MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem4 Unicode version

Theorem efif1olem4 19923
Description: The exponential function of an imaginary number maps any interval of length  2 pi one-to-one onto the unit circle. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efif1o.1  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
efif1o.2  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
efif1olem4.3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
efif1olem4.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
efif1olem4.5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
efif1olem4.6  |-  S  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efif1olem4  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-onto-> C )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    w, C, x, y    x, F, y    ph, w, x, y, z   
y, S, z    w, D, x, y, z
Allowed substitution hints:    C( z)    S( x, w)    F( z, w)

Proof of Theorem efif1olem4
StepHypRef Expression
1 efif1olem4.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
21sselda 3193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  D )  ->  w  e.  RR )
3 ax-icn 8812 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
4 recn 8843 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  RR  ->  w  e.  CC )
5 mulcl 8837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( _i  x.  w
)  e.  CC )
63, 4, 5sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  RR  ->  (
_i  x.  w )  e.  CC )
7 efcl 12380 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  x.  w )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  CC )
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  CC )
9 absefi 12492 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )  =  1 )
10 absf 11837 . . . . . . . . 9  |-  abs : CC
--> RR
11 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  abs  Fn  CC
13 fniniseg 5662 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  w )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  w
) ) )  =  1 ) ) )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  w )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  w
) ) )  =  1 ) )
158, 9, 14sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( w  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
16 efif1o.2 . . . . . 6  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
1715, 16syl6eleqr 2387 . . . . 5  |-  ( w  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  C )
182, 17syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  D )  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  e.  C )
19 efif1o.1 . . . 4  |-  F  =  ( w  e.  D  |->  ( exp `  (
_i  x.  w )
) )
2018, 19fmptd 5700 . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> C )
211ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  D  C_  RR )
22 simplrl 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  e.  D )
2321, 22sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  e.  RR )
2423recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  e.  CC )
25 simplrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  y  e.  D )
2621, 25sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  y  e.  RR )
2726recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  y  e.  CC )
2824, 27subcld 9173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( x  -  y )  e.  CC )
29 2re 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
30 pire 19848 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR
3129, 30remulcli 8867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
3231recni 8865 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
33 2pos 9844 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
34 pipos 19849 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
3529, 30, 33, 34mulgt0ii 8968 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( 2  x.  pi )
3631, 35gt0ne0ii 9325 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  =/=  0
37 divcl 9446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  -> 
( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) )  e.  CC )
3832, 36, 37mp3an23 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
3928, 38syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
40 absdiv 11796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  -> 
( abs `  (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  ( abs `  (
2  x.  pi ) ) ) )
4132, 36, 40mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( abs `  ( 2  x.  pi ) ) ) )
4228, 41syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( abs `  ( 2  x.  pi ) ) ) )
43 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
4443, 31, 35ltleii 8957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  ( 2  x.  pi )
45 absid 11797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  pi ) )  ->  ( abs `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  pi ) )
4631, 44, 45mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  pi )
4746oveq2i 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  /  ( abs `  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) )
4842, 47syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) ) )
49 efif1olem4.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( abs `  (
x  -  y ) )  <  ( 2  x.  pi ) )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
2  x.  pi ) )
5132mulid1i 8855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  pi )  x.  1 )  =  ( 2  x.  pi )
5250, 51syl6breqr 4079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
( 2  x.  pi )  x.  1 ) )
5328abscld 11934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( x  -  y
) )  e.  RR )
54 1re 8853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
5531, 35pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  pi ) )
56 ltdivmul 9644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( abs `  (
x  -  y ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( 2  x.  pi )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  pi ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( x  -  y
) )  /  (
2  x.  pi ) )  <  1  <->  ( abs `  ( x  -  y ) )  < 
( ( 2  x.  pi )  x.  1 ) ) )
5754, 55, 56mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  e.  RR  ->  (
( ( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  <  1  <->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
( 2  x.  pi )  x.  1 ) ) )
5853, 57syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
( abs `  (
x  -  y ) )  /  ( 2  x.  pi ) )  <  1  <->  ( abs `  ( x  -  y
) )  <  (
( 2  x.  pi )  x.  1 ) ) )
5952, 58mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( abs `  ( x  -  y ) )  / 
( 2  x.  pi ) )  <  1
)
6048, 59eqbrtrd 4059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  <  1
)
6132, 36pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )
62 ine0 9231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _i  =/=  0
633, 62pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )
64 divcan5 9478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  =/=  0 )  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )  ->  ( (
_i  x.  ( x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )
6561, 63, 64mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  (
x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )
6628, 65syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
