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Theorem efgredlem 15056
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 15040 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
efgredlem.1  |-  ( ph  ->  A. a  e.  dom  S A. b  e.  dom  S ( ( # `  ( S `  a )
)  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  a )  =  ( S `  b )  ->  (
a `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) ) )
efgredlem.2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  S
)
efgredlem.3  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  S
)
efgredlem.4  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  =  ( S `
 B ) )
efgredlem.5  |-  ( ph  ->  -.  ( A ` 
0 )  =  ( B `  0 ) )
Assertion
Ref Expression
efgredlem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    a, b, A    y, a, z, b   
t, n, v, w, y, z    m, a, n, t, v, w, x, M, b    k,
a, T, b, m, t, x    W, a, b    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , a,
b, m, t, x, y, z    B, a, b    S, a, b    I,
a, b, m, n, t, v, w, x, y, z    D, a, b, m, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, t, k, m, n, a, b)    A( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    B( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y, z, w, v, n)    I( k)    M( y, z, k)

Proof of Theorem efgredlem
Dummy variables  i 
j  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
2 fviss 5580 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  C_ Word  ( I  X.  2o )
31, 2eqsstri 3208 . . . . . . . . 9  |-  W  C_ Word  ( I  X.  2o )
4 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  S
)
5 efgval.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
6 efgval2.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
7 efgval2.t . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
8 efgred.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
9 efgred.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
101, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 15039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom  S  <->  ( A  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  /\  ( A `  0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  A ) ) ( A `  i )  e.  ran  ( T `
 ( A `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
1110simp1bi 970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  S  ->  A  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
124, 11syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
13 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  (Word  W  \  { (/) } )  ->  A  e. Word  W )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e. Word  W )
15 wrdf 11419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e. Word  W  ->  A : ( 0..^ (
# `  A )
) --> W )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A : ( 0..^ ( # `  A
) ) --> W )
17 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. a  e.  dom  S A. b  e.  dom  S ( ( # `  ( S `  a )
)  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  a )  =  ( S `  b )  ->  (
a `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) ) )
18 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  S
)
19 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  =  ( S `
 B ) )
20 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  ( A ` 
0 )  =  ( B `  0 ) )
211, 5, 6, 7, 8, 9, 17, 4, 18, 19, 20efgredlema 15049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  e.  NN  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  NN ) )
2221simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  NN )
23 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 )  e. 
NN0 )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
2522nnred 9761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  RR )
2625lem1d 9690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  <_  ( ( # `  A )  -  1 ) )
27 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  (Word  W  \  { (/) } )  ->  A  =/=  (/) )
2812, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
29 wrdfin 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e. Word  W  ->  A  e.  Fin )
3014, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
31 hashnncl 11354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )
3328, 32mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN )
34 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  NN  ->  ( ( # `
 A )  - 
1 )  e.  NN0 )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  NN0 )
36 fznn0 10851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  -  1 ) )  <-> 
( ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  <_  ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( (
# `  A )  -  1 ) )  <-> 
( ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  <_  ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )
3824, 26, 37mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )
39 lencl 11421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e. Word  W  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
4014, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
4140nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
42 fzoval 10876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  A
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  A )  -  1 ) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  A ) )  =  ( 0 ... (
( # `  A )  -  1 ) ) )
4438, 43eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  A )
) )
45 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A : ( 0..^ ( # `  A
) ) --> W  /\  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  A )
) )  ->  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  e.  W )
4616, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  e.  W )
473, 46sseldi 3178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
48 lencl 11421 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
4947, 48syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  e.  NN0 )
5049nn0red 10019 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
51 2rp 10359 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
52 ltaddrp 10386 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR+ )  ->  ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) )  <  (
( # `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  +  2 ) )
5350, 51, 52sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  <  ( ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) )  +  2 ) )
5440nn0red 10019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
5554lem1d 9690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  <_  ( # `  A
) )
56 fznn 10852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( (
( # `  A )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  <-> 
( ( ( # `  A )  -  1 )  e.  NN  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  <_  ( # `  A
) ) ) )
5741, 56syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( (
( # `  A )  -  1 )  e.  NN  /\  ( (
# `  A )  -  1 )  <_ 
( # `  A ) ) ) )
5822, 55, 57mpbir2and 888 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
591, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 15047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  S  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( A  |`  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S )
604, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  |`  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S )
611, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 15040 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )  e.  dom  S  ->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) ) )
6260, 61syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) ) )
63 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
64 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
6563, 64eleqtri 2355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
66 fzss1 10830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  C_  (
0 ... ( # `  A
) ) )
6765, 66ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... ( # `  A
) )  C_  (
0 ... ( # `  A
) )
6867, 58sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )
69 swrd0val 11454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  W  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( A substr  <. 0 ,  ( ( # `  A
)  -  1 )
>. )  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )
7014, 68, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A substr  <. 0 ,  ( ( # `  A )  -  1 ) >. )  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )
7170fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A substr  <. 0 ,  ( ( # `  A
)  -  1 )
>. ) )  =  (
# `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )
72 swrd0len 11455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. Word  W  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( # `  ( A substr  <. 0 ,  ( (
