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Theorem efgsres 15047
Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efgsres  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e.  dom  S )
Distinct variable groups:    y, z    t, n, v, w, y, z, m, x    m, M    x, n, M, t, v, w    k, m, t, x, T    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , m, t, x, y, z    m, I, n, t, v, w, x, y, z    D, m, t
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y,
z, w, v, n)    F( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    I( k)    M( y, z, k)    N( x, y, z, w, v, t, k, m, n)

Proof of Theorem efgsres
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
2 efgval.r . . . . . . . . 9  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
3 efgval2.m . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
4 efgval2.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
5 efgred.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
6 efgred.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 15039 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S  <->  ( F  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  /\  ( F `  0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  F ) ) ( F `  i )  e.  ran  ( T `
 ( F `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
87simp1bi 970 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S  ->  F  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
98adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  F  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
10 eldifi 3298 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Word  W  \  { (/) } )  ->  F  e. Word  W )
119, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  F  e. Word  W )
12 1nn0 9981 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
13 nn0uz 10262 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1412, 13eleqtri 2355 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
15 fzss1 10830 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) ) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( 1 ... ( # `  F
) )  C_  (
0 ... ( # `  F
) )
17 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  N  e.  ( 1 ... ( # `  F
) ) )
1816, 17sseldi 3178 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )
19 swrd0val 11454 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )
2011, 18, 19syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )
21 swrdcl 11452 . . . . 5  |-  ( F  e. Word  W  ->  ( F substr  <. 0 ,  N >. )  e. Word  W )
2211, 21syl 15 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  e. Word  W
)
2320, 22eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e. Word  W )
24 swrd0len 11455 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e. Word  W  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  =  N )
2511, 18, 24syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  =  N )
26 elfznn 10819 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  ->  N  e.  NN )
2726adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  N  e.  NN )
2825, 27eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  e.  NN )
29 wrdfin 11420 . . . . . . 7  |-  ( ( F substr  <. 0 ,  N >. )  e. Word  W  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  e.  Fin )
3022, 29syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  e.  Fin )
31 hashnncl 11354 . . . . . 6  |-  ( ( F substr  <. 0 ,  N >. )  e.  Fin  ->  ( ( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  e.  NN  <->  ( F substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) ) )
3230, 31syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  e.  NN  <->  ( F substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) ) )
3328, 32mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) )
3420, 33eqnetrrd 2466 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  =/=  (/) )
35 eldifsn 3749 . . 3  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  <->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e. Word  W  /\  ( F  |`  (
0..^ N ) )  =/=  (/) ) )
3623, 34, 35sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
37 lbfzo0 10903 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  <->  N  e.  NN )
3827, 37sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
0  e.  ( 0..^ N ) )
39 fvres 5542 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
4038, 39syl 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 0 )  =  ( F `  0
) )
417simp2bi 971 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( F `  0
)  e.  D )
4241adantr 451 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  0
)  e.  D )
4340, 42eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 0 )  e.  D )
44 elfzuz3 10795 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( 1 ... ( # `  F
) )  ->  ( # `
 F )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4544adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  F )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
46 fzoss2 10897 . . . . . 6  |-  ( (
# `  F )  e.  ( ZZ>= `  N )  ->  ( 1..^ N ) 
C_  ( 1..^ (
# `  F )
) )
4745, 46syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( 1..^ N ) 
C_  ( 1..^ (
# `  F )
) )
487simp3bi 972 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S  ->  A. i  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
4948adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
50 ssralv 3237 . . . . 5  |-  ( ( 1..^ N )  C_  ( 1..^ ( # `  F
) )  ->  ( A. i  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1..^ N ) ( F `  i
)  e.  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
5147, 49, 50sylc 56 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ N ) ( F `  i )  e.  ran  ( T `
 ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
52 fzoss1 10896 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1..^ N )  C_  (
0..^ N ) )
5314, 52ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ N )  C_  (
0..^ N )
5453sseli 3176 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ N ) )
55 fvres 5542 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i
)  =  ( F `
 i ) )
5654, 55syl 15 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i
)  =  ( F `
 i ) )
57 elfzoel2 10874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ZZ )
58 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
60 uzid 10242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
6157, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
6257zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  CC )
63 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
64 npcan 9060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
6562, 63, 64sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
6665fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ZZ>= `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  N ) )
6761, 66eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) )
68 peano2uzr 10274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1
) ) )
6959, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) ) )
70 fzoss2 10897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  1 ) )  ->  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  C_  (
0..^ N ) )
7169, 70syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( 0..^ ( N  -  1 ) )  C_  (
0..^ N ) )
72 elfzoelz 10875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  i  e.  ZZ )
73 elfzom1b 10918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( i  e.  ( 1..^ N )  <->  ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) ) )
7472, 57, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( i  e.  ( 1..^ N )  <-> 
( i  -  1 )  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) ) )
7574ibi 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ ( N  -  1 ) ) )
7671, 75sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ N ) )
77 fvres 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  -  1 )  e.  ( 0..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  (
i  -  1 ) )  =  ( F `
 ( i  - 
1 ) ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  (
i  -  1 ) )  =  ( F `
 ( i  - 
1 ) ) )
7978fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) )  =  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
8079rneqd 4906 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ran  ( T `
 ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  ( i  -  1 ) ) )  =  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
8156, 80eleq12d 2351 . . . . 5  |-  ( i  e.  ( 1..^ N )  ->  ( (
( F  |`  (
0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) )  <-> 
( F `  i
)  e.  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
8281ralbiia 2575 . . . 4  |-  ( A. i  e.  ( 1..^ N ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i )  e.  ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  ( i  -  1 ) ) )  <->  A. i  e.  ( 1..^ N ) ( F `  i
)  e.  ran  ( T `  ( F `  ( i  -  1 ) ) ) )
8351, 82sylibr 203 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ N ) ( ( F  |`  (
0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) ) )
8420fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F substr  <. 0 ,  N >. ) )  =  ( # `  ( F  |`  (
0..^ N ) ) ) )
8584, 25eqtr3d 2317 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( # `  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) )  =  N )
8685oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( 1..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ N ) ) ) )  =  ( 1..^ N ) )
8786raleqdv 2742 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 1..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ N ) ) ) ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i )  e.  ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  ( i  -  1 ) ) )  <->  A. i  e.  ( 1..^ N ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 i )  e. 
ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) ) ) )
8883, 87mpbird 223 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  ->  A. i  e.  (
1..^ ( # `  ( F  |`  ( 0..^ N ) ) ) ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
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ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 ( i  - 
1 ) ) ) )
891, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 15039 . 2  |-  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e. 
dom  S  <->  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) )  e.  (Word  W  \  { (/) } )  /\  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `
 0 )  e.  D  /\  A. i  e.  ( 1..^ ( # `  ( F  |`  (
0..^ N ) ) ) ) ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  i )  e.  ran  ( T `  ( ( F  |`  ( 0..^ N ) ) `  ( i  -  1 ) ) ) ) )
9036, 43, 88, 89syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  N  e.  (
1 ... ( # `  F
) ) )  -> 
( F  |`  (
0..^ N ) )  e.  dom  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   <.cotp 3644   U_ciun 3905    e. cmpt 4077    _I cid 4304    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1oc1o 6472   2oc2o 6473   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870   #chash 11337  Word cword 11403   substr csubstr 11406   splice csplice 11407   <"cs2 11491   ~FG cefg 15015
This theorem is referenced by:  efgredlemd  15053  efgredlem  15056
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-hash 11338  df-word 11409  df-substr 11412
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