_i  x.  ( x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )
673a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  _i  e.  CC )
6867, 24, 27subdid 9251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  =  ( ( _i  x.  x
)  -  ( _i  x.  y ) ) )
6968fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  (
x  -  y ) ) )  =  ( exp `  ( ( _i  x.  x )  -  ( _i  x.  y ) ) ) )
70 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( _i  x.  x
)  e.  CC )
713, 24, 70sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  x )  e.  CC )
72 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( _i  x.  y
)  e.  CC )
733, 27, 72sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  y )  e.  CC )
74 efsub 12396 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( _i  x.  x
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  y
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
( _i  x.  x
)  -  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  /  ( exp `  (
_i  x.  y )
) ) )
7571, 73, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  x )  -  (
_i  x.  y )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  x )
)  /  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
76 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
77 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  x  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  x ) )
7877fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  x  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
79 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( exp `  ( _i  x.  x
) )  e.  _V
8078, 19, 79fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  D  ->  ( F `  x )  =  ( exp `  (
_i  x.  x )
) )
8122, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( F `  x )  =  ( exp `  ( _i  x.  x ) ) )
82 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  y  ->  (
_i  x.  w )  =  ( _i  x.  y ) )
8382fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  y  ->  ( exp `  ( _i  x.  w ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
84 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( exp `  ( _i  x.  y
) )  e.  _V
8583, 19, 84fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  D  ->  ( F `  y )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
8625, 85syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( F `  y )  =  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )
8776, 81, 863eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  x
) )  =  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )
8887oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  / 
( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  y )
)  /  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
89 efcl 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
9073, 89syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y
) )  e.  CC )
91 efne0 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  y )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  =/=  0 )
9273, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y
) )  =/=  0
)
9390, 92dividd 9550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  y ) )  / 
( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
9488, 93eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  x ) )  / 
( exp `  (
_i  x.  y )
) )  =  1 )
9569, 75, 943eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( exp `  ( _i  x.  (
x  -  y ) ) )  =  1 )
96 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( x  -  y
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  CC )
973, 28, 96sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( _i  x.  ( x  -  y
) )  e.  CC )
98 efeq1 19907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  x.  ( x  -  y ) )  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( x  -  y ) ) )  =  1  <->  (
( _i  x.  (
x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
9997, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  ( x  -  y
) ) )  =  1  <->  ( ( _i  x.  ( x  -  y ) )  / 
( _i  x.  (
2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
10095, 99mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
_i  x.  ( x  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ )
10166, 100eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
102 nn0abscl 11813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )  e. 
NN0 )
103101, 102syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  e.  NN0 )
104 nn0lt10b 10094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  ( ( x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  NN0  ->  ( ( abs `  ( ( x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  0 ) )
105103, 104syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) ) )  <  1  <->  ( abs `  (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )  =  0 ) )
10660, 105mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( abs `  ( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) ) )  =  0 )
10739, 106abs00d 11944 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
x  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  0 )
108 diveq0 9450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  -  y
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  -> 
( ( ( x  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  =  0  <-> 
( x  -  y
)  =  0 ) )
10932, 36, 108mp3an23 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  -  y )  e.  CC  ->  (
( ( x  -  y )  /  (
2  x.  pi ) )  =  0  <->  (
x  -  y )  =  0 ) )
11028, 109syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( (
( x  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  =  0  <->  ( x  -  y )  =  0 ) )
111107, 110mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  ( x  -  y )  =  0 )
11224, 27, 111subeq0d 9181 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  D  /\  y  e.  D )
)  /\  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )  ->  x  =  y )
113112ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
114113ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
115 dff13 5799 . . 3  |-  ( F : D -1-1-> C  <->  ( F : D --> C  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
11620, 114, 115sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-> C
)
117 rehalfcl 9954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
11830, 117ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
119118renegcli 9124 . . . . . . . . 9  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
120 iccssre 10747 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  C_  RR )
121119, 118, 120mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
C_  RR
12219, 16efif1olem3 19922 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Im `  ( sqr `  x ) )  e.  ( -u 1 [,] 1 ) )
123 resinf1o 19914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
124 efif1olem4.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
125 f1oeq1 5479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  =  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( S : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  <-> 
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
) ) )
126124, 125ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  <-> 
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
) )
127123, 126mpbir 200 . . . . . . . . . . 11  |-  S :
( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
