 9946 . . . . . . . . . . . 12
26 eldifsni 3930 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
274, 11, 263syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14
28 wrdfin 11736 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
29 hashnncl 11647 . . . . . . . . . . . . . . 15
3013, 28, 293syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14
3127, 30mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13
32 nnm1nn0 10263 . . . . . . . . . . . . 13
33 fznn0 11115 . . . . . . . . . . . . 13
3431, 32, 333syl 19 . . . . . . . . . . . 12
3523, 25, 34mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11
36 lencl 11737 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
3713, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3837nn0zd 10375 . . . . . . . . . . . 12
39 fzoval 11143 . . . . . . . . . . . 12 ..^
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11 ..^
4135, 40eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . 10 ..^
4215, 41ffvelrnd 5873 . . . . . . . . 9
433, 42sseldi 3348 . . . . . . . 8 Word
44 lencl 11737 . . . . . . . 8 Word
4543, 44syl 16 . . . . . . 7
4645nn0red 10277 . . . . . 6
47 2rp 10619 . . . . . 6
48 ltaddrp 10646 . . . . . 6
4946, 47, 48sylancl 645 . . . . 5
5037nn0red 10277 . . . . . . . . . . 11
5150lem1d 9946 . . . . . . . . . 10
52 fznn 11117 . . . . . . . . . . 11
5338, 52syl 16 . . . . . . . . . 10
5421, 51, 53mpbir2and 890 . . . . . . . . 9
551, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 15372 . . . . . . . . 9 ..^
564, 54, 55syl2anc 644 . . . . . . . 8 ..^
571, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 15365 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
5856, 57syl 16 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
59 1nn0 10239 . . . . . . . . . . . . . . 15
60 nn0uz 10522 . . . . . . . . . . . . . . 15
6159, 60eleqtri 2510 . . . . . . . . . . . . . 14
62 fzss1 11093 . . . . . . . . . . . . . 14
6361, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
6463, 54sseldi 3348 . . . . . . . . . . . 12
65 swrd0val 11770 . . . . . . . . . . . 12 Word substr ..^
6613, 64, 65syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11 substr ..^
6766fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10 substr ..^
68 swrd0len 11771 . . . . . . . . . . 11 Word substr
6913, 64, 68syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 substr
7067, 69eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9 ..^
7170oveq1d 6098 . . . . . . . 8 ..^
7271fveq2d 5734 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
73 fzo0end 11190 . . . . . . . 8 ..^
74 fvres 5747 . . . . . . . 8 ..^ ..^
7521, 73, 743syl 19 . . . . . . 7 ..^
7658, 72, 753eqtrd 2474 . . . . . 6 ..^
7776fveq2d 5734 . . . . 5 ..^
781, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 15366 . . . . . . 7
794, 21, 78syl2anc 644 . . . . . 6
801, 5, 6, 7efgtlen 15360 . . . . . 6
8142, 79, 80syl2anc 644 . . . . 5
8249, 77, 813brtr4d 4244 . . . 4 ..^
831, 5, 6, 7efgtf 15356 . . . . . . . . . . . 12 splice
8442, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11 splice
8584simprd 451 . . . . . . . . . 10
86 ffn 5593 . . . . . . . . . 10
87 ovelrn 6224 . . . . . . . . . 10
8885, 86, 873syl 19 . . . . . . . . 9
8979, 88mpbid 203 . . . . . . . 8
9020simprd 451 . . . . . . . . . 10
911, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 15366 . . . . . . . . . 10
9217, 90, 91syl2anc 644 . . . . . . . . 9
931, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 15364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word ..^
9493simp1bi 973 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word
9517, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
9695eldifad 3334 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
97 wrdf 11735 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
99 fzo0end 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
100 elfzofz 11156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
10190, 99, 1003syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14
102 lencl 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word
10396, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104103nn0zd 10375 . . . . . . . . . . . . . . 15
105 fzoval 11143 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
107101, 106eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
10898, 107ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . 12
1091, 5, 6, 7efgtf 15356 . . . . . . . . . . . 12 splice
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . 11 splice
111110simprd 451 . . . . . . . . . 10
112 ffn 5593 . . . . . . . . . 10
113 ovelrn 6224 . . . . . . . . . 10
114111, 112, 1133syl 19 . . . . . . . . 9
11592, 114mpbid 203 . . . . . . . 8
116 reeanv 2877 . . . . . . . . 9
117 reeanv 2877 . . . . . . . . . . 11
11816ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15
1194ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15
12017ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15
