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Theorem efgsrel 15043
Description: The start and end of any extension sequence are related (i.e. evaluate to the same element of the quotient group to be created). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efgsrel  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( F `  0
)  .~  ( S `  F ) )
Distinct variable groups:    y, z    t, n, v, w, y, z, m, x    m, M    x, n, M, t, v, w    k, m, t, x, T    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , m, t, x, y, z    m, I, n, t, v, w, x, y, z    D, m, t
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y,
z, w, v, n)    F( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    I( k)    M( y, z, k)

Proof of Theorem efgsrel
Dummy variables  a 
i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . 6  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
2 efgval.r . . . . . 6  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
3 efgval2.m . . . . . 6  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
4 efgval2.t . . . . . 6  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
5 efgred.d . . . . . 6  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
6 efgred.s . . . . . 6  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 15039 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S  <->  ( F  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  /\  ( F `  0 )  e.  D  /\  A. a  e.  ( 1..^ ( # `  F ) ) ( F `  a )  e.  ran  ( T `
 ( F `  ( a  -  1 ) ) ) ) )
87simp1bi 970 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S  ->  F  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
9 eldifsn 3749 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Word  W  \  { (/) } )  <->  ( F  e. Word  W  /\  F  =/=  (/) ) )
10 lennncl 11422 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  W  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( # `
 F )  e.  NN )
119, 10sylbi 187 . . . 4  |-  ( F  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( # `  F )  e.  NN )
12 fzo0end 10915 . . . 4  |-  ( (
# `  F )  e.  NN  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
138, 11, 123syl 18 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( ( # `  F
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
) )
14 nnm1nn0 10005 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  e.  NN  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  NN0 )
158, 11, 143syl 18 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( ( # `  F
)  -  1 )  e.  NN0 )
16 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  <->  0  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )
17 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  ( F `  a )  =  ( F ` 
0 ) )
1817breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( F `  0
)  .~  ( F `  a )  <->  ( F `  0 )  .~  ( F `  0 ) ) )
1916, 18imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  a
) )  <->  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  0 ) ) ) )
2019imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( F  e.  dom  S  ->  ( a  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  a ) ) )  <-> 
( F  e.  dom  S  ->  ( 0  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  0 ) ) ) ) )
21 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( a  =  i  ->  (
a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )
22 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  i  ->  ( F `  a )  =  ( F `  i ) )
2322breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( a  =  i  ->  (
( F `  0
)  .~  ( F `  a )  <->  ( F `  0 )  .~  ( F `  i ) ) )
2421, 23imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( a  =  i  ->  (
( a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  a
) )  <->  ( i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  i ) ) ) )
2524imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( a  =  i  ->  (
( F  e.  dom  S  ->  ( a  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  a ) ) )  <-> 
( F  e.  dom  S  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  i ) ) ) ) )
26 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  (
a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  <->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
27 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
2827breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  (
( F `  0
)  .~  ( F `  a )  <->  ( F `  0 )  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
2926, 28imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  (
( a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  a
) )  <->  ( (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
3029imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  (
( F  e.  dom  S  ->  ( a  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  a ) ) )  <-> 
( F  e.  dom  S  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
31 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( a  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  <->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )
32 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
3332breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( ( F `  0 )  .~  ( F `  a
)  <->  ( F ` 
0 )  .~  ( F `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) ) ) )
3431, 33imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( (
a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  a
) )  <->  ( (
( # `  F )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) )
3534imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( ( F  e.  dom  S  -> 
( a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  a
) ) )  <->  ( F  e.  dom  S  ->  (
( ( # `  F
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) ) ) )
361, 2efger 15027 . . . . . . . 8  |-  .~  Er  W
3736a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  0  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) )  ->  .~  Er  W )
38 eldifi 3298 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Word  W  \  { (/) } )  ->  F  e. Word  W )
39 wrdf 11419 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. Word  W  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> W )
408, 38, 393syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> W )
41 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> W  /\  0  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  0
)  e.  W )
4240, 41sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  0  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  0
)  e.  W )
4337, 42erref 6680 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  0  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  0 ) )
4443ex 423 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( 0  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  0
) ) )
45 elnn0uz 10265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  NN0  <->  i  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
46 peano2fzor 10919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
