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Theorem efgredlem 15381
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 15365 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
efgredlem.1  |-  ( ph  ->  A. a  e.  dom  S A. b  e.  dom  S ( ( # `  ( S `  a )
)  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  a )  =  ( S `  b )  ->  (
a `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) ) )
efgredlem.2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  S
)
efgredlem.3  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  S
)
efgredlem.4  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  =  ( S `
 B ) )
efgredlem.5  |-  ( ph  ->  -.  ( A ` 
0 )  =  ( B `  0 ) )
Assertion
Ref Expression
efgredlem  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    a, b, A    y, a, z, b   
t, n, v, w, y, z    m, a, n, t, v, w, x, M, b    k,
a, T, b, m, t, x    W, a, b    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , a,
b, m, t, x, y, z    B, a, b    S, a, b    I,
a, b, m, n, t, v, w, x, y, z    D, a, b, m, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, t, k, m, n, a, b)    A( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    B( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y, z, w, v, n)    I( k)    M( y, z, k)

Proof of Theorem efgredlem
Dummy variables  i 
j  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
2 fviss 5786 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  C_ Word  ( I  X.  2o )
31, 2eqsstri 3380 . . . . . . . . 9  |-  W  C_ Word  ( I  X.  2o )
4 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  S
)
5 efgval.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
6 efgval2.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
7 efgval2.t . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
8 efgred.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
9 efgred.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
101, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 15364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  dom  S  <->  ( A  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  /\  ( A `  0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  A ) ) ( A `  i )  e.  ran  ( T `
 ( A `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
1110simp1bi 973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  dom  S  ->  A  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
124, 11syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
1312eldifad 3334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e. Word  W )
14 wrdf 11735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e. Word  W  ->  A : ( 0..^ (
# `  A )
) --> W )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A : ( 0..^ ( # `  A
) ) --> W )
16 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. a  e.  dom  S A. b  e.  dom  S ( ( # `  ( S `  a )
)  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  a )  =  ( S `  b )  ->  (
a `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) ) )
17 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  S
)
18 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  =  ( S `
 B ) )
19 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  ( A ` 
0 )  =  ( B `  0 ) )
201, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 4, 17, 18, 19efgredlema 15374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  e.  NN  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  NN ) )
2120simpld 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  NN )
22 nnm1nn0 10263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 )  e. 
NN0 )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  e.  NN0 )
2421nnred 10017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  RR )
2524lem1d 9946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  <_  ( ( # `  A )  -  1 ) )
26 eldifsni 3930 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  (Word  W  \  { (/) } )  ->  A  =/=  (/) )
274, 11, 263syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
28 wrdfin 11736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e. Word  W  ->  A  e.  Fin )
29 hashnncl 11647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )
3013, 28, 293syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  e.  NN  <->  A  =/=  (/) ) )
3127, 30mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN )
32 nnm1nn0 10263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  A )  e.  NN  ->  ( ( # `
 A )  - 
1 )  e.  NN0 )
33 fznn0 11115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  -  1 ) )  <-> 
( ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  <_  ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )
3431, 32, 333syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( (
# `  A )  -  1 ) )  <-> 
( ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 )  e.  NN0  /\  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  <_  ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )
3523, 25, 34mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )
36 lencl 11737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e. Word  W  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
3713, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
3837nn0zd 10375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
39 fzoval 11143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  A
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  A )  -  1 ) ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  A ) )  =  ( 0 ... (
( # `  A )  -  1 ) ) )
4135, 40eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  A )
) )
4215, 41ffvelrnd 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  e.  W )
433, 42sseldi 3348 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  e. Word  ( I  X.  2o ) )
44 lencl 11737 . . . . . . . 8  |-  ( ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  e. Word  ( I  X.  2o )  ->  ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) )  e.  NN0 )
4543, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  e.  NN0 )
4645nn0red 10277 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
47 2rp 10619 . . . . . 6  |-  2  e.  RR+
48 ltaddrp 10646 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  e.  RR  /\  2  e.  RR+ )  ->  ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) )  <  (
( # `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  +  2 ) )
4946, 47, 48sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  <  ( ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) )  +  2 ) )
5037nn0red 10277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
5150lem1d 9946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  <_  ( # `  A
) )
52 fznn 11117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( (
( # `  A )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  <-> 
( ( ( # `  A )  -  1 )  e.  NN  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  <_  ( # `  A
) ) ) )
5338, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( (
( # `  A )  -  1 )  e.  NN  /\  ( (
# `  A )  -  1 )  <_ 
( # `  A ) ) ) )
5421, 51, 53mpbir2and 890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
551, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 15372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  dom  S  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( A  |`  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S )
564, 54, 55syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  |`  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S )
571, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 15365 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )  e.  dom  S  ->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) ) )
59 1nn0 10239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
60 nn0uz 10522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
6159, 60eleqtri 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
62 fzss1 11093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  C_  (
0 ... ( # `  A
) ) )
6361, 62ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... ( # `  A
) )  C_  (
0 ... ( # `  A
) )
6463, 54sseldi 3348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )
65 swrd0val 11770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  W  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( A substr  <. 0 ,  ( ( # `  A
)  -  1 )
>. )  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )
6613, 64, 65syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A substr  <. 0 ,  ( ( # `  A )  -  1 ) >. )  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )
6766fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A substr  <. 0 ,  ( ( # `  A
)  -  1 )
>. ) )  =  (
# `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )
68 swrd0len 11771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. Word  W  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( # `  ( A substr  <. 0 ,  ( (
