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Theorem efgsres 15063
Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efgsres  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e.  dom  S )
Distinct variable groups:    y, z    t, n, v, w, y, z, m, x    m, M    x, n, M, t, v, w    k, m, t, x, T    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , m, t, x, y, z    m, I, n, t, v, w, x, y, z    D, m, t
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y,
z, w, v, n)    F( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    I( k)    M( y, z, k)    N( x, y, z, w, v, t, k, m, n)

Proof of Theorem efgsres
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
2 efgval.r . . . . . . . . 9  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
3 efgval2.m . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
4 efgval2.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
5 efgred.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
6 efgred.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 15055 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S  <->  ( F  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  /\  ( F `  0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  F ) ) ( F `  i )  e.  ran  ( T `
 ( F `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
87simp1bi 970 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S  ->  F  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
98adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  F  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
10 eldifi 3311 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Word  W  \  { (/) } )  ->  F  e. Word  W )
119, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  F  e. Word  W )
12 1nn0 9997 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
13 nn0uz 10278 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1412, 13eleqtri 2368 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
15 fzss1 10846 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 1 ... ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) )
17 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  N  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
1816, 17sseldi 3191 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
19 swrd0val 11470 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )
2011, 18, 19syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )
21 swrdcl 11468 . . . . 5  |-  ( F  e. Word  W  ->  ( F substr  <. 0 ,  N >. )  e. Word  W )
2211, 21syl 15 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  e. Word  W
)
2320, 22eqeltrrd 2371 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e. Word  W )
24 swrd0len 11471 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. Word  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  =  N )
2511, 18, 24syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  =  N )
26 elfznn 10835 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  ->  N  e.  NN )
2726adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  N  e.  NN )
2825, 27eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  e.  NN )
29 wrdfin 11436 . . . . . . 7  |-  ( ( F substr  <. 0 ,  N >. )  e. Word  W  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  e.  Fin )
3022, 29syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  e.  Fin )
31 hashnncl 11370 . . . . . 6  |-  ( ( F substr  <. 0 ,  N >. )  e.  Fin  ->  ( ( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  e.  NN  <->  ( F substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) ) )
3230, 31syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  e.  NN  <->  ( F substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) ) )
3328, 32mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) )
3420, 33eqnetrrd 2479 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  =/=  (/) )
35 eldifsn 3762 . . 3  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  <->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e. Word  W  /\  ( F  |`  (
0..^ N ) )  =/=  (/) ) )
3623, 34, 35sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
37 lbfzo0 10919 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  <->  N  e.  NN )
3827, 37sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
0  e.  ( 0..^ N ) )
39 fvres 5558 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
4038, 39syl 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 0 )  =  ( F `  0
) )
417simp2bi 971 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( F `  0
)  e.  D )
4241adantr 451 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  0
)  e.  D )
4340, 42eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 0 )  e.  D )
44 elfzuz3 10811 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  ->  ( # `
 F )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4544adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  F )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
46 fzoss2 10913 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( 1..^ N ) 
C_  ( 1..^ (
# `  F )
) )
4745, 46syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( 1..^ N ) 
C_  ( 1..^ (
# `  F )
) )
487simp3bi 972 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S  ->  A. i  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
4948adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
50 ssralv 3250 . . . . 5  |-  ( ( 1..^ N )  C_  ( 1..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. i  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1..^ N ) ( F `  i
)  e.  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
5147, 49, 50sylc 56 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ N ) ( F `  i )  e.  ran  ( T `
 ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
52 fzoss1 10912 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1..^ N )  C_  (
0..^ N ) )
5314, 52ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ N )  C_  (
0..^ N )
5453sseli 3189 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ N ) )
55 fvres 5558 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i
)  =  ( F `
 i ) )
5654, 55syl 15 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i
)  =  ( F `
 i ) )
57 elfzoel2 10890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ZZ )
58 peano2zm 10078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
60 uzid 10258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
6157, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
6257zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  CC )
63 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
64 npcan 9076 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
6562, 63, 64sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
6665fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ZZ>= `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  N ) )
6761, 66eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) )
68 peano2uzr 10290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1
) ) )
6959, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
70 fzoss2 10913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  C_  (
0..^ N ) )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  C_  (
0..^ N ) )
72 elfzoelz 10891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  i  e.  ZZ )
73 elfzom1b 10934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ( 1..^ N )  <->  ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) ) )
7472, 57, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( i  e.  ( 1..^ N )  <-> 
( i  -  1 )  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) ) )
7574ibi 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )
7671, 75sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
77 fvres 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  (
i  -  1 ) )  =  ( F `
 ( i  - 
1 ) ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  (
i  -  1 ) )  =  ( F `
 ( i  - 
1 ) ) )
7978fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) )  =  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
8079rneqd 4922 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ran  ( T `
 ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  ( i  -  1 ) ) )  =  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
8156, 80eleq12d 2364 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( (
( F  |`  (
0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) )  <-> 
( F `  i
)  e.  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
8281ralbiia 2588 . . . 4  |-  ( A. i  e.  ( 1..^ N ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i )  e.  ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  ( i  -  1 ) ) )  <->  A. i  e.  ( 1..^ N ) ( F `  i
)  e.  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
8351, 82sylibr 203 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ N ) ( ( F  |`  (
0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) ) )
8420fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  =  ( # `  ( F  |`  (
0..^ N ) ) ) )
8584, 25eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )  =  N )
8685oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( 1..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( 1..^ N ) )
8786raleqdv 2755 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 1..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ N ) ) ) ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i )  e.  ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  ( i  -  1 ) ) )  <->  A. i  e.  ( 1..^ N ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) ) ) )
8883, 87mpbird 223 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) ) ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) ) )
891, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 15055 . 2  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e. 
dom  S  <->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e.  (Word  W  \  { (/) } )  /\  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ N ) ) ) ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i )  e.  ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
9036, 43, 88, 89syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e.  dom  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   <.cop 3656   <.cotp 3657   U_ciun 3921    e. cmpt 4093    _I cid 4320    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   1oc1o 6488   2oc2o 6489   Fincfn 6879   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    - cmin 9053   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886   #chash 11353  Word cword 11419   substr csubstr 11422   splice csplice 11423   <"cs2 11507   ~FG cefg 15031
This theorem is referenced by:  efgredlemd  15069  efgredlem  15072
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-hash 11354  df-word 11425  df-substr 11428
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