Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlem Unicode version

Theorem efgredlem 15072
 Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 15056 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
efgred.d
efgred.s Word ..^
efgredlem.1
efgredlem.2
efgredlem.3
efgredlem.4
efgredlem.5
Assertion
Ref Expression
efgredlem
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,   ,,   ,,,,,,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem efgredlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10 Word
2 fviss 5596 . . . . . . . . . 10 Word Word
31, 2eqsstri 3221 . . . . . . . . 9 Word
4 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . 13
5 efgval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 ~FG
6 efgval2.m . . . . . . . . . . . . . . 15
7 efgval2.t . . . . . . . . . . . . . . 15 splice
8 efgred.d . . . . . . . . . . . . . . 15
9 efgred.s . . . . . . . . . . . . . . 15 Word ..^
101, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 15055 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^
1110simp1bi 970 . . . . . . . . . . . . 13 Word
124, 11syl 15 . . . . . . . . . . . 12 Word
13 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11 Word
15 wrdf 11435 . . . . . . . . . . 11 Word ..^
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . 10 ..^
17 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15
211, 5, 6, 7, 8, 9, 17, 4, 18, 19, 20efgredlema 15065 . . . . . . . . . . . . . 14
2221simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13
23 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . 12
2522nnred 9777 . . . . . . . . . . . . 13
2625lem1d 9706 . . . . . . . . . . . 12
27 eldifsni 3763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word
2812, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 wrdfin 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word
3014, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
31 hashnncl 11370 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
3328, 32mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14
34 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . . 14
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
36 fznn0 10867 . . . . . . . . . . . . 13
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . 12
3824, 26, 37mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11
39 lencl 11437 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
4014, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
4140nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12
42 fzoval 10892 . . . . . . . . . . . 12 ..^
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . 11 ..^
4438, 43eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . 10 ..^
45 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
4616, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . 9
473, 46sseldi 3191 . . . . . . . 8 Word
48 lencl 11437 . . . . . . . 8 Word
4947, 48syl 15 . . . . . . 7
5049nn0red 10035 . . . . . 6
51 2rp 10375 . . . . . 6
52 ltaddrp 10402 . . . . . 6
5350, 51, 52sylancl 643 . . . . 5
5440nn0red 10035 . . . . . . . . . . 11
5554lem1d 9706 . . . . . . . . . 10
56 fznn 10868 . . . . . . . . . . 11
5741, 56syl 15 . . . . . . . . . 10
5822, 55, 57mpbir2and 888 . . . . . . . . 9
591, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 15063 . . . . . . . . 9 ..^
604, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . 8 ..^
611, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 15056 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
6260, 61syl 15 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
63 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . . . . 15
6563, 64eleqtri 2368 . . . . . . . . . . . . . 14
66 fzss1 10846 . . . . . . . . . . . . . 14
6765, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
6867, 58sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12
69 swrd0val 11470 . . . . . . . . . . . 12 Word substr ..^
7014, 68, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 substr ..^
7170fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10 substr ..^
72 swrd0len 11471 . . . . . . . . . . 11 Word substr
7314, 68, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 substr
7471, 73eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9 ..^
7574oveq1d 5889 . . . . . . . 8 ..^
7675fveq2d 5545 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
77 fzo0end 10931 . . . . . . . . 9 ..^
7822, 77syl 15 . . . . . . . 8 ..^
79 fvres 5558 . . . . . . . 8 ..^ ..^
8078, 79syl 15 . . . . . . 7 ..^
8162, 76, 803eqtrd 2332 . . . . . 6 ..^
8281fveq2d 5545 . . . . 5 ..^
831, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 15057 . . . . . . 7
844, 22, 83syl2anc 642 . . . . . 6
851, 5, 6, 7efgtlen 15051 . . . . . 6
8646, 84, 85syl2anc 642 . . . . 5
8753, 82, 863brtr4d 4069 . . . 4 ..^
881, 5, 6, 7efgtf 15047 . . . . . . . . . . . . 13 splice
8946, 88syl 15 . . . . . . . . . . . 12 splice
9089simprd 449 . . . . . . . . . . 11
91 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11
9290, 91syl 15 . . . . . . . . . 10
93 ovelrn 6012 . . . . . . . . . 10
9492, 93syl 15 . . . . . . . . 9
9584, 94mpbid 201 . . . . . . . 8
9621simprd 449 . . . . . . . . . 10
971, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 15057 . . . . . . . . . 10
9818, 96, 97syl2anc 642 . . . . . . . . 9
991, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 15055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word ..^
10099simp1bi 970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word
10118, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word
102 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word
103101, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
104 wrdf 11435 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word ..^
105103, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
106 fzo0end 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
10796, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
108 elfzofz 10905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
109107, 108syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