128 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  ->  `' S :
( -u 1 [,] 1
)
-1-1-onto-> ( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )
129 f1of 5488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' S : ( -u
1 [,] 1 ) -1-1-onto-> (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  ->  `' S : ( -u 1 [,] 1 ) --> ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
130127, 128, 129mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  `' S : ( -u 1 [,] 1 ) --> ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )
131130ffvelrni 5680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Im `  ( sqr `  x ) )  e.  ( -u 1 [,] 1 )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
132122, 131syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
133121, 132sseldi 3191 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  RR )
134 remulcl 8838 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
13529, 133, 134sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
136 efif1olem4.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  D  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
137136ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR  E. y  e.  D  ( ( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
138137adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  A. z  e.  RR  E. y  e.  D  ( ( z  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
139 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( z  -  y )  =  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y ) )
140139oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( (
z  -  y )  /  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
141140eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( (
( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  <->  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
142141rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  ->  ( E. y  e.  D  (
( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  <->  E. y  e.  D  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
143142rspcv 2893 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR  ->  ( A. z  e.  RR  E. y  e.  D  ( ( z  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  E. y  e.  D  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
144135, 138, 143sylc 56 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. y  e.  D  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ )
145 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) ) )  =  1  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( 1  x.  ( exp `  (
_i  x.  y )
) ) )
1463a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  _i  e.  CC )
147135adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
148147recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )
1491ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  D  C_  RR )
150 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
151149, 150sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  RR )
152151recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  CC )
153146, 148, 152subdid 9251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  =  ( ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  -  (
_i  x.  y )
) )
154153oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  -  (
_i  x.  y )
)  +  ( _i  x.  y ) ) )
155 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  e.  CC )
1563, 148, 155sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  e.  CC )
1573, 152, 72sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  y )  e.  CC )
158156, 157npcand 9177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  -  ( _i  x.  y ) )  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( _i  x.  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
159154, 158eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( _i  x.  (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
160159fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) )  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ) ) )
161148, 152subcld 9173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  e.  CC )
162 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC )
1633, 161, 162sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC )
164 efadd 12391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC  /\  (
_i  x.  y )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) )  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
165163, 157, 164syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
) )  +  ( _i  x.  y ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
166133recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )
167 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
168 mul12 8994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
1693, 167, 168mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC  ->  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
170166, 169syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )
171170fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ) )
172 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )
1733, 166, 172sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC )
174 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
175 efexp 12397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  CC  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 ) )
176173, 174, 175sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( 2  x.  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 ) )
177171, 176eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 ) )
178133recoscld 12440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  RR )
179 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  C )
180179, 16syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
181 fniniseg 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( x  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( abs `  x
)  =  1 ) ) )
18212, 181ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( abs `  x
)  =  1 ) )
183180, 182sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  =  1 ) )
184183simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  x  e.  CC )
185184sqrcld 11935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
186185recld 11695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Re `  ( sqr `  x ) )  e.  RR )
187 cosq14ge0 19895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
188132, 187syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  0  <_  ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
189184sqrrege0d 11936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  0  <_  ( Re `  ( sqr `  x ) ) )
190 sincossq 12472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC  ->  ( (
( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
191166, 190syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  1 )
192184sqsqrd 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sqr `  x
) ^ 2 )  =  x )
193192fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )  =  ( abs `  x ) )
194 2nn0 9998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  NN0
195 absexp 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( sqr `  x
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( sqr `  x
) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) )
196185, 194, 195sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )
