MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsf Structured version   Unicode version

Theorem efgsf 15392
Description: Value of the auxiliary function  S defining a sequence of extensions starting at some irreducible word. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efgsf  |-  S : { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) } --> W
Distinct variable groups:    y, z    t, n, v, w, y, z, m, x    m, M    x, n, M, t, v, w    k, m, t, x, T    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , m, t, x, y, z    m, I, n, t, v, w, x, y, z    D, m, t
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y,
z, w, v, n)    I( k)    M( y, z, k)

Proof of Theorem efgsf
StepHypRef Expression
1 id 21 . . . . . 6  |-  ( m  =  t  ->  m  =  t )
2 fveq2 5757 . . . . . . 7  |-  ( m  =  t  ->  ( # `
 m )  =  ( # `  t
) )
32oveq1d 6125 . . . . . 6  |-  ( m  =  t  ->  (
( # `  m )  -  1 )  =  ( ( # `  t
)  -  1 ) )
41, 3fveq12d 5763 . . . . 5  |-  ( m  =  t  ->  (
m `  ( ( # `
 m )  - 
1 ) )  =  ( t `  (
( # `  t )  -  1 ) ) )
54eleq1d 2508 . . . 4  |-  ( m  =  t  ->  (
( m `  (
( # `  m )  -  1 ) )  e.  W  <->  ( t `  ( ( # `  t
)  -  1 ) )  e.  W ) )
65ralrab2 3106 . . 3  |-  ( A. m  e.  { t  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  |  ( ( t `  0
)  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) }  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) )  e.  W  <->  A. t  e.  (Word  W  \  { (/)
} ) ( ( ( t `  0
)  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( t `  (
( # `  t )  -  1 ) )  e.  W ) )
7 eldifi 3455 . . . . . 6  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
t  e. Word  W )
8 wrdf 11764 . . . . . 6  |-  ( t  e. Word  W  ->  t : ( 0..^ (
# `  t )
) --> W )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
t : ( 0..^ ( # `  t
) ) --> W )
10 eldifsn 3951 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  <->  ( t  e. Word  W  /\  t  =/=  (/) ) )
11 lennncl 11767 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e. Word  W  /\  t  =/=  (/) )  ->  ( # `
 t )  e.  NN )
1210, 11sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( # `  t )  e.  NN )
13 fzo0end 11219 . . . . . 6  |-  ( (
# `  t )  e.  NN  ->  ( ( # `
 t )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  t
) ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( ( # `  t
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  t )
) )
159, 14ffvelrnd 5900 . . . 4  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( t `  (
( # `  t )  -  1 ) )  e.  W )
1615a1d 24 . . 3  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( t `  ( ( # `  t
)  -  1 ) )  e.  W ) )
176, 16mprgbir 2782 . 2  |-  A. m  e.  { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) }  ( m `  ( ( # `  m
)  -  1 ) )  e.  W
18 efgred.s . . 3  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
1918fmpt 5919 . 2  |-  ( A. m  e.  { t  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  |  ( ( t `  0
)  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) }  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) )  e.  W  <->  S : { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) } --> W )
2017, 19mpbi 201 1  |-  S : { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) } --> W
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727    =/= wne 2605   A.wral 2711   {crab 2715    \ cdif 3303   (/)c0 3613   {csn 3838   <.cop 3841   <.cotp 3842   U_ciun 4117    e. cmpt 4291    _I cid 4522    X. cxp 4905   ran crn 4908   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112   1oc1o 6746   2oc2o 6747   0cc0 9021   1c1 9022    - cmin 9322   NNcn 10031   ...cfz 11074  ..^cfzo 11166   #chash 11649  Word cword 11748   splice csplice 11752   <"cs2 11836   ~FG cefg 15369
This theorem is referenced by:  efgsdm  15393  efgsval  15394  efgsp1  15400  efgsfo  15402  efgredleme  15406  efgred  15411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-hash 11650  df-word 11754
  Copyright terms: Public domain W3C validator