Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsp1 Unicode version

Theorem efgsp1 15062
 Description: If is an extension sequence and is an extension of the last element of , then is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w Word
efgval.r ~FG
efgval2.m
efgval2.t splice
efgred.d
efgred.s Word ..^
Assertion
Ref Expression
efgsp1 concat
Distinct variable groups:   ,   ,,,,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,,,,,,)   (,,,,,,)   (,,,)   (,,,,,,,,)   (,,,,)   (,,,,,,,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem efgsp1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . 8 Word
2 efgval.r . . . . . . . 8 ~FG
3 efgval2.m . . . . . . . 8
4 efgval2.t . . . . . . . 8 splice
5 efgred.d . . . . . . . 8
6 efgred.s . . . . . . . 8 Word ..^
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 15055 . . . . . . 7 Word ..^
87simp1bi 970 . . . . . 6 Word
98adantr 451 . . . . 5 Word
10 eldifi 3311 . . . . 5 Word Word
119, 10syl 15 . . . 4 Word
121, 2, 3, 4, 5, 6efgsf 15054 . . . . . . . . . . . 12 Word ..^
1312fdmi 5410 . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^
1413feq2i 5400 . . . . . . . . . . . 12 Word ..^
1512, 14mpbir 200 . . . . . . . . . . 11
1615ffvelrni 5680 . . . . . . . . . 10
1716adantr 451 . . . . . . . . 9
181, 2, 3, 4efgtf 15047 . . . . . . . . 9 splice
1917, 18syl 15 . . . . . . . 8 splice
2019simprd 449 . . . . . . 7
21 frn 5411 . . . . . . 7
2220, 21syl 15 . . . . . 6
23 simpr 447 . . . . . 6
2422, 23sseldd 3194 . . . . 5
2524s1cld 11458 . . . 4 Word
26 ccatcl 11445 . . . 4 Word Word concat Word
2711, 25, 26syl2anc 642 . . 3 concat Word
28 ccatlen 11446 . . . . . . 7 Word Word concat
2911, 25, 28syl2anc 642 . . . . . 6 concat
30 s1len 11460 . . . . . . 7
3130oveq2i 5885 . . . . . 6
3229, 31syl6eq 2344 . . . . 5 concat
33 lencl 11437 . . . . . . 7 Word
3411, 33syl 15 . . . . . 6
35 nn0p1nn 10019 . . . . . 6
3634, 35syl 15 . . . . 5
3732, 36eqeltrd 2370 . . . 4 concat
38 wrdfin 11436 . . . . . 6 concat Word concat
3927, 38syl 15 . . . . 5 concat
40 hashnncl 11370 . . . . 5 concat concat concat
4139, 40syl 15 . . . 4 concat concat
4237, 41mpbid 201 . . 3 concat
43 eldifsn 3762 . . 3 concat Word concat Word concat
4427, 42, 43sylanbrc 645 . 2 concat Word
45 eldifsni 3763 . . . . . . 7 Word
469, 45syl 15 . . . . . 6
47 wrdfin 11436 . . . . . . . 8 Word
4811, 47syl 15 . . . . . . 7
49 hashnncl 11370 . . . . . . 7
5048, 49syl 15 . . . . . 6
5146, 50mpbird 223 . . . . 5
52 lbfzo0 10919 . . . . 5 ..^
5351, 52sylibr 203 . . . 4 ..^
54 ccatval1 11447 . . . 4 Word Word ..^ concat
5511, 25, 53, 54syl3anc 1182 . . 3 concat
567simp2bi 971 . . . 4
5855, 57eqeltrd 2370 . 2 concat
597simp3bi 972 . . . . . 6 ..^
6059adantr 451 . . . . 5 ..^
61 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . . 13
62 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . . 13
6361, 62eleqtri 2368 . . . . . . . . . . . 12
64 fzoss1 10912 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
6665sseli 3189 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
67 ccatval1 11447 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^ concat
6866, 67syl3an3 1217 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ concat
69 elfzoel2 10890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
70 peano2zm 10078 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
7269zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
7372lem1d 9706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
74 eluz2 10252 . . . . . . . . . . . . . . 15
7571, 69, 73, 74syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
76 fzoss2 10913 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^ ..^
78 elfzoelz 10891 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
79 elfzom1b 10934 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
8078, 69, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^ ..^
