Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlemd Unicode version

Theorem efgredlemd 15069
 Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 15056 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
efgred.d
efgred.s Word ..^
efgredlem.1
efgredlem.2
efgredlem.3
efgredlem.4
efgredlem.5
efgredlemb.k
efgredlemb.l
efgredlemb.p
efgredlemb.q
efgredlemb.u
efgredlemb.v
efgredlemb.6
efgredlemb.7
efgredlemb.8
efgredlemd.9
efgredlemd.c
efgredlemd.sc substr concat substr
Assertion
Ref Expression
efgredlemd
Distinct variable groups:   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,   ,,,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,   ,,,,,,,,,,,   ,,   ,,,,,,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,)   (,,,,,)   ()   (,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,)   (,,,,,)

Proof of Theorem efgredlemd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlemd.c . . . . . . 7
2 efgval.w . . . . . . . . 9 Word
3 efgval.r . . . . . . . . 9 ~FG
4 efgval2.m . . . . . . . . 9
5 efgval2.t . . . . . . . . 9 splice
6 efgred.d . . . . . . . . 9
7 efgred.s . . . . . . . . 9 Word ..^
82, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 15055 . . . . . . . 8 Word ..^
98simp1bi 970 . . . . . . 7 Word
101, 9syl 15 . . . . . 6 Word
11 eldifi 3311 . . . . . 6 Word Word
1210, 11syl 15 . . . . 5 Word
13 efgredlem.2 . . . . . . . . . 10
142, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 15055 . . . . . . . . . . 11 Word ..^
1514simp1bi 970 . . . . . . . . . 10 Word
1613, 15syl 15 . . . . . . . . 9 Word
17 eldifi 3311 . . . . . . . . 9 Word Word
1816, 17syl 15 . . . . . . . 8 Word
19 wrdf 11435 . . . . . . . 8 Word ..^
2018, 19syl 15 . . . . . . 7 ..^
21 fzossfz 10908 . . . . . . . . 9 ..^
22 lencl 11437 . . . . . . . . . . . 12 Word
2318, 22syl 15 . . . . . . . . . . 11
2423nn0zd 10131 . . . . . . . . . 10
25 fzoval 10892 . . . . . . . . . 10 ..^
2624, 25syl 15 . . . . . . . . 9 ..^
2721, 26syl5sseqr 3240 . . . . . . . 8 ..^ ..^
28 efgredlemb.k . . . . . . . . 9
29 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . 12
30 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . 12
31 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . 12
32 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . 12
332, 3, 4, 5, 6, 7, 29, 13, 30, 31, 32efgredlema 15065 . . . . . . . . . . 11
3433simpld 445 . . . . . . . . . 10
35 fzo0end 10931 . . . . . . . . . 10 ..^
3634, 35syl 15 . . . . . . . . 9 ..^
3728, 36syl5eqel 2380 . . . . . . . 8 ..^
3827, 37sseldd 3194 . . . . . . 7 ..^
39 ffvelrn 5679 . . . . . . 7 ..^ ..^
4020, 38, 39syl2anc 642 . . . . . 6
4140s1cld 11458 . . . . 5 Word
42 eldifsn 3762 . . . . . . . 8 Word Word
43 lennncl 11438 . . . . . . . 8 Word
4442, 43sylbi 187 . . . . . . 7 Word
4510, 44syl 15 . . . . . 6
46 lbfzo0 10919 . . . . . 6 ..^
4745, 46sylibr 203 . . . . 5 ..^
48 ccatval1 11447 . . . . 5 Word Word ..^ concat
4912, 41, 47, 48syl3anc 1182 . . . 4 concat
502, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 15055 . . . . . . . . . . 11 Word ..^
5150simp1bi 970 . . . . . . . . . 10 Word