# `  A )  -  1 ) >.
) )  =  ( ( # `  A
)  -  1 ) )
7314, 68, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A substr  <. 0 ,  ( ( # `  A
)  -  1 )
>. ) )  =  ( ( # `  A
)  -  1 ) )
7471, 73eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  A
)  -  1 ) )
7574oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )
7675fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) )  =  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) )
77 fzo0end 10915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )
7822, 77syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )
79 fvres 5542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) )
8078, 79syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) )  =  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )
8162, 76, 803eqtrd 2319 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) )
8281fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
831, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 15041 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  S  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  NN )  -> 
( S `  A
)  e.  ran  ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
844, 22, 83syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  e.  ran  ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
851, 5, 6, 7efgtlen 15035 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  e.  W  /\  ( S `  A )  e.  ran  ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  ->  ( # `
 ( S `  A ) )  =  ( ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  +  2 ) )
8646, 84, 85syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S `  A )
)  =  ( (
# `  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) )  +  2 ) )
8753, 82, 863brtr4d 4053 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) ) )
881, 5, 6, 7efgtf 15031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  e.  W  ->  (
( T `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( a  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ,  b  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) splice  <. a ,  a , 
<" b ( M `
 b ) "> >. ) )  /\  ( T `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W ) )
8946, 88syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) )  =  ( a  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) ,  b  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) splice  <. a ,  a ,  <" b ( M `  b ) "> >.
) )  /\  ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W ) )
9089simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W )
91 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W  ->  ( T `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  X.  (
I  X.  2o ) ) )
9290, 91syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) )
93 ovelrn 5996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) )  ->  ( ( S `
 A )  e. 
ran  ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) )  <->  E. i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) ) E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r ) ) )
9492, 93syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S `  A )  e.  ran  ( T `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  <->  E. i  e.  (
0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r ) ) )
9584, 94mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) ) E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r ) )
9621simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  NN )
971, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 15041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  dom  S  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  NN )  -> 
( S `  B
)  e.  ran  ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
9818, 96, 97syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S `  B
)  e.  ran  ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
991, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 15039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  dom  S  <->  ( B  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  /\  ( B `  0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  B ) ) ( B `  i )  e.  ran  ( T `
 ( B `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
10099simp1bi 970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  dom  S  ->  B  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
10118, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
102 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  (Word  W  \  { (/) } )  ->  B  e. Word  W )
103101, 102syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e. Word  W )
104 wrdf 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e. Word  W  ->  B : ( 0..^ (
# `  B )
) --> W )
105103, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B : ( 0..^ ( # `  B
) ) --> W )
106 fzo0end 10915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) )
10796, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) )
108 elfzofz 10889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) )  ->  ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( (
# `  B )  -  1 ) ) )
109107, 108syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( # `  B
)  -  1 ) ) )
110 lencl 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e. Word  W  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
111103, 110syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
112111nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
113 fzoval 10876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  B )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  B
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  B )  -  1 ) ) )
114112, 113syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  B ) )  =  ( 0 ... (
( # `  B )  -  1 ) ) )
115109, 114eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  B )
) )
116 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B : ( 0..^ ( # `  B
) ) --> W  /\  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  B )
) )  ->  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) )  e.  W )
117105, 115, 116syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) )  e.  W )
1181, 5, 6, 7efgtf 15031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) )  e.  W  ->  (
( T `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( a  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ,  b  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) splice  <. a ,  a , 
<" b ( M `
 b ) "> >. ) )  /\  ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W ) )
119117, 118syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  =  ( a  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) ,  b  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) splice  <. a ,  a ,  <" b ( M `  b ) "> >.
