MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgt1p Structured version   Unicode version

Theorem efgt1p 12718
Description: The exponential function of a positive real number is greater than 1 plus that number. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
efgt1p  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  +  A )  < 
( exp `  A
) )

Proof of Theorem efgt1p
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcn 10622 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
2 nn0uz 10522 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
3 0nn0 10238 . . . 4  |-  0  e.  NN0
4 1e0p1 10412 . . . 4  |-  1  =  ( 0  +  1 )
5 0z 10295 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
6 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( A ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
76eftval 12681 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 0 )  =  ( ( A ^
0 )  /  ( ! `  0 )
) )
83, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 0 )  =  ( ( A ^
0 )  /  ( ! `  0 )
)
9 eft0val 12715 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A ^ 0 )  /  ( ! `
 0 ) )  =  1 )
108, 9syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  0
)  =  1 )
115, 10seq1i 11339 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) ` 
0 )  =  1 )
12 1nn0 10239 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
136eftval 12681 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 1 )  =  ( ( A ^
1 )  /  ( ! `  1 )
) )
1412, 13ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 1 )  =  ( ( A ^
1 )  /  ( ! `  1 )
)
15 fac1 11572 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 1 )  =  1
1615oveq2i 6094 . . . . . 6  |-  ( ( A ^ 1 )  /  ( ! ` 
1 ) )  =  ( ( A ^
1 )  /  1
)
17 exp1 11389 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 1 )  =  A )
1817oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A ^ 1 )  /  1 )  =  ( A  / 
1 ) )
19 div1 9709 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  /  1 )  =  A )
2018, 19eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A ^ 1 )  /  1 )  =  A )
2116, 20syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A ^ 1 )  /  ( ! `
 1 ) )  =  A )
2214, 21syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  1
)  =  A )
232, 3, 4, 11, 22seqp1i 11341 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) ` 
1 )  =  ( 1  +  A ) )
241, 23syl 16 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) ` 
1 )  =  ( 1  +  A ) )
25 id 21 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR+ )
2612a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  1  e. 
NN0 )
276, 25, 26effsumlt 12714 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) ) ` 
1 )  <  ( exp `  A ) )
2824, 27eqbrtrrd 4236 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( 1  +  A )  < 
( exp `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    < clt 9122    / cdiv 9679   NN0cn0 10223   RR+crp 10614    seq cseq 11325   ^cexp 11384   !cfa 11568   expce 12666
This theorem is referenced by:  efgt1  12719  reeff1olem  20364  logdivlti  20517  logdifbnd  20834  emcllem4  20839  harmonicbnd4  20851
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672
  Copyright terms: Public domain W3C validator