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Theorem efgredlemc 15054
 Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 15040 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
efgred.d
efgred.s Word ..^
efgredlem.1
efgredlem.2
efgredlem.3
efgredlem.4
efgredlem.5
efgredlemb.k
efgredlemb.l
efgredlemb.p
efgredlemb.q
efgredlemb.u
efgredlemb.v
efgredlemb.6
efgredlemb.7
efgredlemb.8
Assertion
Ref Expression
efgredlemc
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,   ,,   ,,,,,,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,)   (,,,,,)   ()   (,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,)   (,,,,,)

Proof of Theorem efgredlemc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzp1 10261 . 2
2 efgredlemb.8 . . . . . 6
3 efgval.w . . . . . . . . . . 11 Word
4 fviss 5580 . . . . . . . . . . 11 Word Word
53, 4eqsstri 3208 . . . . . . . . . 10 Word
6 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . 13
7 efgval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 ~FG
8 efgval2.m . . . . . . . . . . . . . . 15
9 efgval2.t . . . . . . . . . . . . . . 15 splice
10 efgred.d . . . . . . . . . . . . . . 15
11 efgred.s . . . . . . . . . . . . . . 15 Word ..^
123, 7, 8, 9, 10, 11efgsdm 15039 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^
1312simp1bi 970 . . . . . . . . . . . . 13 Word
146, 13syl 15 . . . . . . . . . . . 12 Word
15 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
16 wrdf 11419 . . . . . . . . . . . 12 Word ..^
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . . 11 ..^
18 fzossfz 10892 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
19 efgredlemb.k . . . . . . . . . . . . . 14
20 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
21 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
243, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 6, 21, 22, 23efgredlema 15049 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2524simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 fzo0end 10915 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
2819, 27syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
2918, 28sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12
30 lencl 11421 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
3114, 15, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14
3231nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . 13
33 fzoval 10876 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
3432, 33syl 15 . . . . . . . . . . . 12 ..^
3529, 34eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . 11 ..^
36 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
3717, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
385, 37sseldi 3178 . . . . . . . . 9 Word
39 efgredlemb.p . . . . . . . . . 10
40 elfzuz 10794 . . . . . . . . . 10
41 eluzfz1 10803 . . . . . . . . . 10
4239, 40, 413syl 18 . . . . . . . . 9
43 lencl 11421 . . . . . . . . . . . 12 Word
4438, 43syl 15 . . . . . . . . . . 11
45 nn0uz 10262 . . . . . . . . . . 11
4644, 45syl6eleq 2373 . . . . . . . . . 10
47 eluzfz2 10804 . . . . . . . . . 10
4846, 47syl 15 . . . . . . . . 9
49 ccatswrd 11459 . . . . . . . . 9 Word substr concat substr substr
5038, 42, 39, 48, 49syl13anc 1184 . . . . . . . 8 substr concat substr substr
51 swrdid 11458 . . . . . . . . 9 Word substr
5238, 51syl 15 . . . . . . . 8 substr
5350, 52eqtrd 2315 . . . . . . 7 substr concat substr
543, 7, 8, 9, 10, 11efgsdm 15039 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^
5554simp1bi 970 . . . . . . . . . . . . 13 Word
5621, 55syl 15 . . . . . . . . . . . 12 Word
57 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
58 wrdf 11419 . . . . . . . . . . . 12 Word ..^
5956, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . . 11 ..^
60 fzossfz 10892 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
61 efgredlemb.l . . . . . . . . . . . . . 14
6224simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 fzo0end 10915 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
6462, 63syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
6561, 64syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
6660, 65sseldi 3178 . . . . . . . . . . . 12
67 lencl 11421 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
6856, 57, 673syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14
6968nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . 13
70 fzoval 10876 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . . 12 ..^
7266, 71eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . 11 ..^
73 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
7459, 72, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
755, 74sseldi 3178 . . . . . . . . 9 Word
76 efgredlemb.q . . . . . . . . . 10
77 elfzuz 10794 . . . . . . . . . 10
78 eluzfz1 10803 . . . . . . . . . 10
7976, 77, 783syl 18 . . . . . . . . 9
80 lencl 11421 . . . . . . . . . . . 12 Word
8175, 80syl 15 . . . . . . . . . . 11
8281, 45syl6eleq 2373 . . . . . . . . . 10
83 eluzfz2 10804 . . . . . . . . . 10
8482, 83syl 15 . . . . . . . . 9
85 ccatswrd 11459 . . . . . . . . 9 Word substr concat substr substr
8675, 79, 76, 84, 85syl13anc 1184 . . . . . . . 8 substr concat substr substr
87 swrdid 11458 . . . . . . . . 9 Word substr
8875, 87syl 15 . . . . . . . 8 substr
8986, 88eqtrd 2315 . . . . . . 7 substr concat substr
9053, 89eqeq12d 2297 . . . . . 6 substr concat substr substr concat substr
912, 90mtbird 292 . . . . 5 substr concat substr substr concat substr
92 efgredlemb.6 . . . . . . . . . . . . 13