) )  /\  ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W ) )
120119simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W )
121 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W  ->  ( T `  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  X.  (
I  X.  2o ) ) )
122120, 121syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) )
123 ovelrn 5996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) )  ->  ( ( S `
 B )  e. 
ran  ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  <->  E. j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) ) E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) ) )
124122, 123syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S `  B )  e.  ran  ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) )  <->  E. j  e.  (
0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) ) )
12598, 124mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) ) E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) )
126 reeanv 2707 . . . . . . . . 9  |-  ( E. i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) E. j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ( E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A
)  =  ( i ( T `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) r )  /\  E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `
 B )  =  ( j ( T `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) )  <->  ( E. i  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) r )  /\  E. j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) ) )
127 reeanv 2707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. r  e.  ( I  X.  2o ) E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( ( S `  A
)  =  ( i ( T `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) )  <->  ( E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `
 A )  =  ( i ( T `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) ) )
12817ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  A. a  e.  dom  S A. b  e.  dom  S ( (
# `  ( S `  a ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) )  ->  ( ( S `
 a )  =  ( S `  b
)  ->  ( a `  0 )  =  ( b `  0
) ) ) )
1294ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  A  e.  dom  S )
13018ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  B  e.  dom  S )
13119ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( S `  A )  =  ( S `  B ) )
13220ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  -.  ( A `  0 )  =  ( B ` 
0 ) )
133 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 )  =  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )
134 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 )  =  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 )
135 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( i  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
136135simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) )
137135simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) )
138 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) ) )
139138simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  r  e.  ( I  X.  2o ) )
140138simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  s  e.  ( I  X.  2o ) )
141 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) )
142141simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r ) )
143141simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) )
144 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )
1451, 5, 6, 7, 8, 9, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 136, 137, 139, 140, 142, 143, 144efgredlemb 15055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )
146 iman 413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  ->  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) )  <->  -.  ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )
147145, 146mpbir 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  ->  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) )
148147expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( S `
 A )  =  ( i ( T `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) )  ->  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
149148rexlimdvva 2674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) )  -> 
( E. r  e.  ( I  X.  2o ) E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) )  -> 
( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
150127, 149syl5bir 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) )  -> 
( ( E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) )  -> 
( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
151150rexlimdvva 2674 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. i  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) E. j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) ( E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) )  -> 
( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
152126, 151syl5bir 209 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. i  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) r )  /\  E. j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) )  ->  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
15395, 125, 152mp2and 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) )
154 fvres 5542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) )  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) )
155107, 154syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) )
156153, 80, 1553eqtr4d 2325 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) )  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )
157 fzss1 10830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( # `  B
) )  C_  (
0 ... ( # `  B
) ) )
15865, 157ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( # `  B
) )  C_  (
0 ... ( # `  B
) )
159111nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
160159lem1d 9690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  1 )  <_  ( # `  B
) )
161 fznn 10852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  B )  e.  ZZ  ->  ( (
( # `  B )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( ( ( # `  B )  -  1 )  e.  NN  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  <_  ( # `  B
) ) ) )
162112, 161syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) )  <->  ( (
( # `  B )  -  1 )  e.  NN  /\  ( (
# `  B )  -  1 )  <_ 
( # `  B ) ) ) )
16396, 160, 162mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
164158, 163sseldi 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )
165 swrd0val 11454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e. Word  W  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( B substr  <. 0 ,  ( ( # `  B
)  -  1 )
>. )  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )
166103, 164, 165syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B substr  <. 0 ,  ( ( # `  B )  -  1 ) >. )  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )
167166fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( ( # `  B
)  -  1 )
>. ) )  =  (
# `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) ) )
168 swrd0len 11455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e. Word  W  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( (