5230, 51syl 15 . . . . . . . . 9 Word
53 eldifi 3311 . . . . . . . . 9 Word Word
5452, 53syl 15 . . . . . . . 8 Word
55 wrdf 11435 . . . . . . . 8 Word ..^
5654, 55syl 15 . . . . . . 7 ..^
57 fzossfz 10908 . . . . . . . . 9 ..^
58 lencl 11437 . . . . . . . . . . . 12 Word
5954, 58syl 15 . . . . . . . . . . 11
6059nn0zd 10131 . . . . . . . . . 10
61 fzoval 10892 . . . . . . . . . 10 ..^
6260, 61syl 15 . . . . . . . . 9 ..^
6357, 62syl5sseqr 3240 . . . . . . . 8 ..^ ..^
64 efgredlemb.l . . . . . . . . 9
6533simprd 449 . . . . . . . . . 10
66 fzo0end 10931 . . . . . . . . . 10 ..^
6765, 66syl 15 . . . . . . . . 9 ..^
6864, 67syl5eqel 2380 . . . . . . . 8 ..^
6963, 68sseldd 3194 . . . . . . 7 ..^
70 ffvelrn 5679 . . . . . . 7 ..^ ..^
7156, 69, 70syl2anc 642 . . . . . 6
7271s1cld 11458 . . . . 5 Word
73 ccatval1 11447 . . . . 5 Word Word ..^ concat
7412, 72, 47, 73syl3anc 1182 . . . 4 concat
7549, 74eqtr4d 2331 . . 3 concat concat
76 fviss 5596 . . . . . . . . . 10 Word Word
772, 76eqsstri 3221 . . . . . . . . 9 Word
7877, 40sseldi 3191 . . . . . . . 8 Word
79 lencl 11437 . . . . . . . 8 Word
8078, 79syl 15 . . . . . . 7
8180nn0red 10035 . . . . . 6
82 2rp 10375 . . . . . 6
83 ltaddrp 10402 . . . . . 6
8481, 82, 83sylancl 643 . . . . 5
8523nn0red 10035 . . . . . . . . . . 11
8685lem1d 9706 . . . . . . . . . 10
87 fznn 10868 . . . . . . . . . . 11
8824, 87syl 15 . . . . . . . . . 10
8934, 86, 88mpbir2and 888 . . . . . . . . 9
902, 3, 4, 5, 6, 7efgsres 15063 . . . . . . . . 9 ..^
9113, 89, 90syl2anc 642 . . . . . . . 8 ..^
922, 3, 4, 5, 6, 7efgsval 15056 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
9391, 92syl 15 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
94 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9694, 95eleqtri 2368 . . . . . . . . . . . . . . 15
97 fzss1 10846 . . . . . . . . . . . . . . 15
9896, 97ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
9998, 89sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13
100 swrd0val 11470 . . . . . . . . . . . . 13 Word substr ..^
10118, 99, 100syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 substr ..^
102101fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11 substr ..^
103 swrd0len 11471 . . . . . . . . . . . 12 Word substr
10418, 99, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 substr
105102, 104eqtr3d 2330 . . . . . . . . . 10 ..^
106105oveq1d 5889 . . . . . . . . 9 ..^
107106, 28syl6eqr 2346 . . . . . . . 8 ..^
108107fveq2d 5545 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
109 fvres 5558 . . . . . . . 8 ..^ ..^
11037, 109syl 15 . . . . . . 7 ..^
11193, 108, 1103eqtrd 2332 . . . . . 6 ..^
112111fveq2d 5545 . . . . 5 ..^
1132, 3, 4, 5, 6, 7efgsdmi 15057 . . . . . . . 8
11413, 34, 113syl2anc 642 . . . . . . 7
11528fveq2i 5544 . . . . . . . . 9
116115fveq2i 5544 . . . . . . . 8
117116rneqi 4921 . . . . . . 7
118114, 117syl6eleqr 2387 . . . . . 6
1192, 3, 4, 5efgtlen 15051 . . . . . 6
12040, 118, 119syl2anc 642 . . . . 5
12184, 112, 1203brtr4d 4069 . . . 4 ..^
122 efgredlemb.p . . . . . . . . 9