93 efgredlemb.u . . . . . . . . . . . . . 14
943, 7, 8, 9efgtval 15032 . . . . . . . . . . . . . 14 splice
9537, 39, 93, 94syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13 splice
968efgmf 15022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9893, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
9993, 98s2cld 11519 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
100 splval 11466 . . . . . . . . . . . . . 14 Word splice substr concat concat substr
10137, 39, 39, 99, 100syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13 splice substr concat concat substr
10292, 95, 1013eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12 substr concat concat substr
103 efgredlemb.7 . . . . . . . . . . . . 13
104 efgredlemb.v . . . . . . . . . . . . . 14
1053, 7, 8, 9efgtval 15032 . . . . . . . . . . . . . 14 splice
10674, 76, 104, 105syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13 splice
10796ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108104, 107syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
109104, 108s2cld 11519 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
110 splval 11466 . . . . . . . . . . . . . 14 Word splice substr concat concat substr
11174, 76, 76, 109, 110syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13 splice substr concat concat substr
112103, 106, 1113eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . 12 substr concat concat substr
11322, 102, 1123eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . 11 substr concat concat substr substr concat concat substr
114113adantr 451 . . . . . . . . . 10 substr concat concat substr substr concat concat substr
115 swrdcl 11452 . . . . . . . . . . . . . 14 Word substr Word
11638, 115syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 substr Word
117116adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 substr Word
11899adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 Word
119 ccatcl 11429 . . . . . . . . . . . 12 substr Word Word substr concat Word
120117, 118, 119syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 substr concat Word
121 swrdcl 11452 . . . . . . . . . . . . 13 Word substr Word
12238, 121syl 15 . . . . . . . . . . . 12 substr Word
123122adantr 451 . . . . . . . . . . 11 substr Word
124 swrdcl 11452 . . . . . . . . . . . . . 14 Word substr Word
12575, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 substr Word
126125adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 substr Word
127109adantr 451 . . . . . . . . . . . 12 Word
128 ccatcl 11429 . . . . . . . . . . . 12 substr Word Word substr concat Word
129126, 127, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 substr concat Word
130 swrdcl 11452 . . . . . . . . . . . . 13 Word substr Word
13175, 130syl 15 . . . . . . . . . . . 12 substr Word
132131adantr 451 . . . . . . . . . . 11 substr Word
133 swrd0len 11455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word substr
13438, 39, 133syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 substr
135 swrd0len 11455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word substr
13675, 76, 135syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 substr
137134, 136eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . 14 substr substr
138137biimpar 471 . . . . . . . . . . . . 13 substr substr
139 s2len 11537 . . . . . . . . . . . . . . 15
140 s2len 11537 . . . . . . . . . . . . . . 15
141139, 140eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . . . . 14
142141a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
143138, 142oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12 substr substr
144 ccatlen 11430 . . . . . . . . . . . . 13 substr Word Word substr concat substr
145117, 118, 144syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 substr concat substr
146 ccatlen 11430 . . . . . . . . . . . . 13 substr Word Word substr concat substr
147126, 127, 146syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 substr concat substr
148143, 145, 1473eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . 11 substr concat substr concat
149 ccatopth 11462 . . . . . . . . . . 11 substr concat Word substr Word substr concat Word substr Word substr concat substr concat substr concat concat substr substr concat concat substr substr concat substr concat substr substr
150120, 123, 129, 132, 148, 149syl221anc 1193 . . . . . . . . . 10 substr concat concat substr substr concat concat substr substr concat substr concat substr substr
151114, 150mpbid 201 . . . . . . . . 9 substr concat substr concat substr substr
152151simpld 445 . . . . . . . 8 substr concat substr concat
153 ccatopth 11462 . . . . . . . . 9 substr Word Word substr Word Word substr substr substr concat substr concat substr substr
154117, 118, 126, 127, 138, 153syl221anc 1193 . . . . . . . 8 substr concat substr concat substr substr
155152, 154mpbid 201 . . . . . . 7 substr substr
156155simpld 445 . . . . . 6 substr substr
157151simprd 449 . . . . . 6 substr substr
158156, 157oveq12d 5876 . . . . 5 substr concat substr substr concat substr
15991, 158mtand 640 . . . 4
160159pm2.21d 98 . . 3
161 uzp1 10261 . . . 4
16293s1cld 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word
163 ccatcl 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 substr Word Word substr concat Word
164116, 162, 163syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 substr concat Word
16598s1cld 11442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word