# `  B )  -  1 ) >.
) )  =  ( ( # `  B
)  -  1 ) )
169103, 164, 168syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( ( # `  B
)  -  1 )
>. ) )  =  ( ( # `  B
)  -  1 ) )
170167, 169eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  B
)  -  1 ) )
171170oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) )
172171fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) )  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) )
173156, 76, 1723eqtr4d 2325 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) )  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) ) )
1741, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 15047 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  dom  S  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S )
17518, 163, 174syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S )
1761, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 15040 . . . . . 6  |-  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) )  e.  dom  S  ->  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) ) )
177175, 176syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) ) )
178173, 62, 1773eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) ) )
179 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( S `  a
)  =  ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ) )
180179fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( S `
 a ) )  =  ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) ) )
181180breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  ( S `  a )
)  <  ( # `  ( S `  A )
)  <->  ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) ) ) )
182179eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( S `  a )  =  ( S `  b )  <-> 
( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b
) ) )
183 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( a `  0
)  =  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) `  0
) )
184183eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( a ` 
0 )  =  ( b `  0 )  <-> 
( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( b `  0 ) ) )
185182, 184imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( S `
 a )  =  ( S `  b
)  ->  ( a `  0 )  =  ( b `  0
) )  <->  ( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) ) )
186181, 185imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S `  a
) )  <  ( # `
 ( S `  A ) )  -> 
( ( S `  a )  =  ( S `  b )  ->  ( a ` 
0 )  =  ( b `  0 ) ) )  <->  ( ( # `
 ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) ) )  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) ) ) )
187 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( S `  b
)  =  ( S `
 ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ) )
188187eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b
)  <->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) ) ) )
189 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( b `  0
)  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) `  0
) )
190189eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 )  <->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) `  0
)  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) `  0
) ) )
191188, 190imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  (
( A  |`  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( b `  0 ) )  <->  ( ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 ) ) ) )
192191imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) ) )  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) )  <-> 
( ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) )  ->  ( ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 ) ) ) ) )
193186, 192rspc2va 2891 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S  /\  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) )  e.  dom  S )  /\  A. a  e.  dom  S A. b  e.  dom  S ( (
# `  ( S `  a ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) )  ->  ( ( S `
 a )  =  ( S `  b
)  ->  ( a `  0 )  =  ( b `  0
) ) ) )  ->  ( ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) ) )  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) )  ->  (
( A  |`  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 ) ) ) )
19460, 175, 17, 193syl21anc 1181 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) )  ->  ( ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 ) ) ) )
19587, 178, 194mp2d 41 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 ) )
196 lbfzo0 10903 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) )  <->  ( ( # `  A )  -  1 )  e.  NN )
19722, 196sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )
198 fvres 5542 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) `  0
)  =  ( A `
 0 ) )
199197, 198syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( A `  0 ) )
200 lbfzo0 10903 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) )  <->  ( ( # `  B )  -  1 )  e.  NN )
20196, 200sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) )
202 fvres 5542 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) )  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) `  0
)  =  ( B `
 0 ) )
203201, 202syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( B `  0 ) )
204195, 199, 2033eqtr3d 2323 . 2  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =  ( B `
 0 ) )
205204, 20pm2.65i 165 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   <.cotp 3644   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _I cid 4304    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1oc1o 6472   2oc2o 6473   Fincfn 6863   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870   #chash 11337  Word cword 11403   substr csubstr 11406   splice csplice 11407   <"cs2 11491   ~FG cefg 15015
This theorem is referenced by:  efgred  15057
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-substr 11412  df-splice 11413  df-s2 11498
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