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Theorem efif1olem4 19907
Description: The exponential function of an imaginary number maps any interval of length  2 pi one-to-one onto the unit circle. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efif1o.1  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
efif1o.2  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
efif1olem4.3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
efif1olem4.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
efif1olem4.5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
efif1olem4.6  |-  S  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efif1olem4  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-onto-> C )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    w, C, x, y    x, F, y    ph, w, x, y, z   
y, S, z    w, D, x, y, z
Allowed substitution hints:    C( z)    S( x, w)    F( z, w)

Proof of Theorem efif1olem4
StepHypRef Expression
1 efif1olem4.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
21sselda 3180 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  D )  ->  w  e.  RR )
3 ax-icn 8796 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
4 recn 8827 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  RR  ->  w  e.  CC )
5 mulcl 8821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( _i  x.  w
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  RR  ->  (
_i  x.  w )  e.  CC )
7 efcl 12364 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  x.  w )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  CC )
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  CC )
9 absefi 12476 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )  =  1 )
10 absf 11821 . . . . . . . . 9  |-  abs : CC
--> RR
11 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  abs  Fn  CC
13 fniniseg 5646 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  w )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  w
) ) )  =  1 ) ) )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  w )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  w
) ) )  =  1 ) )
158, 9, 14sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( w  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
16 efif1o.2 . . . . . 6  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
1715, 16syl6eleqr 2374 . . . . 5  |-  ( w  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  C )
182, 17syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  D )  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  C )
19 efif1o.1 . . . 4  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
2018, 19fmptd 5684 . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> C )
211ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  D  C_  RR )
22 simplrl 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  e.  D )
2321, 22sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  e.  RR )
2423recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  e.  CC )
25 simplrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  y  e.  D )
2621, 25sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  y  e.  RR )
2726recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  y  e.  CC )
2824, 27subcld 9157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( x  -  y )  e.  CC )
29 2re 9815 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
30 pire 19832 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
3129, 30remulcli 8851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
3231recni 8849 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
33 2pos 9828 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
34 pipos 19833 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
3529, 30, 33, 34mulgt0ii 8952 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
3631, 35gt0ne0ii 9309 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
37 divcl 9430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  -> 
( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
3832, 36, 37mp3an23 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
3928, 38syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
40 absdiv 11780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  ( abs `  (
2  x.  pi ) ) ) )
4132, 36, 40mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( abs `  ( 2  x.  pi ) ) ) )
4228, 41syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( abs `  ( 2  x.  pi ) ) ) )
43 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
4443, 31, 35ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  ( 2  x.  pi )
45 absid 11781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( abs `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  pi ) )
4631, 44, 45mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  pi )
4746oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  ( abs `  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) )
4842, 47syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
49 efif1olem4.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
2  x.  pi ) )
5132mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  1 )  =  ( 2  x.  pi )
5250, 51syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
( 2  x.  pi )  x.  1 ) )
5328abscld 11918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y
) )  e.  RR )
54 1re 8837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
5531, 35pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  pi ) )
56 ltdivmul 9628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  (
x  -  y ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  pi ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  (
2  x.  pi ) )  <  1  <->  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( ( 2  x.  pi )  x.  1 ) ) )
5754, 55, 56mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  e.  RR  ->  (
( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  <  1  <->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
( 2  x.  pi )  x.  1 ) ) )
5853, 57syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  <  1  <->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
( 2  x.  pi )  x.  1 ) ) )
5952, 58mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  / 
( 2  x.  pi ) )  <  1
)
6048, 59eqbrtrd 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  <  1
)
6132, 36pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )
62 ine0 9215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
633, 62pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )
64 divcan5 9462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )  ->  ( (
_i  x.  ( x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )
6561, 63, 64mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  (
x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
6628, 65syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
_i  x.  ( x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )
673a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  _i  e.  CC )
6867, 24, 27subdid 9235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  =  ( ( _i  x.  x
)  -  ( _i  x.  y ) ) )
6968fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  (
x  -  y ) ) )  =  ( exp `  ( ( _i  x.  x )  -  ( _i  x.  y ) ) ) )
70 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
713, 24, 70sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  x )  e.  CC )
72 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( _i  x.  y
)  e.  CC )
733, 27, 72sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  y )  e.  CC )
74 efsub 12380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  y
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  x
)  -  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  /  ( exp `  (
_i  x.  y )
) ) )
7571, 73, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  x )  -  (
_i  x.  y )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  /  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
76 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
77 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  x  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  x ) )
7877fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
79 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( exp `  ( _i  x.  x
) )  e.  _V
8078, 19, 79fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  D  ->  ( F `  x )  =  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
8122, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( F `  x )  =  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) )
82 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  y  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  y ) )
8382fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  y  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
84 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( exp `  ( _i  x.  y
