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Theorem efif1olem4 20439
Description: The exponential function of an imaginary number maps any interval of length  2 pi one-to-one onto the unit circle. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efif1o.1  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
efif1o.2  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
efif1olem4.3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
efif1olem4.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
efif1olem4.5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
efif1olem4.6  |-  S  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efif1olem4  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-onto-> C )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    w, C, x, y    x, F, y    ph, w, x, y, z   
y, S, z    w, D, x, y, z
Allowed substitution hints:    C( z)    S( x, w)    F( z, w)

Proof of Theorem efif1olem4
StepHypRef Expression
1 efif1olem4.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
21sselda 3340 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  D )  ->  w  e.  RR )
3 ax-icn 9041 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
4 recn 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  RR  ->  w  e.  CC )
5 mulcl 9066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( _i  x.  w
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  RR  ->  (
_i  x.  w )  e.  CC )
7 efcl 12677 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  x.  w )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  CC )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  CC )
9 absefi 12789 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )  =  1 )
10 absf 12133 . . . . . . . . 9  |-  abs : CC
--> RR
11 ffn 5583 . . . . . . . . 9  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  abs  Fn  CC
13 fniniseg 5843 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  w )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  w
) ) )  =  1 ) ) )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  w )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  w
) ) )  =  1 ) )
158, 9, 14sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( w  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
16 efif1o.2 . . . . . 6  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
1715, 16syl6eleqr 2526 . . . . 5  |-  ( w  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  C )
182, 17syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  D )  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  C )
19 efif1o.1 . . . 4  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
2018, 19fmptd 5885 . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> C )
211ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  D  C_  RR )
22 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  e.  D )
2321, 22sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  e.  RR )
2423recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  e.  CC )
25 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  y  e.  D )
2621, 25sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  y  e.  RR )
2726recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  y  e.  CC )
2824, 27subcld 9403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( x  -  y )  e.  CC )
29 2re 10061 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
30 pire 20364 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
3129, 30remulcli 9096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
3231recni 9094 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
33 2pos 10074 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
34 pipos 20365 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
3529, 30, 33, 34mulgt0ii 9198 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
3631, 35gt0ne0ii 9555 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
37 divcl 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  -> 
( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
3832, 36, 37mp3an23 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
3928, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
40 absdiv 12092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  ( abs `  (
2  x.  pi ) ) ) )
4132, 36, 40mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( abs `  ( 2  x.  pi ) ) ) )
4228, 41syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( abs `  ( 2  x.  pi ) ) ) )
43 0re 9083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
4443, 31, 35ltleii 9188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  ( 2  x.  pi )
45 absid 12093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( abs `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  pi ) )
4631, 44, 45mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  pi )
4746oveq2i 6084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  ( abs `  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) )
4842, 47syl6eq 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
49 efif1olem4.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
2  x.  pi ) )
5132mulid1i 9084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  1 )  =  ( 2  x.  pi )
5250, 51syl6breqr 4244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
( 2  x.  pi )  x.  1 ) )
5328abscld 12230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y
) )  e.  RR )
54 1re 9082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
5531, 35pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  pi ) )
56 ltdivmul 9874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  (
x  -  y ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  pi ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  (
2  x.  pi ) )  <  1  <->  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( ( 2  x.  pi )  x.  1 ) ) )
5754, 55, 56mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  e.  RR  ->  (
( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  <  1  <->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
( 2  x.  pi )  x.  1 ) ) )
5853, 57syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  <  1  <->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
( 2  x.  pi )  x.  1 ) ) )
5952, 58mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  / 
( 2  x.  pi ) )  <  1
)
6048, 59eqbrtrd 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  <  1
)
6132, 36pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )
62 ine0 9461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
633, 62pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )
64 divcan5 9708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )  ->  ( (
_i  x.  ( x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )
6561, 63, 64mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  (
x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
6628, 65syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
_i  x.  ( x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )
673a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  _i  e.  CC )
6867, 24, 27subdid 9481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  =  ( ( _i  x.  x
)  -  ( _i  x.  y ) ) )
6968fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  (
x  -  y ) ) )  =  ( exp `  ( ( _i  x.  x )  -  ( _i  x.  y ) ) ) )
70 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
713, 24, 70sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  x )  e.  CC )
72 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( _i  x.  y
)  e.  CC )
733, 27, 72sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  y )  e.  CC )
74 efsub 12693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  y
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  x
)  -  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  /  ( exp `  (
_i  x.  y )
) ) )
7571, 73, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  x )  -  (
_i  x.  y )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  /  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
76 efcl 12677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
7773, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y
) )  e.  CC )
78 efne0 12690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  =/=  0 )
7973, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y
) )  =/=  0
)
80 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
81 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  x ) )
8281fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  x  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
83 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( exp `  ( _i  x.  x
) )  e.  _V
8482, 19, 83fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  D  ->  ( F `  x )  =  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
8522, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( F `  x )  =  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) )
86 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  y  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  y ) )
8786fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  y  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
88 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( exp `  ( _i  x.  y
) )  e.  _V
8987, 19, 88fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  D  ->  ( F `  y )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
9025, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( F `  y )  =  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )
9180, 85, 903eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )
9277, 79, 91diveq1bd 9830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  / 
( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
9369, 75, 923eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  (
x  -  y ) ) )  =  1 )
94 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( x  -  y
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  CC )
953, 28, 94sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  CC )
96 efeq1 20423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  x.  ( x  -  y ) )  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( x  -  y ) ) )  =  1  <->  (
( _i  x.  (
x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
9795, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  ( x  -  y
) ) )  =  1  <->  ( ( _i  x.  ( x  -  y ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
9893, 97mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
_i  x.  ( x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ )
9966, 98eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
100 nn0abscl 12109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )  e. 
