MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsf Unicode version

Theorem efgsf 15137
Description: Value of the auxiliary function  S defining a sequence of extensions starting at some irreducible word. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efgsf  |-  S : { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) } --> W
Distinct variable groups:    y, z    t, n, v, w, y, z, m, x    m, M    x, n, M, t, v, w    k, m, t, x, T    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , m, t, x, y, z    m, I, n, t, v, w, x, y, z    D, m, t
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y,
z, w, v, n)    I( k)    M( y, z, k)

Proof of Theorem efgsf
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . . . 6  |-  ( m  =  t  ->  m  =  t )
2 fveq2 5608 . . . . . . 7  |-  ( m  =  t  ->  ( # `
 m )  =  ( # `  t
) )
32oveq1d 5960 . . . . . 6  |-  ( m  =  t  ->  (
( # `  m )  -  1 )  =  ( ( # `  t
)  -  1 ) )
41, 3fveq12d 5614 . . . . 5  |-  ( m  =  t  ->  (
m `  ( ( # `
 m )  - 
1 ) )  =  ( t `  (
( # `  t )  -  1 ) ) )
54eleq1d 2424 . . . 4  |-  ( m  =  t  ->  (
( m `  (
( # `  m )  -  1 ) )  e.  W  <->  ( t `  ( ( # `  t
)  -  1 ) )  e.  W ) )
65ralrab2 3007 . . 3  |-  ( A. m  e.  { t  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  |  ( ( t `  0
)  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) }  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) )  e.  W  <->  A. t  e.  (Word  W  \  { (/)
} ) ( ( ( t `  0
)  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) )  -> 
( t `  (
( # `  t )  -  1 ) )  e.  W ) )
7 eldifi 3374 . . . . . 6  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
t  e. Word  W )
8 wrdf 11515 . . . . . 6  |-  ( t  e. Word  W  ->  t : ( 0..^ (
# `  t )
) --> W )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
t : ( 0..^ ( # `  t
) ) --> W )
10 eldifsn 3825 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  <->  ( t  e. Word  W  /\  t  =/=  (/) ) )
11 lennncl 11518 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e. Word  W  /\  t  =/=  (/) )  ->  ( # `
 t )  e.  NN )
1210, 11sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( # `  t )  e.  NN )
13 fzo0end 11007 . . . . . 6  |-  ( (
# `  t )  e.  NN  ->  ( ( # `
 t )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  t
) ) )
1412, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( ( # `  t
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  t )
) )
15 ffvelrn 5746 . . . . 5  |-  ( ( t : ( 0..^ ( # `  t
) ) --> W  /\  ( ( # `  t
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  t )
) )  ->  (
t `  ( ( # `
 t )  - 
1 ) )  e.  W )
169, 14, 15syl2anc 642 . . . 4  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( t `  (
( # `  t )  -  1 ) )  e.  W )
1716a1d 22 . . 3  |-  ( t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) )  ->  ( t `  ( ( # `  t
)  -  1 ) )  e.  W ) )
186, 17mprgbir 2689 . 2  |-  A. m  e.  { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) }  ( m `  ( ( # `  m
)  -  1 ) )  e.  W
19 efgred.s . . 3  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
2019fmpt 5764 . 2  |-  ( A. m  e.  { t  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  |  ( ( t `  0
)  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) }  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) )  e.  W  <->  S : { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) } --> W )
2118, 20mpbi 199 1  |-  S : { t  e.  (Word 
W  \  { (/) } )  |  ( ( t `
 0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t ) ) ( t `  k )  e.  ran  ( T `
 ( t `  ( k  -  1 ) ) ) ) } --> W
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   {crab 2623    \ cdif 3225   (/)c0 3531   {csn 3716   <.cop 3719   <.cotp 3720   U_ciun 3986    e. cmpt 4158    _I cid 4386    X. cxp 4769   ran crn 4772   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    e. cmpt2 5947   1oc1o 6559   2oc2o 6560   0cc0 8827   1c1 8828    - cmin 9127   NNcn 9836   ...cfz 10874  ..^cfzo 10962   #chash 11430  Word cword 11499   splice csplice 11503   <"cs2 11587   ~FG cefg 15114
This theorem is referenced by:  efgsdm  15138  efgsval  15139  efgsp1  15145  efgsfo  15147  efgredleme  15151  efgred  15156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-hash 11431  df-word 11505
  Copyright terms: Public domain W3C validator