123 efgredlemb.q . . . . . . . . 9
124 efgredlemb.u . . . . . . . . 9
125 efgredlemb.v . . . . . . . . 9
126 efgredlemb.6 . . . . . . . . 9
127 efgredlemb.7 . . . . . . . . 9
128 efgredlemb.8 . . . . . . . . 9
129 efgredlemd.9 . . . . . . . . 9
130 efgredlemd.sc . . . . . . . . 9 substr concat substr
1312, 3, 4, 5, 6, 7, 29, 13, 30, 31, 32, 28, 64, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 1, 130efgredleme 15068 . . . . . . . 8
132131simpld 445 . . . . . . 7
1332, 3, 4, 5, 6, 7efgsp1 15062 . . . . . . 7 concat
1341, 132, 133syl2anc 642 . . . . . 6 concat
1352, 3, 4, 5, 6, 7efgsval2 15058 . . . . . 6 Word concat concat
13612, 40, 134, 135syl3anc 1182 . . . . 5 concat
137111, 136eqtr4d 2331 . . . 4 ..^ concat
138 fveq2 5541 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
139138fveq2d 5545 . . . . . . . 8 ..^ ..^
140139breq1d 4049 . . . . . . 7 ..^ ..^
141138eqeq1d 2304 . . . . . . . 8 ..^ ..^
142 fveq1 5540 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
143142eqeq1d 2304 . . . . . . . 8 ..^ ..^
144141, 143imbi12d 311 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
145140, 144imbi12d 311 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^
146 fveq2 5541 . . . . . . . . 9 concat concat
147146eqeq2d 2307 . . . . . . . 8 concat ..^ ..^ concat
148 fveq1 5540 . . . . . . . . 9 concat concat
149148eqeq2d 2307 . . . . . . . 8 concat ..^ ..^ concat
150147, 149imbi12d 311 . . . . . . 7 concat ..^ ..^ ..^ concat ..^ concat
151150imbi2d 307 . . . . . 6 concat ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ concat ..^ concat
152145, 151rspc2va 2904 . . . . 5 ..^ concat ..^ ..^ concat ..^ concat
15391, 134, 29, 152syl21anc 1181 . . . 4 ..^ ..^ concat ..^ concat
154121, 137, 153mp2d 41 . . 3 ..^ concat
15577, 71sseldi 3191 . . . . . . . 8 Word
156 lencl 11437 . . . . . . . 8 Word
157155, 156syl 15 . . . . . . 7
158157nn0red 10035 . . . . . 6
159 ltaddrp 10402 . . . . . 6
160158, 82, 159sylancl 643 . . . . 5
16159nn0red 10035 . . . . . . . . . . 11
162161lem1d 9706 . . . . . . . . . 10
163 fznn 10868 . . . . . . . . . . 11
16460, 163syl 15 . . . . . . . . . 10
16565, 162, 164mpbir2and 888 . . . . . . . . 9
1662, 3, 4, 5, 6, 7efgsres 15063 . . . . . . . . 9 ..^
16730, 165, 166syl2anc 642 . . . . . . . 8 ..^
1682, 3, 4, 5, 6, 7efgsval 15056 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
169167, 168syl 15 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
170 fzss1 10846 . . . . . . . . . . . . . . 15
17196, 170ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
172171, 165sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13
173 swrd0val 11470 . . . . . . . . . . . . 13 Word substr ..^
17454, 172, 173syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12 substr ..^
175174fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11 substr ..^
176 swrd0len 11471 . . . . . . . . . . . 12 Word substr
17754, 172, 176syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 substr
178175, 177eqtr3d 2330 . . . . . . . . . 10 ..^
179178oveq1d 5889 . . . . . . . . 9 ..^
180179, 64syl6eqr 2346 . . . . . . . 8 ..^
