MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgt0 Unicode version

Theorem efgt0 12633
Description: The exponential function of a real number is greater than 0. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt0  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  A
) )

Proof of Theorem efgt0
StepHypRef Expression
1 reefcl 12618 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  A )  e.  RR )
2 rehalfcl 10128 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
32reefcld 12619 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
43sqge0d 11479 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( ( exp `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
52recnd 9049 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  /  2 )  e.  CC )
6 2z 10246 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
7 efexp 12631 . . . . 5  |-  ( ( ( A  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( exp `  (
2  x.  ( A  /  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
85, 6, 7sylancl 644 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( ( exp `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 ) )
9 recn 9015 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
10 2cn 10004 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
11 2ne0 10017 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
12 divcan2 9620 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
1310, 11, 12mp3an23 1271 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
149, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  x.  ( A  /  2 ) )  =  A )
1514fveq2d 5674 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( A  /  2
) ) )  =  ( exp `  A
) )
168, 15eqtr3d 2423 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( exp `  ( A  /  2 ) ) ^ 2 )  =  ( exp `  A
) )
174, 16breqtrd 4179 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <_  ( exp `  A
) )
18 efne0 12627 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  A )  =/=  0 )
199, 18syl 16 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  A )  =/=  0 )
201, 17, 19ne0gt0d 9144 1  |-  ( A  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925    x. cmul 8930    < clt 9055    <_ cle 9056    / cdiv 9611   2c2 9983   ZZcz 10216   ^cexp 11311   expce 12593
This theorem is referenced by:  rpefcl  12634  eflt  12647  tanhlt1  12690  absef  12727  efieq1re  12729  rpcxpcl  20436  asinsinlem  20600  birthdaylem3  20661  pntpbnd1  21149  pntpbnd2  21150  xrge0iifcnv  24125
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-er 6843  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-ico 10856  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-fac 11496  df-bc 11523  df-hash 11548  df-shft 11811  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-limsup 12194  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-ef 12599
  Copyright terms: Public domain W3C validator