197183simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( abs `  x )  =  1 )
198193, 196, 1973eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  1 )
199185absvalsq2d 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( abs `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( sqr `  x
) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) ) )
200191, 198, 1993eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) ) )
201124fveq1i 5542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( S `
 ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )
202 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  (
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
203132, 202syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
204201, 203syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( S `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )
205 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)  /\  ( Im `  ( sqr `  x
) )  e.  (
-u 1 [,] 1
) )  ->  ( S `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )
206127, 122, 205sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( S `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) )  =  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )
207204, 206eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( Im `  ( sqr `  x ) ) )
208207oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )
209200, 208oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) ) )
210166sincld 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  CC )
211210sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
212166coscld 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  CC )
213212sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
214211, 213pncan2d 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) ^ 2 ) )
215186recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
Re `  ( sqr `  x ) )  e.  CC )
216215sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( Re `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  e.  CC )
217208, 211eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 )  e.  CC )
218216, 217pncand 9174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( ( ( Re
`  ( sqr `  x
) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) )  -  ( ( Im `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^
2 ) )
219209, 214, 2183eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) ) ^ 2 ) )
220178, 186, 188, 189, 219sq11d 11297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( cos `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( Re `  ( sqr `  x ) ) )
221207oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
_i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )
222220, 221oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )
223 efival 12448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ) )
224166, 223syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( ( cos `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ) )
225185replimd 11698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( sqr `  x )  =  ( ( Re `  ( sqr `  x ) )  +  ( _i  x.  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) ) )
226222, 224, 2253eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) )  =  ( sqr `  x ) )
227226oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x
) ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  x ) ^ 2 ) )
228177, 227, 1923eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  x )
229228adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( _i  x.  ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) ) ) )  =  x )
230160, 165, 2293eqtr3d 2336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  =  x )
231157, 89syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( exp `  ( _i  x.  y ) )  e.  CC )
232231mulid2d 8869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
1  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
233230, 232eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  x.  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) )  =  ( 1  x.  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) )  <-> 
x  =  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
234145, 233syl5ib 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1  ->  x  =  ( exp `  ( _i  x.  y
) ) ) )
235 efeq1 19907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  e.  CC  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1  <->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
236163, 235syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( exp `  (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1  <->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ ) )
237 divcan5 9478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y )  e.  CC  /\  (
( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  (
2  x.  pi )  =/=  0 )  /\  ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 ) )  ->  ( (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
23861, 63, 237mp3an23 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  e.  CC  ->  ( (
_i  x.  ( (
2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
239161, 238syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) ) )
240239eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y ) )  /  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) ) )  e.  ZZ  <->  ( (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y )  / 
( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ ) )
241236, 240bitr2d 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  <->  ( exp `  ( _i  x.  (
( 2  x.  ( `' S `  ( Im
`  ( sqr `  x
) ) ) )  -  y ) ) )  =  1 ) )
24285adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  ( F `  y )  =  ( exp `  (
_i  x.  y )
) )
243242eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
x  =  ( F `
 y )  <->  x  =  ( exp `  ( _i  x.  y ) ) ) )
244234, 241, 2433imtr4d 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  C )  /\  y  e.  D )  ->  (
( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  x  =  ( F `  y ) ) )
245244reximdva 2668 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  ( E. y  e.  D  ( ( ( 2  x.  ( `' S `  ( Im `  ( sqr `  x ) ) ) )  -  y
)  /  ( 2  x.  pi ) )  e.  ZZ  ->  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) ) )
246144, 245mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  C )  ->  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) )
247246ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) )
248 dffo3 5691 . . 3  |-  ( F : D -onto-> C  <->  ( F : D --> C  /\  A. x  e.  C  E. y  e.  D  x  =  ( F `  y ) ) )
24920, 247, 248sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  F : D -onto-> C
)
250 df-f1o 5278 . 2  |-  ( F : D -1-1-onto-> C  <->  ( F : D -1-1-> C  /\  F : D -onto-> C ) )
251116, 249, 250sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  F : D -1-1-onto-> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704    |` cres 4707   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   [,]cicc 10675   ^cexp 11120   Recre 11598   Imcim 11599   sqrcsqr 11734   abscabs 11735   expce 12359   sincsin 12361   cosccos 12362   picpi 12364
This theorem is referenced by:  efif1o  19924  eff1olem  19926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233
  Copyright terms: Public domain W3C validator