110 lencl 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word
111103, 110syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112111nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113 fzoval 10892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
114112, 113syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
115109, 114eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
116 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
117105, 115, 116syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
1181, 5, 6, 7efgtf 15047 . . . . . . . . . . . . 13 splice
119117, 118syl 15 . . . . . . . . . . . 12 splice
120119simprd 449 . . . . . . . . . . 11
121 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11
122120, 121syl 15 . . . . . . . . . 10
123 ovelrn 6012 . . . . . . . . . 10
124122, 123syl 15 . . . . . . . . 9
12598, 124mpbid 201 . . . . . . . 8
126 reeanv 2720 . . . . . . . . 9
127 reeanv 2720 . . . . . . . . . . 11
12817ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
1294ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
13018ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
13119ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
13220ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15
133 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15
134 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15
135 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136135simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15
137135simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
138 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16
139138simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15
140138simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
141 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16
142141simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15
143141simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
144 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
1451, 5, 6, 7, 8, 9, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 136, 137, 139, 140, 142, 143, 144efgredlemb 15071 . . . . . . . . . . . . . 14
146 iman 413 . . . . . . . . . . . . . 14
147145, 146mpbir 200 . . . . . . . . . . . . 13
148147expr 598 . . . . . . . . . . . 12
149148rexlimdvva 2687 . . . . . . . . . . 11
150127, 149syl5bir 209 . . . . . . . . . 10
151150rexlimdvva 2687 . . . . . . . . 9
152126, 151syl5bir 209 . . . . . . . 8
15395, 125, 152mp2and 660 . . . . . . 7
154 fvres 5558 . . . . . . . 8 ..^ ..^
155107, 154syl 15 . . . . . . 7 ..^
156153, 80, 1553eqtr4d 2338 . . . . . 6 ..^ ..^
157 fzss1 10846 . . . . . . . . . . . . 13
15865, 157ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
159111nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . 14
160159lem1d 9706 . . . . . . . . . . . . 13
161 fznn 10868 . . . . . . . . . . . . . 14
162112, 161syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
16396, 160, 162mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . 12
164158, 163sseldi 3191 . . . . . . . . . . 11
165 swrd0val 11470 . . . . . . . . . . 11 Word substr ..^
166103, 164, 165syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 substr ..^
167166fveq2d 5545 . . . . . . . . 9 substr ..^
168 swrd0len 11471 . . . . . . . . . 10 Word substr
169103, 164, 168syl2anc 642 . . . . . . . . 9 substr
170167, 169eqtr3d 2330 . . . . . . . 8 ..^
171170oveq1d 5889 . . . . . . 7 ..^
172171fveq2d 5545 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^
173156, 76, 1723eqtr4d 2338 . . . . 5 ..^ ..^ ..^ ..^
1741, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 15063 . . . . . . 7 ..^
17518, 163, 174syl2anc 642 . . . . . 6 ..^
1761, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 15056 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^
177175, 176syl 15 . . . . 5 ..^ ..^ ..^
178173, 62, 1773eqtr4d 2338 . . . 4 ..^ ..^
179 fveq2 5541 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
180179fveq2d 5545 . . . . . . . 8 ..^ ..^
181180breq1d 4049 . . . . . . 7 ..^ ..^
182179eqeq1d 2304 . . . . . . . 8 ..^ ..^
183 fveq1 5540 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
184183eqeq1d 2304 . . . . . . . 8 ..^ ..^
185182, 184imbi12d 311 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
186181, 185imbi12d 311 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^
187 fveq2 5541 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
188187eqeq2d 2307 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
189 fveq1 5540 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
190189eqeq2d 2307 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
191188, 190imbi12d 311 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
192191imbi2d 307 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
193186, 192rspc2va 2904 . . . . 5 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
19460, 175, 17, 193syl21anc 1181 . . . 4 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
19587, 178, 194mp2d 41 . . 3 ..^ ..^
196 lbfzo0 10919 . . . . 5 ..^
19722, 196sylibr 203 . . . 4 ..^
198 fvres 5558 . . . 4 ..^ ..^
199197, 198syl 15 . . 3 ..^
200 lbfzo0 10919 . . . . 5 ..^
20196, 200sylibr 203 . . . 4 ..^
202 fvres 5558 . . . 4 ..^ ..^
203201, 202syl 15 . . 3 ..^
204195, 199, 2033eqtr3d 2336 . 2
205204, 20pm2.65i 165 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560   cdif 3162   wss 3165  c0 3468  csn 3653  cop 3656  cotp 3657  ciun 3921   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cid 4320   cxp 4703   cdm 4705   crn 4706   cres 4707   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  c1o 6488  c2o 6489  cfn 6879  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cn 9762  c2 9811  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  crp 10370  cfz 10798  ..^cfzo 10886  chash 11353  Word cword 11419   substr csubstr 11422   splice csplice 11423  cs2 11507   ~FG cefg 15031 This theorem is referenced by:  efgred  15073 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-hash 11354  df-word 11425  df-concat 11426  df-s1 11427  df-substr 11428  df-splice 11429  df-s2 11514
 Copyright terms: Public domain W3C validator