# `  A )  -  1 ) >.
) )  =  ( ( # `  A
)  -  1 ) )
6913, 64, 68syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A substr  <. 0 ,  ( ( # `  A
)  -  1 )
>. ) )  =  ( ( # `  A
)  -  1 ) )
7067, 69eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  A
)  -  1 ) )
7170oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )
7271fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) )  =  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) )
73 fzo0end 11190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )
74 fvres 5747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) )
7521, 73, 743syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) )  =  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )
7658, 72, 753eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) )
7776fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  =  ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
781, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 15366 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  S  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  e.  NN )  -> 
( S `  A
)  e.  ran  ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
794, 21, 78syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S `  A
)  e.  ran  ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
801, 5, 6, 7efgtlen 15360 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  e.  W  /\  ( S `  A )  e.  ran  ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  ->  ( # `
 ( S `  A ) )  =  ( ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  +  2 ) )
8142, 79, 80syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S `  A )
)  =  ( (
# `  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) )  +  2 ) )
8249, 77, 813brtr4d 4244 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) ) )
831, 5, 6, 7efgtf 15356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  e.  W  ->  (
( T `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( a  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ,  b  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) splice  <. a ,  a , 
<" b ( M `
 b ) "> >. ) )  /\  ( T `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W ) )
8442, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) )  =  ( a  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) ,  b  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) splice  <. a ,  a ,  <" b ( M `  b ) "> >.
) )  /\  ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W ) )
8584simprd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W )
86 ffn 5593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W  ->  ( T `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  X.  (
I  X.  2o ) ) )
87 ovelrn 6224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) )  ->  ( ( S `
 A )  e. 
ran  ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) )  <->  E. i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) ) E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r ) ) )
8885, 86, 873syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S `  A )  e.  ran  ( T `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) )  <->  E. i  e.  (
0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r ) ) )
8979, 88mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) ) E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r ) )
9020simprd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  NN )
911, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 15366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  dom  S  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  NN )  -> 
( S `  B
)  e.  ran  ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
9217, 90, 91syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S `  B
)  e.  ran  ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
931, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 15364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  dom  S  <->  ( B  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  /\  ( B `  0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  B ) ) ( B `  i )  e.  ran  ( T `
 ( B `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
9493simp1bi 973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  dom  S  ->  B  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
9517, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
9695eldifad 3334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e. Word  W )
97 wrdf 11735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e. Word  W  ->  B : ( 0..^ (
# `  B )
) --> W )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B : ( 0..^ ( # `  B
) ) --> W )
99 fzo0end 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) )
100 elfzofz 11156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) )  ->  ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( (
# `  B )  -  1 ) ) )
10190, 99, 1003syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( # `  B
)  -  1 ) ) )
102 lencl 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e. Word  W  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
10396, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
104103nn0zd 10375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
105 fzoval 11143 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  B )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  B
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  B )  -  1 ) ) )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0..^ ( # `  B ) )  =  ( 0 ... (
( # `  B )  -  1 ) ) )
107101, 106eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  B )
) )
10898, 107ffvelrnd 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) )  e.  W )
1091, 5, 6, 7efgtf 15356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) )  e.  W  ->  (
( T `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( a  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ,  b  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) splice  <. a ,  a , 
<" b ( M `
 b ) "> >. ) )  /\  ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  =  ( a  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) ,  b  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) splice  <. a ,  a ,  <" b ( M `  b ) "> >.