12118ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15
12219ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15
123 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15
124 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15
125 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126125simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
127125simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
128 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129128simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
130128simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
131 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132131simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
133131simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
134 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
1351, 5, 6, 7, 8, 9, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 126, 127, 129, 130, 132, 133, 134efgredlemb 15380 . . . . . . . . . . . . . 14
136 iman 415 . . . . . . . . . . . . . 14
137135, 136mpbir 202 . . . . . . . . . . . . 13
138137expr 600 . . . . . . . . . . . 12
139138rexlimdvva 2839 . . . . . . . . . . 11
140117, 139syl5bir 211 . . . . . . . . . 10
141140rexlimdvva 2839 . . . . . . . . 9
142116, 141syl5bir 211 . . . . . . . 8
14389, 115, 142mp2and 662 . . . . . . 7
144 fvres 5747 . . . . . . . 8 ..^ ..^
14590, 99, 1443syl 19 . . . . . . 7 ..^
146143, 75, 1453eqtr4d 2480 . . . . . 6 ..^ ..^
147 fzss1 11093 . . . . . . . . . . . . 13
14861, 147ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
149103nn0red 10277 . . . . . . . . . . . . . 14
150149lem1d 9946 . . . . . . . . . . . . 13
151 fznn 11117 . . . . . . . . . . . . . 14
152104, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
15390, 150, 152mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . 12
154148, 153sseldi 3348 . . . . . . . . . . 11
155 swrd0val 11770 . . . . . . . . . . 11 Word substr ..^
15696, 154, 155syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 substr ..^
157156fveq2d 5734 . . . . . . . . 9 substr ..^
158 swrd0len 11771 . . . . . . . . . 10 Word substr
15996, 154, 158syl2anc 644 . . . . . . . . 9 substr
160157, 159eqtr3d 2472 . . . . . . . 8 ..^
161160oveq1d 6098 . . . . . . 7 ..^
162161fveq2d 5734 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^
163146, 72, 1623eqtr4d 2480 . . . . 5 ..^ ..^ ..^ ..^
1641, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 15372 . . . . . . 7 ..^
16517, 153, 164syl2anc 644 . . . . . 6 ..^
1661, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 15365 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^
167165, 166syl 16 . . . . 5 ..^ ..^ ..^
168163, 58, 1673eqtr4d 2480 . . . 4 ..^ ..^
169 fveq2 5730 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
170169fveq2d 5734 . . . . . . . 8 ..^ ..^
171170breq1d 4224 . . . . . . 7 ..^ ..^
172169eqeq1d 2446 . . . . . . . 8 ..^ ..^
173 fveq1 5729 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
174173eqeq1d 2446 . . . . . . . 8 ..^ ..^
175172, 174imbi12d 313 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
176171, 175imbi12d 313 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^
177 fveq2 5730 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
178177eqeq2d 2449 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
179 fveq1 5729 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
180179eqeq2d 2449 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
181178, 180imbi12d 313 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
182181imbi2d 309 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
183176, 182rspc2va 3061 . . . . 5 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
18456, 165, 16, 183syl21anc 1184 . . . 4 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
18582, 168, 184mp2d 44 . . 3 ..^ ..^
186 lbfzo0 11172 . . . . 5 ..^
18721, 186sylibr 205 . . . 4 ..^
188 fvres 5747 . . . 4 ..^ ..^
189187, 188syl 16 . . 3 ..^
190 lbfzo0 11172 . . . . 5 ..^
19190, 190sylibr 205 . . . 4 ..^
192 fvres 5747 . . . 4 ..^ ..^
193191, 192syl 16 . . 3 ..^
194185, 189, 1933eqtr3d 2478 . 2
195194, 19pm2.65i 168 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  crab 2711   cdif 3319   wss 3322  c0 3630  csn 3816  cop 3819  cotp 3820  ciun 4095   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cid 4495   cxp 4878   cdm 4880   crn 4881   cres 4882   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  c1o 6719  c2o 6720  cfn 7111  cr 8991  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   clt 9122   cle 9123   cmin 9293  cn 10002  c2 10051  cn0 10223  cz 10284  cuz 10490  crp 10614  cfz 11045  ..^cfzo 11137  chash 11620  Word cword 11719   substr csubstr 11722   splice csplice 11723  cs2 11807   ~FG cefg 15340 This theorem is referenced by:  efgred  15382 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-substr 11728  df-splice 11729  df-s2 11814
 Copyright terms: Public domain W3C validator