NN0 )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  e.  NN0 )
102 nn0lt10b 10328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( ( x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  ( ( x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  0 ) )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )  <  1  <->  ( abs `  (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  0 ) )
10460, 103mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  0 )
10539, 104abs00d 12240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
106 diveq0 9680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  -> 
( ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( x  -  y
)  =  0 ) )
10732, 36, 106mp3an23 1271 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  (
( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) )  =  0  <->  (
x  -  y )  =  0 ) )
10828, 107syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <->  ( x  -  y )  =  0 ) )
109105, 108mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( x  -  y )  =  0 )
11024, 27, 109subeq0d 9411 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
111110ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
112111ralrimivva 2790 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
113 dff13 5996 . . 3  |-  ( F : D -1-1-> C  <->  ( F : D --> C  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
11420, 112, 113sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-> C
)
115 halfpire 20367 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
116115renegcli 9354 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
117 iccssre 10984 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  C_  RR )
118116, 115, 117mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
C_  RR
11919, 16efif1olem3 20438 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Im `  ( sqr `  x ) )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
120 resinf1o 20430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
121 efif1olem4.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
122 f1oeq1 5657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( S : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  <-> 
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
) ) )
123121, 122ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  <-> 
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
) )
124120, 123mpbir 201 . . . . . . . . . . 11  |-  S :
( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
125 f1ocnv 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  ->  `' S :
( -u 1 [,] 1
)
-1-1-onto-> ( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )
126 f1of 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' S : ( -u
1 [,] 1 ) -1-1-onto-> (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  ->  `' S : ( -u 1 [,] 1 ) --> ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
127124, 125, 126mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  `' S : ( -u 1 [,] 1 ) --> ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )
128127ffvelrni 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( sqr `  x ) )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
129119, 128syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
130118, 129sseldi 3338 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  RR )
131 remulcl 9067 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
13229, 130, 131sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
133 efif1olem4.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
134133ralrimiva 2781 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR  E. y  e.  D  ( ( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
135134adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  A. z  e.  RR  E. y  e.  D  ( ( z  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
136 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( z  -  y )  =  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y ) )
137136oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
138137eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( (
( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  <->  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
139138rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  D  (
( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  <->  E. y  e.  D  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
140139rspcv 3040 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR  ->  ( A. z  e.  RR  E. y  e.  D  ( ( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  E. y  e.  D  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
141132, 135, 140sylc 58 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. y  e.  D  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
142 oveq1 6080 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) ) )  =  1  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( 1  x.  ( exp `  (
_i  x.  y )
) ) )
1433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  _i  e.  CC )
144132adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
145144recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )
1461ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  D  C_  RR )
147 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
148146, 147sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  RR )
149148recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  CC )
150143, 145, 149subdid 9481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  =  ( ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  -  (
_i  x.  y )
) )
151150oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  -  (
_i  x.  y )
)  +  ( _i  x.  y ) ) )
152 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  e.  CC )
1533, 145, 152sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  e.  CC )
1543, 149, 72sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  y )  e.  CC )
155153, 154npcand 9407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  -  ( _i  x.  y ) )  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( _i  x.  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
156151, 155eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( _i  x.  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
157156fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) )  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ) ) )
158145, 149subcld 9403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  e.  CC )
159 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC )
1603, 158, 159sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC )
161 efadd 12688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC  /\  (
_i  x.  y )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) )  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
162160, 154, 161syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) )  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
163130recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )
164 2cn 10062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
165 mul12 9224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
1663, 164, 165mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC  ->  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
167163, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
168167fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ) )
169 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )
1703, 163, 169sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )
171 2z 10304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
172 efexp 12694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 ) )
173170, 171, 172sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 ) )
174168, 173eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 ) )
175130recoscld 12737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  RR )
176 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  C )