) )  /\  ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W ) )
111110simprd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( T `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W )
112 ffn 5593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) : ( ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) ) --> W  ->  ( T `  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  X.  (
I  X.  2o ) ) )
113 ovelrn 6224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) )  Fn  ( ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  X.  ( I  X.  2o ) )  ->  ( ( S `
 B )  e. 
ran  ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  <->  E. j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) ) E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) ) )
114111, 112, 1133syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S `  B )  e.  ran  ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) )  <->  E. j  e.  (
0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) ) )
11592, 114mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E. j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) ) E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) )
116 reeanv 2877 . . . . . . . . 9  |-  ( E. i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) E. j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ( E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A
)  =  ( i ( T `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) r )  /\  E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `
 B )  =  ( j ( T `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) )  <->  ( E. i  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) r )  /\  E. j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) ) )
117 reeanv 2877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. r  e.  ( I  X.  2o ) E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( ( S `  A
)  =  ( i ( T `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) )  <->  ( E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `
 A )  =  ( i ( T `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) ) )
11816ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  A. a  e.  dom  S A. b  e.  dom  S ( (
# `  ( S `  a ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) )  ->  ( ( S `
 a )  =  ( S `  b
)  ->  ( a `  0 )  =  ( b `  0
) ) ) )
1194ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  A  e.  dom  S )
12017ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  B  e.  dom  S )
12118ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( S `  A )  =  ( S `  B ) )
12219ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  -.  ( A `  0 )  =  ( B ` 
0 ) )
123 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 )  =  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 )
124 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 )  =  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 )
125 simpllr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( i  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
126125simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) )
127125simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) )
128 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) ) )
129128simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  r  e.  ( I  X.  2o ) )
130128simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  s  e.  ( I  X.  2o ) )
131 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) )
132131simpld 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r ) )
133131simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) )
134 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )  ->  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )
1351, 5, 6, 7, 8, 9, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 126, 127, 129, 130, 132, 133, 134efgredlemb 15380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )
136 iman 415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  ->  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) )  <->  -.  ( ( ( ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  /\  -.  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) )  =  ( B `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) )
137135, 136mpbir 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) )  /\  ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) ) ) )  ->  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) )
138137expr 600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  ( 0 ... ( # `  ( A `  ( (
( # `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `
 ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) ) )  /\  ( r  e.  ( I  X.  2o )  /\  s  e.  ( I  X.  2o ) ) )  -> 
( ( ( S `
 A )  =  ( i ( T `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) )  ->  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
139138rexlimdvva 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) )  -> 
( E. r  e.  ( I  X.  2o ) E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) )  -> 
( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
140117, 139syl5bir 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) )  /\  j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) ) )  -> 
( ( E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) )  -> 
( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
141140rexlimdvva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. i  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) E. j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) ( E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `  ( ( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) ) ) r )  /\  E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) s ) )  -> 
( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) ) )
142116, 141syl5bir 211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. i  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) ) ) ) E. r  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  A )  =  ( i ( T `  ( A `
 ( ( (
# `  A )  -  1 )  - 
1 ) ) ) r )  /\  E. j  e.  ( 0 ... ( # `  ( B `  ( (
( # `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) ) E. s  e.  ( I  X.  2o ) ( S `  B )  =  ( j ( T `  ( B `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) ) s ) )  ->  ( A `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) ) )
14389, 115, 142mp2and 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  (
( ( # `  A
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) )
144 fvres 5747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) )  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) )
14590, 99, 1443syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) )  =  ( B `
 ( ( (
# `  B )  -  1 )  - 
1 ) ) )
146143, 75, 1453eqtr4d 2480 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( ( # `  A )  -  1 )  -  1 ) )  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) `  (
( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) ) )
147 fzss1 11093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( # `  B
) )  C_  (
0 ... ( # `  B
) ) )
14861, 147ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... ( # `  B
) )  C_  (
0 ... ( # `  B
) )
149103nn0red 10277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
150149lem1d 9946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  1 )  <_  ( # `  B
) )
151 fznn 11117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  B )  e.  ZZ  ->  ( (
( # `  B )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( ( ( # `  B )  -  1 )  e.  NN  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  <_  ( # `  B
) ) ) )
152104, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) )  <->  ( (
( # `  B )  -  1 )  e.  NN  /\  ( (
# `  B )  -  1 )  <_ 
( # `  B ) ) ) )
15390, 150, 152mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
154148, 153sseldi 3348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )
155 swrd0val 11770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e. Word  W  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( B substr  <. 0 ,  ( ( # `  B
)  -  1 )
>. )  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )
15696, 154, 155syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B substr  <. 0 ,  ( ( # `  B )  -  1 ) >. )  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )
157156fveq2d 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( ( # `  B
)  -  1 )
>. ) )  =  (
# `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) ) )
158 swrd0len 11771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e. Word  W  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( (
