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Theorem efgsres 15370
Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efgsres  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e.  dom  S )
Distinct variable groups:    y, z    t, n, v, w, y, z, m, x    m, M    x, n, M, t, v, w    k, m, t, x, T    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , m, t, x, y, z    m, I, n, t, v, w, x, y, z    D, m, t
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y,
z, w, v, n)    F( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    I( k)    M( y, z, k)    N( x, y, z, w, v, t, k, m, n)

Proof of Theorem efgsres
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
2 efgval.r . . . . . . . . 9  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
3 efgval2.m . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
4 efgval2.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
5 efgred.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
6 efgred.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 15362 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S  <->  ( F  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  /\  ( F `  0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  F ) ) ( F `  i )  e.  ran  ( T `
 ( F `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
87simp1bi 972 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S  ->  F  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
98adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  F  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
109eldifad 3332 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  F  e. Word  W )
11 1nn0 10237 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
12 nn0uz 10520 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1311, 12eleqtri 2508 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
14 fzss1 11091 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) ) )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 1 ... ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) )
16 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  N  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
1715, 16sseldi 3346 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
18 swrd0val 11768 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )
1910, 17, 18syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )
20 swrdcl 11766 . . . . 5  |-  ( F  e. Word  W  ->  ( F substr  <. 0 ,  N >. )  e. Word  W )
2110, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  e. Word  W
)
2219, 21eqeltrrd 2511 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e. Word  W )
23 swrd0len 11769 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. Word  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  =  N )
2410, 17, 23syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  =  N )
25 elfznn 11080 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  ->  N  e.  NN )
2625adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  N  e.  NN )
2724, 26eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  e.  NN )
28 wrdfin 11734 . . . . . 6  |-  ( ( F substr  <. 0 ,  N >. )  e. Word  W  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  e.  Fin )
29 hashnncl 11645 . . . . . 6  |-  ( ( F substr  <. 0 ,  N >. )  e.  Fin  ->  ( ( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  e.  NN  <->  ( F substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) ) )
3021, 28, 293syl 19 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  e.  NN  <->  ( F substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) ) )
3127, 30mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) )
3219, 31eqnetrrd 2621 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  =/=  (/) )
33 eldifsn 3927 . . 3  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  <->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e. Word  W  /\  ( F  |`  (
0..^ N ) )  =/=  (/) ) )
3422, 32, 33sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
35 lbfzo0 11170 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  <->  N  e.  NN )
3626, 35sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
0  e.  ( 0..^ N ) )
37 fvres 5745 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
3836, 37syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 0 )  =  ( F `  0
) )
397simp2bi 973 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( F `  0
)  e.  D )
4039adantr 452 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  0
)  e.  D )
4138, 40eqeltrd 2510 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 0 )  e.  D )
42 elfzuz3 11056 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  ->  ( # `
 F )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4342adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  F )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
44 fzoss2 11163 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( 1..^ N ) 
C_  ( 1..^ (
# `  F )
) )
4543, 44syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( 1..^ N ) 
C_  ( 1..^ (
# `  F )
) )
467simp3bi 974 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S  ->  A. i  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
4746adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
48 ssralv 3407 . . . . 5  |-  ( ( 1..^ N )  C_  ( 1..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. i  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1..^ N ) ( F `  i
)  e.  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
4945, 47, 48sylc 58 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ N ) ( F `  i )  e.  ran  ( T `
 ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
50 fzoss1 11162 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1..^ N )  C_  (
0..^ N ) )
5113, 50ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ N )  C_  (
0..^ N )
5251sseli 3344 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ N ) )
53 fvres 5745 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i
)  =  ( F `
 i ) )
5452, 53syl 16 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i
)  =  ( F `
 i ) )
55 elfzoel2 11139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ZZ )
56 peano2zm 10320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
58 uzid 10500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5955, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
6055zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  CC )
61 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
62 npcan 9314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
6360, 61, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
6463fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ZZ>= `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  N ) )
6559, 64eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) )
66 peano2uzr 10532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1
) ) )
6757, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
68 fzoss2 11163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  C_  (
0..^ N ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  C_  (
0..^ N ) )
70 elfzoelz 11140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  i  e.  ZZ )
71 elfzom1b 11191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ( 1..^ N )  <->  ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) ) )
7270, 55, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( i  e.  ( 1..^ N )  <-> 
( i  -  1 )  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) ) )
7372ibi 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )
7469, 73sseldd 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
75 fvres 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  (
i  -  1 ) )  =  ( F `
 ( i  - 
1 ) ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  (
i  -  1 ) )  =  ( F `
 ( i  - 
1 ) ) )
7776fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) )  =  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
7877rneqd 5097 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ran  ( T `
 ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  ( i  -  1 ) ) )  =  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
7954, 78eleq12d 2504 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( (
( F  |`  (
0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) )  <-> 
( F `  i
)  e.  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
8079ralbiia 2737 . . . 4  |-  ( A. i  e.  ( 1..^ N ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i )  e.  ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  ( i  -  1 ) ) )  <->  A. i  e.  ( 1..^ N ) ( F `  i
)  e.  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
8149, 80sylibr 204 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ N ) ( ( F  |`  (
0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) ) )
8219fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  =  ( # `  ( F  |`  (
0..^ N ) ) ) )
8382, 24eqtr3d 2470 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )  =  N )
8483oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( 1..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( 1..^ N ) )
8584raleqdv 2910 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 1..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ N ) ) ) ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i )  e.  ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  ( i  -  1 ) ) )  <->  A. i  e.  ( 1..^ N ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) ) ) )
8681, 85mpbird 224 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) ) ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) ) )
871, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 15362 . 2  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e. 
dom  S  <->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e.  (Word  W  \  { (/) } )  /\  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  ( F  |`  (
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8834, 41, 86, 87syl3anbrc 1138 1  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e.  dom  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   {crab 2709    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   <.cop 3817   <.cotp 3818   U_ciun 4093    e. cmpt 4266    _I cid 4493    X. cxp 4876   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   1oc1o 6717   2oc2o 6718   Fincfn 7109   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    - cmin 9291   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043  ..^cfzo 11135   #chash 11618  Word cword 11717   substr csubstr 11720   splice csplice 11721   <"cs2 11805   ~FG cefg 15338
This theorem is referenced by:  efgredlemd  15376  efgredlem  15379
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-hash 11619  df-word 11723  df-substr 11726
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