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Theorem efgval 15042
Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
Assertion
Ref Expression
efgval  |-  .~  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }
Distinct variable groups:    y, r,
z, n, x, W    .~ , r, x, y, z   
n, I, r, x, y, z
Allowed substitution hint:    .~ ( n)

Proof of Theorem efgval
Dummy variables  i  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.r . 2  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
2 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  i  e. 
_V
3 2on 6503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  e.  On
43elexi 2810 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  _V
52, 4xpex 4817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  X.  2o )  e. 
_V
6 wrdexg 11441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  X.  2o )  e.  _V  -> Word  ( i  X.  2o )  e. 
_V )
7 fvi 5595 . . . . . . . . . . 11  |-  (Word  (
i  X.  2o )  e.  _V  ->  (  _I  ` Word  ( i  X.  2o ) )  = Word  ( i  X.  2o ) )
85, 6, 7mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I 
` Word  ( i  X.  2o ) )  = Word  ( i  X.  2o )
9 xpeq1 4719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  (
i  X.  2o )  =  ( I  X.  2o ) )
10 wrdeq 11440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  X.  2o )  =  ( I  X.  2o )  -> Word  ( i  X.  2o )  = Word  ( I  X.  2o ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  -> Word  ( i  X.  2o )  = Word  ( I  X.  2o ) )
1211fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  I  ->  (  _I  ` Word  ( i  X.  2o ) )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) )
138, 12syl5eqr 2342 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  -> Word  ( i  X.  2o )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) )
14 efgval.w . . . . . . . . 9  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
1513, 14syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  -> Word  ( i  X.  2o )  =  W )
16 ereq2 6684 . . . . . . . 8  |-  (Word  (
i  X.  2o )  =  W  ->  (
r  Er Word  ( i  X.  2o )  <->  r  Er  W ) )
1715, 16syl 15 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  (
r  Er Word  ( i  X.  2o )  <->  r  Er  W ) )
18 raleq 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  I  ->  ( A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )  <->  A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
1918ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  I  ->  ( A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
)  <->  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
2015, 19raleqbidv 2761 . . . . . . 7  |-  ( i  =  I  ->  ( A. x  e. Word  ( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
)  <->  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) )
2117, 20anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( i  =  I  ->  (
( r  Er Word  (
i  X.  2o )  /\  A. x  e. Word 
( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  <->  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) ) )
2221abbidv 2410 . . . . 5  |-  ( i  =  I  ->  { r  |  ( r  Er Word 
( i  X.  2o )  /\  A. x  e. Word 
( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
2322inteqd 3883 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  |^| { r  |  ( r  Er Word 
( i  X.  2o )  /\  A. x  e. Word 
( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
24 df-efg 15034 . . . 4  |- ~FG  =  ( i  e.  _V  |->  |^| { r  |  ( r  Er Word  (
i  X.  2o )  /\  A. x  e. Word 
( i  X.  2o ) A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x ) ) A. y  e.  i  A. z  e.  2o  x
r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
2514efglem 15041 . . . . 5  |-  E. r
( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )
26 intexab 4185 . . . . 5  |-  ( E. r ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
)  <->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  e.  _V )
2725, 26mpbi 199 . . . 4  |-  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) }  e.  _V
2823, 24, 27fvmpt 5618 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  ( ~FG  `  I
)  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } )
29 fvprc 5535 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ~FG  `  I )  =  (/) )
30 abn0 3486 . . . . . . . 8  |-  ( { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =/=  (/)  <->  E. r ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) )
3125, 30mpbir 200 . . . . . . 7  |-  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) }  =/=  (/)
32 intssuni 3900 . . . . . . 7  |-  ( { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =/=  (/) 
->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  U. { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
3331, 32ax-mp 8 . . . . . 6  |-  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) }  C_  U. {
r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }
34 erssxp 6699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  Er  W  ->  r  C_  ( W  X.  W
) )
3514efgrcl 15040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  W  ->  (
I  e.  _V  /\  W  = Word  ( I  X.  2o ) ) )
3635simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  W  ->  I  e.  _V )
3736con3i 127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  -.  x  e.  W )
3837eq0rdv 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  W  =  (/) )
3938xpeq2d 4729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( W  X.  W )  =  ( W  X.  (/) ) )
40 xp0 5114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  X.  (/) )  =  (/)
4139, 40syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( W  X.  W )  =  (/) )
42 ss0b 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  X.  W ) 
C_  (/)  <->  ( W  X.  W )  =  (/) )
4341, 42sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( W  X.  W ) 
C_  (/) )
4434, 43sylan9ssr 3206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  I  e.  _V  /\  r  Er  W )  ->  r  C_  (/) )
4544ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( r  Er  W  -> 
r  C_  (/) ) )
4645adantrd 454 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  ->  r  C_  (/) ) )
4746alrimiv 1621 . . . . . . . 8  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  A. r ( ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  ->  r  C_  (/) ) )
48 sseq1 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  r  ->  (
w  C_  (/)  <->  r  C_  (/) ) )
4948ralab2 2943 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } w  C_  (/)  <->  A. r ( ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) )  ->  r  C_  (/) ) )
5047, 49sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  A. w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } w  C_  (/) )
51 unissb 3873 . . . . . . 7  |-  ( U. { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  (/)  <->  A. w  e.  { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) } w  C_  (/) )
5250, 51sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  U. { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  (/) )
5333, 52syl5ss 3203 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  |^|
{ r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  (/) )
54 ss0 3498 . . . . 5  |-  ( |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  C_  (/) 
->  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  (
0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =  (/) )
5553, 54syl 15 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  |^|
{ r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }  =  (/) )
5629, 55eqtr4d 2331 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ~FG  `  I )  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) } )
5728, 56pm2.61i 156 . 2  |-  ( ~FG  `  I
)  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `
 x ) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n , 
<" <. y ,  z
>. <. y ,  ( 1o  \  z )
>. "> >. )
) }
581, 57eqtri 2316 1  |-  .~  =  |^| { r  |  ( r  Er  W  /\  A. x  e.  W  A. n  e.  ( 0 ... ( # `  x
) ) A. y  e.  I  A. z  e.  2o  x r ( x splice  <. n ,  n ,  <" <. y ,  z >. <. y ,  ( 1o  \ 
z ) >. "> >.
) ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   <.cop 3656   <.cotp 3657   U.cuni 3843   |^|cint 3878   class class class wbr 4039    _I cid 4320   Oncon0 4408    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   2oc2o 6489    Er wer 6673   0cc0 8753   ...cfz 10798   #chash 11353  Word cword 11419   splice csplice 11423   <"cs2 11507   ~FG cefg 15031
This theorem is referenced by:  efger  15043  efgi  15044  efgval2  15049  frgpuplem  15097
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-hash 11354  df-word 11425  df-concat 11426  df-s1 11427  df-substr 11428  df-splice 11429  df-s2 11514  df-efg 15034
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