Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgrelexlema Structured version   Unicode version

Theorem efgrelexlema 15381
 Description: If two words are related under the free group equivalence, then there exist two extension sequences such that ends at , ends at , and and have the same starting point. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
efgred.d
efgred.s Word ..^
efgrelexlem.1
Assertion
Ref Expression
efgrelexlema
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,   ,,   ,,,,,,   ,,,,,,,,,,,   ,,,,,,,,,   ,,,   ,,,,,,,,,,,,   ,,,,,,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,,,,,,,,,   ,,,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,,,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,,)   (,)   (,,,,,,,,,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem efgrelexlema
StepHypRef Expression
1 efgrelexlem.1 . . . 4
21relopabi 5000 . . 3
3 brrelex12 4915 . . 3
42, 3mpan 652 . 2
5 n0i 3633 . . . . . 6
6 snprc 3871 . . . . . . . 8
7 imaeq2 5199 . . . . . . . 8
86, 7sylbi 188 . . . . . . 7
9 ima0 5221 . . . . . . 7
108, 9syl6eq 2484 . . . . . 6
115, 10nsyl2 121 . . . . 5
12 n0i 3633 . . . . . 6
13 snprc 3871 . . . . . . . 8
14 imaeq2 5199 . . . . . . . 8
1513, 14sylbi 188 . . . . . . 7
1615, 9syl6eq 2484 . . . . . 6
1712, 16nsyl2 121 . . . . 5
1811, 17anim12i 550 . . . 4
1918a1d 23 . . 3
2019rexlimivv 2835 . 2
21 fveq1 5727 . . . . . 6
2221eqeq1d 2444 . . . . 5
23 fveq1 5727 . . . . . 6
2423eqeq2d 2447 . . . . 5
2522, 24cbvrex2v 2941 . . . 4
26 sneq 3825 . . . . . 6
2726imaeq2d 5203 . . . . 5
2827rexeqdv 2911 . . . 4
2925, 28syl5bb 249 . . 3
30 sneq 3825 . . . . . 6
3130imaeq2d 5203 . . . . 5
3231rexeqdv 2911 . . . 4
3332rexbidv 2726 . . 3
3429, 33, 1brabg 4474 . 2
354, 20, 34pm5.21nii 343 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706  crab 2709  cvv 2956   cdif 3317  c0 3628  csn 3814  cop 3817  cotp 3818  ciun 4093   class class class wbr 4212  copab 4265   cmpt 4266   cid 4493   cxp 4876  ccnv 4877   crn 4879  cima 4881   wrel 4883  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  c1o 6717  c2o 6718  cc0 8990  c1 8991   cmin 9291  cfz 11043  ..^cfzo 11135  chash 11618  Word cword 11717   splice csplice 11721  cs2 11805   ~FG cefg 15338 This theorem is referenced by:  efgrelexlemb  15382  efgrelex  15383 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fv 5462
 Copyright terms: Public domain W3C validator