8180ibi 232 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
8277, 81sseldd 3194 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
83 ccatval1 11447 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^ concat
8482, 83syl3an3 1217 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^ concat
8584fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^ concat
8685rneqd 4922 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ concat
8768, 86eleq12d 2364 . . . . . . . 8 Word Word ..^ concat concat
88873expa 1151 . . . . . . 7 Word Word ..^ concat concat
8988ralbidva 2572 . . . . . 6 Word Word ..^ concat concat ..^
9011, 25, 89syl2anc 642 . . . . 5 ..^ concat concat ..^
9160, 90mpbird 223 . . . 4 ..^ concat concat
9234nn0cnd 10036 . . . . . . . . 9
9392addid2d 9029 . . . . . . . 8
9493fveq2d 5545 . . . . . . 7 concat concat
95 1nn 9773 . . . . . . . . . . 11
9630, 95eqeltri 2366 . . . . . . . . . 10
9796a1i 10 . . . . . . . . 9
98 lbfzo0 10919 . . . . . . . . 9 ..^
9997, 98sylibr 203 . . . . . . . 8 ..^
100 ccatval3 11449 . . . . . . . 8 Word Word ..^ concat
10111, 25, 99, 100syl3anc 1182 . . . . . . 7 concat
10294, 101eqtr3d 2330 . . . . . 6 concat
103 s1fv 11462 . . . . . . . . 9
104103adantl 452 . . . . . . . 8
105 fzo0end 10931 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
10651, 105syl 15 . . . . . . . . . . . 12 ..^
107 ccatval1 11447 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^ concat
10811, 25, 106, 107syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11 concat
1091, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 15056 . . . . . . . . . . . 12
110109adantr 451 . . . . . . . . . . 11
111108, 110eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10 concat
112111fveq2d 5545 . . . . . . . . 9 concat
113112rneqd 4922 . . . . . . . 8 concat
114104, 113eleq12d 2364 . . . . . . 7 concat
11523, 114mpbird 223 . . . . . 6 concat
116102, 115eqeltrd 2370 . . . . 5 concat concat
117 fvex 5555 . . . . . 6
118 fveq2 5541 . . . . . . 7 concat concat
119 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10
120119fveq2d 5545 . . . . . . . . 9 concat concat
121120fveq2d 5545 . . . . . . . 8 concat concat
122121rneqd 4922 . . . . . . 7 concat concat
123118, 122eleq12d 2364 . . . . . 6 concat concat concat concat
124117, 123ralsn 3687 . . . . 5 concat concat concat concat
125116, 124sylibr 203 . . . 4 concat concat
126 ralunb 3369 . . . 4 ..^ concat concat ..^ concat concat concat concat
12791, 125, 126sylanbrc 645 . . 3 ..^ concat concat
12832oveq2d 5890 . . . . 5 ..^ concat ..^
129 nnuz 10279 . . . . . . 7
13051, 129syl6eleq 2386 . . . . . 6
131 fzosplitsn 10936 . . . . . 6 ..^ ..^
132130, 131syl 15 . . . . 5 ..^ ..^
133128, 132eqtrd 2328 . . . 4 ..^ concat ..^
134133raleqdv 2755 . . 3 ..^ concat concat concat ..^ concat concat
135127, 134mpbird 223 . 2 ..^ concat concat concat
1361, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 15055 . 2 concat concat Word concat ..^ concat concat concat
13744, 58, 135, 136syl3anbrc 1136 1 concat
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  crab 2560   cdif 3162   cun 3163   wss 3165  c0 3468  csn 3653  cop 3656  cotp 3657  ciun 3921   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cid 4320   cxp 4703   cdm 4705   crn 4706  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  c1o 6488  c2o 6489  cfn 6879  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cle 8884   cmin 9053  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  cfz 10798  ..^cfzo 10886  chash 11353  Word cword 11419   concat cconcat 11420  cs1 11421   splice csplice 11423  cs2 11507   ~FG cefg 15031 This theorem is referenced by:  efgsfo  15064  efgredlemd  15069  efgrelexlemb  15075 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-hash 11354  df-word 11425  df-concat 11426  df-s1 11427  df-substr 11428  df-splice 11429  df-s2 11514
 Copyright terms: Public domain W3C validator