166 ccatass 11436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 substr concat Word Word substr Word substr concat concat concat substr substr concat concat concat substr
167164, 165, 122, 166syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15 substr concat concat concat substr substr concat concat concat substr
168 ccatass 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 substr Word Word Word substr concat concat substr concat concat
169116, 162, 165, 168syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 substr concat concat substr concat concat
170 df-s2 11498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 concat
171170oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 substr concat substr concat concat
172169, 171syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 substr concat concat substr concat
173172oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 substr concat concat concat substr substr concat concat substr
174104s1cld 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word
175108s1cld 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word
176 ccatass 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 substr Word Word Word substr concat concat substr concat concat
177125, 174, 175, 176syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 substr concat concat substr concat concat
178 df-s2 11498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 concat
179178oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 substr concat substr concat concat
180177, 179syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 substr concat concat substr concat
181180oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 substr concat concat concat substr substr concat concat substr
182113, 173, 1813eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . 15 substr concat concat concat substr substr concat concat concat substr
183167, 182eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . 14 substr concat concat concat substr substr concat concat concat substr
184183adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13 substr concat concat concat substr substr concat concat concat substr
185164adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 substr concat Word
186165adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
187122adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 substr Word
188 ccatcl 11429 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word substr Word concat substr Word
189186, 187, 188syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14 concat substr Word
190 ccatcl 11429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 substr Word Word substr concat Word
191125, 174, 190syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 substr concat Word
192191adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 substr concat Word
193175adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
194 ccatcl 11429 . . . . . . . . . . . . . . 15 substr concat Word Word substr concat concat Word
195192, 193, 194syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14 substr concat concat Word
196131adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14 substr Word
197 ccatlen 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 substr Word Word substr concat substr
198125, 174, 197syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 substr concat substr
199 s1len 11444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
200199a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
201136, 200oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 substr
202198, 201eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 substr concat
203134, 202eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 substr substr concat
204203biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 substr substr concat
205 s1len 11444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
206 s1len 11444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
207205, 206eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
208207a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
209204, 208oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15 substr substr concat
210116adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 substr Word
211162adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word
212 ccatlen 11430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 substr Word Word substr concat substr
213210, 211, 212syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 substr concat substr
214 ccatlen 11430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 substr concat Word Word substr concat concat substr concat
215192, 193, 214syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 substr concat concat substr concat
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217 ccatopth 11462 . . . . . . . . . . . . . 14 substr concat Word concat substr Word substr concat concat Word substr Word substr concat substr concat concat substr concat concat concat substr substr concat concat concat substr substr concat substr concat concat concat substr substr
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221 ccatopth 11462 . . . . . . . . . . . 12 substr Word Word substr concat Word Word substr substr concat substr concat substr concat concat substr substr concat
222210, 211, 192, 193, 204, 221syl221anc 1193 . . . . . . . . . . 11 substr concat substr concat concat substr substr concat
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