MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem1 Structured version   Unicode version

Theorem efif1olem1 20446
Description: Lemma for efif1o 20450. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efif1olem1.1  |-  D  =  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )
Assertion
Ref Expression
efif1olem1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( 2  x.  pi ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, D
Allowed substitution hints:    A( x)    D( x)

Proof of Theorem efif1olem1
StepHypRef Expression
1 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  e.  D )
2 efif1olem1.1 . . . . . . 7  |-  D  =  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )
31, 2syl6eleq 2528 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
4 rexr 9132 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
54adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  A  e.  RR* )
6 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  A  e.  RR )
7 2re 10071 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
8 pire 20374 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
97, 8remulcli 9106 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
10 readdcl 9075 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR )  ->  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
116, 9, 10sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
12 elioc2 10975 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )  -> 
( y  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
135, 11, 12syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
y  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  A  < 
y  /\  y  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
143, 13mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
y  e.  RR  /\  A  <  y  /\  y  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
1514simp1d 970 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  e.  RR )
16 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  e.  D )
1716, 2syl6eleq 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
18 elioc2 10975 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
195, 11, 18syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  ( A (,] ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  A  < 
x  /\  x  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
2017, 19mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  A  <  x  /\  x  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
2120simp1d 970 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  e.  RR )
22 readdcl 9075 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR )  ->  ( x  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
2321, 9, 22sylancl 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
x  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
2414simp3d 972 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )
259a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR )
2620simp2d 971 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  A  <  x )
276, 21, 25, 26ltadd1dd 9639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  <  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) )
2815, 11, 23, 24, 27lelttrd 9230 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  y  <  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) )
2915, 25, 21ltsubaddd 9624 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
( y  -  (
2  x.  pi ) )  <  x  <->  y  <  ( x  +  ( 2  x.  pi ) ) ) )
3028, 29mpbird 225 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
y  -  ( 2  x.  pi ) )  <  x )
31 readdcl 9075 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( 2  x.  pi )  e.  RR )  ->  ( y  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
3215, 9, 31sylancl 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
y  +  ( 2  x.  pi ) )  e.  RR )
3320simp3d 972 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  <_  ( A  +  ( 2  x.  pi ) ) )
3414simp2d 971 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  A  <  y )
356, 15, 25, 34ltadd1dd 9639 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( A  +  ( 2  x.  pi ) )  <  ( y  +  ( 2  x.  pi ) ) )
3621, 11, 32, 33, 35lelttrd 9230 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  x  <  ( y  +  ( 2  x.  pi ) ) )
3721, 15, 25absdifltd 12238 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  (
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi )  <->  ( (
y  -  ( 2  x.  pi ) )  <  x  /\  x  <  ( y  +  ( 2  x.  pi ) ) ) ) )
3830, 36, 37mpbir2and 890 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( 2  x.  pi ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991    + caddc 8995    x. cmul 8997   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   2c2 10051   (,]cioc 10919   abscabs 12041   picpi 12671
This theorem is referenced by:  efif1o  20450  eff1o  20453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756
  Copyright terms: Public domain W3C validator