# `  B )  -  1 ) >.
) )  =  ( ( # `  B
)  -  1 ) )
15996, 154, 158syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( ( # `  B
)  -  1 )
>. ) )  =  ( ( # `  B
)  -  1 ) )
160157, 159eqtr3d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( # `  B
)  -  1 ) )
161160oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  B
)  -  1 )  -  1 ) )
162161fveq2d 5734 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) )  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( ( # `  B )  -  1 )  -  1 ) ) )
163146, 72, 1623eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) )  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) ) )
1641, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 15372 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  dom  S  /\  ( ( # `  B
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S )
16517, 153, 164syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S )
1661, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 15365 . . . . . 6  |-  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) )  e.  dom  S  ->  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) ) )
167165, 166syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) `  ( ( # `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  - 
1 ) ) )
168163, 58, 1673eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) ) )
169 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( S `  a
)  =  ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ) )
170169fveq2d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( S `
 a ) )  =  ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) ) )
171170breq1d 4224 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  ( S `  a )
)  <  ( # `  ( S `  A )
)  <->  ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) ) ) )
172169eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( S `  a )  =  ( S `  b )  <-> 
( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b
) ) )
173 fveq1 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( a `  0
)  =  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) `  0
) )
174173eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( a ` 
0 )  =  ( b `  0 )  <-> 
( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( b `  0 ) ) )
175172, 174imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( S `
 a )  =  ( S `  b
)  ->  ( a `  0 )  =  ( b `  0
) )  <->  ( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) ) )
176171, 175imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S `  a
) )  <  ( # `
 ( S `  A ) )  -> 
( ( S `  a )  =  ( S `  b )  ->  ( a ` 
0 )  =  ( b `  0 ) ) )  <->  ( ( # `
 ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) ) )  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) ) ) )
177 fveq2 5730 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( S `  b
)  =  ( S `
 ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ) )
178177eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b
)  <->  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) ) ) )
179 fveq1 5729 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( b `  0
)  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) `  0
) )
180179eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 )  <->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) `  0
)  =  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) `  0
) ) )
181178, 180imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  (
( A  |`  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( b `  0 ) )  <->  ( ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 ) ) ) )
182181imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) )  -> 
( ( ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) ) )  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  b )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) `  0 )  =  ( b ` 
0 ) ) )  <-> 
( ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) )  ->  ( ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 ) ) ) ) )
183176, 182rspc2va 3061 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) )  e. 
dom  S  /\  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) )  e.  dom  S )  /\  A. a  e.  dom  S A. b  e.  dom  S ( (
# `  ( S `  a ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) )  ->  ( ( S `
 a )  =  ( S `  b
)  ->  ( a `  0 )  =  ( b `  0
) ) ) )  ->  ( ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) ) )  <  ( # `  ( S `  A )
)  ->  ( ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( (
# `  B )  -  1 ) ) ) )  ->  (
( A  |`  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 ) ) ) )
18456, 165, 16, 183syl21anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( S `  ( A  |`  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) ) ) )  < 
( # `  ( S `
 A ) )  ->  ( ( S `
 ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) )  =  ( S `  ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 ) ) ) )
18582, 168, 184mp2d 44 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( ( B  |`  (
0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 ) )
186 lbfzo0 11172 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) )  <->  ( ( # `  A )  -  1 )  e.  NN )
18721, 186sylibr 205 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )
188 fvres 5747 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) )  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ) `  0
)  =  ( A `
 0 ) )
189187, 188syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  |`  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( A `  0 ) )
190 lbfzo0 11172 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) )  <->  ( ( # `  B )  -  1 )  e.  NN )
19190, 190sylibr 205 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) )
192 fvres 5747 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) )  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B
)  -  1 ) ) ) `  0
)  =  ( B `
 0 ) )
193191, 192syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  |`  ( 0..^ ( ( # `  B )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  ( B `  0 ) )
194185, 189, 1933eqtr3d 2478 . 2  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =  ( B `
 0 ) )
195194, 19pm2.65i 168 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    \ cdif 3319    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   <.cop 3819   <.cotp 3820   U_ciun 4095   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    _I cid 4495    X. cxp 4878   dom cdm 4880   ran crn 4881    |` cres 4882    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   1oc1o 6719   2oc2o 6720   Fincfn 7111   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   ...cfz 11045  ..^cfzo 11137   #chash 11620  Word cword 11719   substr csubstr 11722   splice csplice 11723   <"cs2 11807   ~FG cefg 15340
This theorem is referenced by:  efgred  15382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-substr 11728  df-splice 11729  df-s2 11814
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