4745, 46sylanb 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
48473adant1 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
49483expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )
5049imim1d 69 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( i  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  i ) )  ->  ( (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  i ) ) ) )
51403ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> W )
52 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : ( 0..^ ( # `  F
) ) --> W  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  i
)  e.  W )
5351, 48, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  i
)  e.  W )
54 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( i  +  1 )  e.  NN )
55543ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  NN )
56 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5755, 56syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
58 elfzolt2b 10885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( i  +  1 )  e.  ( ( i  +  1 )..^ ( # `  F ) ) )
59583ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( ( i  +  1 )..^ ( # `  F
) ) )
60 elfzo3 10890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( 1..^ (
# `  F )
)  <->  ( ( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( i  +  1 )  e.  ( ( i  +  1 )..^ ( # `  F
) ) ) )
6157, 59, 60sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( 1..^ ( # `  F
) ) )
627simp3bi 972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  dom  S  ->  A. a  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 a )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( a  -  1 ) ) ) )
63623ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  A. a  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 a )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( a  -  1 ) ) ) )
64 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  (
a  -  1 )  =  ( ( i  +  1 )  - 
1 ) )
6564fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  ( F `  ( a  -  1 ) )  =  ( F `  ( ( i  +  1 )  -  1 ) ) )
6665fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  ( T `  ( F `  ( a  -  1 ) ) )  =  ( T `  ( F `  ( (
i  +  1 )  -  1 ) ) ) )
6766rneqd 4906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  ran  ( T `  ( F `
 ( a  - 
1 ) ) )  =  ran  ( T `
 ( F `  ( ( i  +  1 )  -  1 ) ) ) )
6827, 67eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  (
( F `  a
)  e.  ran  ( T `  ( F `  ( a  -  1 ) ) )  <->  ( F `  ( i  +  1 ) )  e.  ran  ( T `  ( F `
 ( ( i  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
6968rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( 1..^ (
# `  F )
)  ->  ( A. a  e.  ( 1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 a )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( a  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( i  +  1 ) )  e.  ran  ( T `  ( F `
 ( ( i  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
7061, 63, 69sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  (
i  +  1 ) )  e.  ran  ( T `  ( F `  ( ( i  +  1 )  -  1 ) ) ) )
71 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  CC )
72713ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
i  e.  CC )
73 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
74 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( i  +  1 )  -  1 )  =  i )
7572, 73, 74sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( i  +  1 )  -  1 )  =  i )
7675fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  (
( i  +  1 )  -  1 ) )  =  ( F `
 i ) )
7776fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( T `  ( F `  ( (
i  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( T `
 ( F `  i ) ) )
7877rneqd 4906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  ran  ( T `  ( F `  ( (
i  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ran  ( T `  ( F `  i ) ) )
7970, 78eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  (
i  +  1 ) )  e.  ran  ( T `  ( F `  i ) ) )
801, 2, 3, 4efgi2 15034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  W  /\  ( F `  ( i  +  1 ) )  e.  ran  ( T `
 ( F `  i ) ) )  ->  ( F `  i )  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
8153, 79, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  i
)  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
8236a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  .~  Er  W )
8382ertr 6675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( ( F `
 0 )  .~  ( F `  i )  /\  ( F `  i )  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
8481, 83mpan2d 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F ` 
0 )  .~  ( F `  i )  ->  ( F `  0
)  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
85843expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( ( F ` 
0 )  .~  ( F `  i )  ->  ( F `  0
)  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
8685a2d 23 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  i ) )  ->  ( (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
8750, 86syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( i  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  i ) )  ->  ( (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
8887expcom 424 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( F  e.  dom  S  -> 
( ( i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  i ) )  -> 
( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
8988a2d 23 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( F  e.  dom  S  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  i
) ) )  -> 
( F  e.  dom  S  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
9020, 25, 30, 35, 44, 89nn0ind 10108 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( F  e.  dom  S  -> 
( ( ( # `  F )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ) ) )
9115, 90mpcom 32 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( ( ( # `  F )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ) )
9213, 91mpd 14 . 2  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )
931, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 15040 . 2  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( S `  F
)  =  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) )
9492, 93breqtrrd 4049 1  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( F `  0
)  .~  ( S `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547    \ cdif 3149   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   <.cotp 3644   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _I cid 4304    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1oc1o 6472   2oc2o 6473    Er wer 6657   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870   #chash 11337  Word cword 11403   splice csplice 11407   <"cs2 11491   ~FG cefg 15015
This theorem is referenced by:  efgredeu  15061  efgred2  15062
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-substr 11412  df-splice 11413  df-s2 11498  df-efg 15018
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