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Theorem efieq1re 12495
Description: A number whose imaginary exponential is one is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
efieq1re  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  1 )  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem efieq1re
StepHypRef Expression
1 replim 11617 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
21oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) ) )
3 recl 11611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
43recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
5 ax-icn 8812 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
6 imcl 11612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
76recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
8 mulcl 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
95, 7, 8sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
10 adddi 8842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  CC  /\  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
115, 10mp3an1 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
124, 9, 11syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
13 ixi 9413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
1413oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( -u 1  x.  ( Im `  A
) )
15 mulass 8841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
165, 5, 15mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
177, 16syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
187mulm1d 9247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  ( Im
`  A ) )  =  -u ( Im `  A ) )
1914, 17, 183eqtr3a 2352 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A
) ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
2019oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  -u (
Im `  A )
) )
2112, 20eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  +  -u (
Im `  A )
) )
222, 21eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  A )  =  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  + 
-u ( Im `  A ) ) )
2322fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( exp `  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  -u (
Im `  A )
) ) )
24 mulcl 8837 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC )
255, 4, 24sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Re `  A ) )  e.  CC )
266renegcld 9226 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  RR )
2726recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  CC )
28 efadd 12391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _i  x.  (
Re `  A )
)  e.  CC  /\  -u ( Im `  A
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  (
Re `  A )
)  +  -u (
Im `  A )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
2925, 27, 28syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( Re `  A ) )  + 
-u ( Im `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  (
Re `  A )
) )  x.  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) )
3023, 29eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
3130eqeq1d 2304 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  1  <->  (
( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1 ) )
32 efcl 12380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( Re
`  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) )  e.  CC )
3325, 32syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) )  e.  CC )
34 efcl 12380 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( Im `  A )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  e.  CC )
3527, 34syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  e.  CC )
3633, 35absmuld 11952 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( exp `  ( _i  x.  (
Re `  A )
) )  x.  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  (
Re `  A )
) ) )  x.  ( abs `  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) ) )
37 absefi 12492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Re `  A )  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) ) )  =  1 )
383, 37syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) ) )  =  1 )
3926reefcld 12385 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  e.  RR )
40 efgt0 12399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u ( Im `  A )  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4126, 40syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
42 0re 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
43 ltle 8926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( exp `  -u (
Im `  A )
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( exp `  -u (
Im `  A )
)  ->  0  <_  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
4442, 43mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( exp `  -u (
Im `  A )
)  e.  RR  ->  ( 0  <  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  -> 
0  <_  ( exp `  -u ( Im `  A
) ) ) )
4539, 41, 44sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4639, 45absidd 11921 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4738, 46oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( abs `  ( exp `  ( _i  x.  ( Re `  A ) ) ) )  x.  ( abs `  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) ) )  =  ( 1  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )
4835mulid2d 8869 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  ( exp `  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )
4936, 47, 483eqtrrd 2333 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( Im `  A ) )  =  ( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) ) )
50 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1  ->  ( abs `  (
( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) ) )  =  ( abs `  1
) )
5149, 50sylan9eq 2348 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1 )  ->  ( exp `  -u ( Im `  A
) )  =  ( abs `  1 ) )
5251ex 423 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  ( Re `  A ) ) )  x.  ( exp `  -u (
Im `  A )
) )  =  1  ->  ( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 ) ) )
5331, 52sylbid 206 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  1  -> 
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 ) ) )
547negeq0d 9165 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  0  <->  -u (
Im `  A )  =  0 ) )
55 reim0b 11620 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
56 ef0 12388 . . . . . . 7  |-  ( exp `  0 )  =  1
57 abs1 11798 . . . . . . 7  |-  ( abs `  1 )  =  1
5856, 57eqtr4i 2319 . . . . . 6  |-  ( exp `  0 )  =  ( abs `  1
)
5958eqeq2i 2306 . . . . 5  |-  ( ( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( exp `  0 )  <->  ( exp `  -u ( Im `  A
) )  =  ( abs `  1 ) )
60 reef11 12415 . . . . . 6  |-  ( (
-u ( Im `  A )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( exp `  -u ( Im `  A ) )  =  ( exp `  0
)  <->  -u ( Im `  A )  =  0 ) )
6126, 42, 60sylancl 643 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( exp `  0 )  <->  -u ( Im
`  A )  =  0 ) )
6259, 61syl5bbr 250 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 )  <->  -u ( Im
`  A )  =  0 ) )
6354, 55, 623bitr4rd 277 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  -u (
Im `  A )
)  =  ( abs `  1 )  <->  A  e.  RR ) )
6453, 63sylibd 205 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  =  1  ->  A  e.  RR )
)
6564imp 418 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  =  1 )  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884   -ucneg 9054   Recre 11598   Imcim 11599   abscabs 11735   expce 12359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368
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