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Theorem efif1olem3 20315
Description: Lemma for efif1o 20317. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efif1o.1  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
efif1o.2  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
Assertion
Ref Expression
efif1olem3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Im `  ( sqr `  x ) )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
Distinct variable groups:    x, w, C    x, F    ph, w, x   
w, D, x
Allowed substitution hint:    F( w)

Proof of Theorem efif1olem3
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  C )
2 efif1o.2 . . . . . . 7  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
31, 2syl6eleq 2479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
4 absf 12070 . . . . . . 7  |-  abs : CC
--> RR
5 ffn 5533 . . . . . . 7  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
6 fniniseg 5792 . . . . . . 7  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( x  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( abs `  x
)  =  1 ) ) )
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( abs `  x
)  =  1 ) )
83, 7sylib 189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  =  1 ) )
98simpld 446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  CC )
109sqrcld 12168 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
1110imcld 11929 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Im `  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
12 absimle 12043 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  x )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( sqr `  x
) ) )
1310, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( sqr `  x
) ) )
149sqsqrd 12170 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sqr `  x
) ^ 2 )  =  x )
1514fveq2d 5674 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  x ) )
16 2nn0 10172 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
17 absexp 12038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( sqr `  x
) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) )
1810, 16, 17sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )
198simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  x )  =  1 )
2015, 18, 193eqtr3d 2429 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  1 )
21 sq1 11405 . . . . . . 7  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2220, 21syl6eqr 2439 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2310abscld 12167 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
2410absge0d 12175 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  0  <_  ( abs `  ( sqr `  x ) ) )
25 1re 9025 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
26 0le1 9485 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
27 sq11 11383 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs `  ( sqr `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( sqr `  x ) ) )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  -> 
( ( ( abs `  ( sqr `  x
) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( abs `  ( sqr `  x
) )  =  1 ) )
2825, 26, 27mpanr12 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  ( sqr `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  ( sqr `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( abs `  ( sqr `  x ) )  =  1 ) )
2923, 24, 28syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( abs `  ( sqr `  x ) )  =  1 ) )
3022, 29mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( sqr `  x
) )  =  1 )
3113, 30breqtrd 4179 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )  <_  1
)
32 absle 12048 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  ( sqr `  x ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( sqr `  x ) ) )  <_  1  <->  ( -u 1  <_  ( Im `  ( sqr `  x ) )  /\  ( Im `  ( sqr `  x ) )  <_  1 ) ) )
3311, 25, 32sylancl 644 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( sqr `  x ) ) )  <_  1  <->  ( -u 1  <_  ( Im `  ( sqr `  x ) )  /\  ( Im `  ( sqr `  x ) )  <_  1 ) ) )
3431, 33mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( -u 1  <_  ( Im `  ( sqr `  x
) )  /\  (
Im `  ( sqr `  x ) )  <_ 
1 ) )
3534simpld 446 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  -u 1  <_  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )
3634simprd 450 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Im `  ( sqr `  x ) )  <_ 
1 )
3725renegcli 9296 . . 3  |-  -u 1  e.  RR
3837, 25elicc2i 10910 . 2  |-  ( ( Im `  ( sqr `  x ) )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  <->  ( (
Im `  ( sqr `  x ) )  e.  RR  /\  -u 1  <_  ( Im `  ( sqr `  x ) )  /\  ( Im `  ( sqr `  x ) )  <_  1 ) )
3911, 35, 36, 38syl3anbrc 1138 1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Im `  ( sqr `  x ) )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {csn 3759   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   `'ccnv 4819   "cima 4823    Fn wfn 5391   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926   _ici 8927    x. cmul 8930    <_ cle 9056   -ucneg 9226   2c2 9983   NN0cn0 10155   [,]cicc 10853   ^cexp 11311   Imcim 11832   sqrcsqr 11967   abscabs 11968   expce 12593
This theorem is referenced by:  efif1olem4  20316
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-icc 10857  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970
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