) )  e.  _V
8583, 19, 84fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  D  ->  ( F `  y )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
8625, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( F `  y )  =  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )
8776, 81, 863eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )
8887oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  / 
( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  y )
)  /  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
89 efcl 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
9073, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y
) )  e.  CC )
91 efne0 12377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  =/=  0 )
9273, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y
) )  =/=  0
)
9390, 92dividd 9534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  y ) )  / 
( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
9488, 93eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  / 
( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
9569, 75, 943eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  (
x  -  y ) ) )  =  1 )
96 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( x  -  y
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  CC )
973, 28, 96sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  CC )
98 efeq1 19891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  x.  ( x  -  y ) )  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( x  -  y ) ) )  =  1  <->  (
( _i  x.  (
x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
9997, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  ( x  -  y
) ) )  =  1  <->  ( ( _i  x.  ( x  -  y ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
10095, 99mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
_i  x.  ( x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ )
10166, 100eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
102 nn0abscl 11797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )  e. 
NN0 )
103101, 102syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  e.  NN0 )
104 nn0lt10b 10078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( ( x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  ( ( x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  0 ) )
105103, 104syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )  <  1  <->  ( abs `  (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  0 ) )
10660, 105mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  0 )
10739, 106abs00d 11928 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
108 diveq0 9434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  -> 
( ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( x  -  y
)  =  0 ) )
10932, 36, 108mp3an23 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  (
( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) )  =  0  <->  (
x  -  y )  =  0 ) )
11028, 109syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <->  ( x  -  y )  =  0 ) )
111107, 110mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( x  -  y )  =  0 )
11224, 27, 111subeq0d 9165 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
113112ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
114113ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
115 dff13 5783 . . 3  |-  ( F : D -1-1-> C  <->  ( F : D --> C  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
11620, 114, 115sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-> C
)
117 rehalfcl 9938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
11830, 117ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
119118renegcli 9108 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
120 iccssre 10731 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  C_  RR )
121119, 118, 120mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
C_  RR
12219, 16efif1olem3 19906 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Im `  ( sqr `  x ) )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
123 resinf1o 19898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
124 efif1olem4.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
125 f1oeq1 5463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( S : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  <-> 
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
) ) )
126124, 125ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  <-> 
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
) )
127123, 126mpbir 200 . . . . . . . . . . 11  |-  S :
( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
128 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  ->  `' S :
( -u 1 [,] 1
)
-1-1-onto-> ( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )
129 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' S : ( -u
1 [,] 1 ) -1-1-onto-> (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  ->  `' S : ( -u 1 [,] 1 ) --> ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
130127, 128, 129mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  `' S : ( -u 1 [,] 1 ) --> ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )
131130ffvelrni 5664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( sqr `  x ) )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
132122, 131syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
133121, 132sseldi 3178 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  RR )
134 remulcl 8822 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
13529, 133, 134sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
136 efif1olem4.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
137136ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR  E. y  e.  D  ( ( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
138137adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  A. z  e.  RR  E. y  e.  D  ( ( z  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
139 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( z  -  y )  =  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y ) )
140139oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
141140eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( (
( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  <->  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
142141rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  D  (
( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  <->  E. y  e.  D  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
143142rspcv 2880 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR  ->  ( A. z  e.  RR  E. y  e.  D  ( ( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  E. y  e.  D  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
144135, 138, 143sylc 56 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. y  e.  D  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
145 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) ) )  =  1  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( 1  x.  ( exp `  (
_i  x.  y )
) ) )
1463a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  _i  e.  CC )
147135adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
148147recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )
1491ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  D  C_  RR )
150 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
151149, 150sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  RR )
152151recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  CC )
153146, 148, 152subdid 9235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  =  ( ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  -  (
_i  x.  y )
) )
154153oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  -  (
_i  x.  y )
)  +  ( _i  x.  y ) ) )
155 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  e.  CC )
1563, 148, 155sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  e.  CC )
1573, 152, 72sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  y )  e.  CC )
158156, 157npcand 9161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  -  ( _i  x.  y ) )  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( _i  x.  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
159154, 158eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( _i  x.  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
160159fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) )  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ) ) )
161148, 152subcld 9157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  e.  CC )
162 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC )
1633, 161, 162sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC )
164 efadd 12375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC  /\  (
_i  x.  y )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) )  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
