MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgt0 Structured version   Unicode version

Theorem efgt0 12696
Description: The exponential function of a real number is greater than 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt0  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  A
) )

Proof of Theorem efgt0
StepHypRef Expression
1 reefcl 12681 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  A )  e.  RR )
2 rehalfcl 10186 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
32reefcld 12682 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
43sqge0d 11542 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( exp `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
52recnd 9106 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
6 2z 10304 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
7 efexp 12694 . . . . 5  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( exp `  (
2  x.  ( A  /  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
85, 6, 7sylancl 644 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( exp `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9 recn 9072 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
10 2cn 10062 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
11 2ne0 10075 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
12 divcan2 9678 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
1310, 11, 12mp3an23 1271 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
149, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
1514fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( exp `  A
) )
168, 15eqtr3d 2469 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( exp `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( exp `  A
) )
174, 16breqtrd 4228 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( exp `  A
) )
18 efne0 12690 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  =/=  0 )
199, 18syl 16 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  A )  =/=  0 )
201, 17, 19ne0gt0d 9202 1  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    / cdiv 9669   2c2 10041   ZZcz 10274   ^cexp 11374   expce 12656
This theorem is referenced by:  rpefcl  12697  eflt  12710  tanhlt1  12753  absef  12790  efieq1re  12792  rpcxpcl  20559  asinsinlem  20723  birthdaylem3  20784  pntpbnd1  21272  pntpbnd2  21273  xrge0iifcnv  24311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662
  Copyright terms: Public domain W3C validator