177176, 16syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
178 fniniseg 5843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( x  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( abs `  x
)  =  1 ) ) )
17912, 178ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( abs `  x
)  =  1 ) )
180177, 179sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  =  1 ) )
181180simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  CC )
182181sqrcld 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
183182recld 11991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Re `  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
184 cosq14ge0 20411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
185129, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  0  <_  ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
186181sqrrege0d 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  0  <_  ( Re `  ( sqr `  x ) ) )
187 sincossq 12769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC  ->  ( (
( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
188163, 187syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
189181sqsqrd 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sqr `  x
) ^ 2 )  =  x )
190189fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  x ) )
191 2nn0 10230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  NN0
192 absexp 12101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( sqr `  x
) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) )
193182, 191, 192sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )
194180simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  x )  =  1 )
195190, 193, 1943eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  1 )
196182absvalsq2d 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( sqr `  x
) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) ) )
197188, 195, 1963eqtr2d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) ) )
198121fveq1i 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( S `
 ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )
199 fvres 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  (
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
200129, 199syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
201198, 200syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( S `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
202 f1ocnvfv2 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)  /\  ( Im `  ( sqr `  x
) )  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  ( S `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )
203124, 119, 202sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( S `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )
204201, 203eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )
205204oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )
206197, 205oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) ) )
207163sincld 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  CC )
208207sqcld 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
209163coscld 12724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  CC )
210209sqcld 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
211208, 210pncan2d 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 ) )
212183recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Re `  ( sqr `  x ) )  e.  CC )
213212sqcld 11513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( Re `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  e.  CC )
214205, 208eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  e.  CC )
215213, 214pncand 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( ( Re
`  ( sqr `  x
) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) )  -  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) )
216206, 211, 2153eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )
217175, 183, 185, 186, 216sq11d 11551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( Re `  ( sqr `  x ) ) )
218204oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )
219217, 218oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )
220 efival 12745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ) )
221163, 220syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ) )
222182replimd 11994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sqr `  x )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )
223219, 221, 2223eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( sqr `  x ) )
224223oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )
225174, 224, 1893eqtrd 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  x )
226225adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  x )
227157, 162, 2263eqtr3d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  =  x )
228154, 76syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
229228mulid2d 9098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
1  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
230227, 229eqeq12d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  =  ( 1  x.  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  <-> 
x  =  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
231142, 230syl5ib 211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1  ->  x  =  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
232 efeq1 20423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1  <->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
233160, 232syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1  <->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
234 divcan5 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y )  e.  CC  /\  (
( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )  ->  ( (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
23561, 63, 234mp3an23 1271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  e.  CC  ->  ( (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
236158, 235syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
237236eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ  <->  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
238233, 237bitr2d 246 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  <->  ( exp `  ( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1 ) )
23989adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( F `  y )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
240239eqeq2d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
x  =  ( F `
 y )  <->  x  =  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) ) )
241231, 238, 2403imtr4d 260 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  x  =  ( F `  y ) ) )
242241reximdva 2810 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( E. y  e.  D  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) ) )
243141, 242mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) )
244243ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) )
245 dffo3 5876 . . 3  |-  ( F : D -onto-> C  <->  ( F : D --> C  /\  A. x  e.  C  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) ) )
24620, 244, 245sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  F : D -onto-> C
)
247 df-f1o 5453 . 2  |-  ( F : D -1-1-onto-> C  <->  ( F : D -1-1-> C  /\  F : D -onto-> C ) )
248114, 246, 247sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-onto-> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869    |` cres 4872   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   -onto->wfo 5444   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983   _ici 8984    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   [,]cicc 10911   ^cexp 11374   Recre 11894   Imcim 11895   sqrcsqr 12030   abscabs 12031   expce 12656   sincsin 12658   cosccos 12659   picpi 12661
This theorem is referenced by:  efif1o  20440  eff1olem  20442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746
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