181180fveq2d 5545 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
182 fvres 5558 . . . . . . . 8 ..^ ..^
18368, 182syl 15 . . . . . . 7 ..^
184169, 181, 1833eqtrd 2332 . . . . . 6 ..^
185184fveq2d 5545 . . . . 5 ..^
1862, 3, 4, 5, 6, 7efgsdmi 15057 . . . . . . . . 9
18730, 65, 186syl2anc 642 . . . . . . . 8
18831, 187eqeltrd 2370 . . . . . . 7
18964fveq2i 5544 . . . . . . . . 9
190189fveq2i 5544 . . . . . . . 8
191190rneqi 4921 . . . . . . 7
192188, 191syl6eleqr 2387 . . . . . 6
1932, 3, 4, 5efgtlen 15051 . . . . . 6
19471, 192, 193syl2anc 642 . . . . 5
195160, 185, 1943brtr4d 4069 . . . 4 ..^
196131simprd 449 . . . . . . 7
1972, 3, 4, 5, 6, 7efgsp1 15062 . . . . . . 7 concat
1981, 196, 197syl2anc 642 . . . . . 6 concat
1992, 3, 4, 5, 6, 7efgsval2 15058 . . . . . 6 Word concat concat
20012, 71, 198, 199syl3anc 1182 . . . . 5 concat
201184, 200eqtr4d 2331 . . . 4 ..^ concat
202 fveq2 5541 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
203202fveq2d 5545 . . . . . . . 8 ..^ ..^
204203breq1d 4049 . . . . . . 7 ..^ ..^
205202eqeq1d 2304 . . . . . . . 8 ..^ ..^
206 fveq1 5540 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
207206eqeq1d 2304 . . . . . . . 8 ..^ ..^
208205, 207imbi12d 311 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^
209204, 208imbi12d 311 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^ ..^
210 fveq2 5541 . . . . . . . . 9 concat concat
211210eqeq2d 2307 . . . . . . . 8 concat ..^ ..^ concat
212 fveq1 5540 . . . . . . . . 9 concat concat
213212eqeq2d 2307 . . . . . . . 8 concat ..^ ..^ concat
214211, 213imbi12d 311 . . . . . . 7 concat ..^ ..^ ..^ concat ..^ concat
215214imbi2d 307 . . . . . 6 concat ..^ ..^ ..^ ..^ ..^ concat ..^ concat
216209, 215rspc2va 2904 . . . . 5 ..^ concat ..^ ..^ concat ..^ concat
217167, 198, 29, 216syl21anc 1181 . . . 4 ..^ ..^ concat ..^ concat
218195, 201, 217mp2d 41 . . 3 ..^ concat
21975, 154, 2183eqtr4d 2338 . 2 ..^ ..^
220 lbfzo0 10919 . . . 4 ..^
22134, 220sylibr 203 . . 3 ..^
222 fvres 5558 . . 3 ..^ ..^
223221, 222syl 15 . 2 ..^
224 lbfzo0 10919 . . . 4 ..^
22565, 224sylibr 203 . . 3 ..^
226 fvres 5558 . . 3 ..^ ..^
227225, 226syl 15 . 2 ..^
228219, 223, 2273eqtr3d 2336 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  crab 2560   cdif 3162   wss 3165  c0 3468  csn 3653  cop 3656  cotp 3657  ciun 3921   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cid 4320   cxp 4703   cdm 4705   crn 4706   cres 4707  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  c1o 6488  c2o 6489  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cn 9762  c2 9811  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  crp 10370  cfz 10798  ..^cfzo 10886  chash 11353  Word cword 11419   concat cconcat 11420  cs1 11421   substr csubstr 11422   splice csplice 11423  cs2 11507   ~FG cefg 15031 This theorem is referenced by:  efgredlemc  15070 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-hash 11354  df-word 11425  df-concat 11426  df-s1 11427  df-substr 11428  df-splice 11429  df-s2 11514
 Copyright terms: Public domain W3C validator