165163, 157, 164syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) )  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
166133recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )
167 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
168 mul12 8978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
1693, 167, 168mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC  ->  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
170166, 169syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
171170fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ) )
172 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )
1733, 166, 172sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )
174 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
175 efexp 12381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 ) )
176173, 174, 175sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 ) )
177171, 176eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 ) )
178133recoscld 12424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  RR )
179 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  C )
180179, 16syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
181 fniniseg 5646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( x  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( abs `  x
)  =  1 ) ) )
18212, 181ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( abs `  x
)  =  1 ) )
183180, 182sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  =  1 ) )
184183simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  CC )
185184sqrcld 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
186185recld 11679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Re `  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
187 cosq14ge0 19879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
188132, 187syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  0  <_  ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
189184sqrrege0d 11920 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  0  <_  ( Re `  ( sqr `  x ) ) )
190 sincossq 12456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC  ->  ( (
( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
191166, 190syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
192184sqsqrd 11921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sqr `  x
) ^ 2 )  =  x )
193192fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  x ) )
194 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  NN0
195 absexp 11789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( sqr `  x
) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) )
196185, 194, 195sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )
197183simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  x )  =  1 )
198193, 196, 1973eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  1 )
199185absvalsq2d 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( sqr `  x
) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) ) )
200191, 198, 1993eqtr2d 2321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) ) )
201124fveq1i 5526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( S `
 ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )
202 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  (
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
203132, 202syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
204201, 203syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( S `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
205 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)  /\  ( Im `  ( sqr `  x
) )  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  ( S `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )
206127, 122, 205sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( S `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )
207204, 206eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )
208207oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )
209200, 208oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) ) )
210166sincld 12410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  CC )
211210sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
212166coscld 12411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  CC )
213212sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
214211, 213pncan2d 9159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 ) )
215186recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Re `  ( sqr `  x ) )  e.  CC )
216215sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( Re `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  e.  CC )
217208, 211eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  e.  CC )
218216, 217pncand 9158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( ( Re
`  ( sqr `  x
) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) )  -  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) )
219209, 214, 2183eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )
220178, 186, 188, 189, 219sq11d 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( Re `  ( sqr `  x ) ) )
221207oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )
222220, 221oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )
223 efival 12432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ) )
224166, 223syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ) )
225185replimd 11682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sqr `  x )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )
226222, 224, 2253eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( sqr `  x ) )
227226oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )
228177, 227, 1923eqtrd 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  x )
229228adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  x )
230160, 165, 2293eqtr3d 2323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  =  x )
231157, 89syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
232231mulid2d 8853 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
1  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
233230, 232eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  =  ( 1  x.  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  <-> 
x  =  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
234145, 233syl5ib 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1  ->  x  =  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
235 efeq1 19891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1  <->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
236163, 235syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1  <->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
237 divcan5 9462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y )  e.  CC  /\  (
( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )  ->  ( (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
23861, 63, 237mp3an23 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  e.  CC  ->  ( (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
239161, 238syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
240239eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ  <->  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
241236, 240bitr2d 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  <->  ( exp `  ( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1 ) )
24285adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( F `  y )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
243242eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
x  =  ( F `
 y )  <->  x  =  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) ) )
244234, 241, 2433imtr4d 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  x  =  ( F `  y ) ) )
245244reximdva 2655 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( E. y  e.  D  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) ) )
246144, 245mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) )
247246ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) )
248 dffo3 5675 . . 3  |-  ( F : D -onto-> C  <->  ( F : D --> C  /\  A. x  e.  C  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) ) )
24920, 247, 248sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  F : D -onto-> C
)
250 df-f1o 5262 . 2  |-  ( F : D -1-1-onto-> C  <->  ( F : D -1-1-> C  /\  F : D -onto-> C ) )
251116, 249, 250sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-onto-> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   [,]cicc 10659   ^cexp 11104   Recre 11582   Imcim 11583   sqrcsqr 11718   abscabs 11719   expce 12343   sincsin 12345   cosccos 12346   picpi 12348
This theorem is referenced by:  efif1o  19908  eff1olem  19910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
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