MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efifo Structured version   Unicode version

Theorem efifo 20480
Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efifo.1  |-  F  =  ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
efifo.2  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
Assertion
Ref Expression
efifo  |-  F : RR -onto-> C
Distinct variable group:    z, C
Allowed substitution hint:    F( z)

Proof of Theorem efifo
StepHypRef Expression
1 efifo.1 . . . 4  |-  F  =  ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
2 ax-icn 9080 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
3 recn 9111 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
4 mulcl 9105 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( _i  x.  z
)  e.  CC )
52, 3, 4sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR  ->  (
_i  x.  z )  e.  CC )
6 efcl 12716 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  z )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  CC )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  CC )
8 absefi 12828 . . . . . 6  |-  ( z  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )  =  1 )
9 absf 12172 . . . . . . 7  |-  abs : CC
--> RR
10 ffn 5620 . . . . . . 7  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
11 fniniseg 5880 . . . . . . 7  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  z )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  1 ) ) )
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  z )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  1 ) )
137, 8, 12sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
14 efifo.2 . . . . 5  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
1513, 14syl6eleqr 2533 . . . 4  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  C )
161, 15fmpti 5921 . . 3  |-  F : RR
--> C
17 ffn 5620 . . 3  |-  ( F : RR --> C  ->  F  Fn  RR )
1816, 17ax-mp 5 . 2  |-  F  Fn  RR
19 frn 5626 . . . 4  |-  ( F : RR --> C  ->  ran  F  C_  C )
2016, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ran  F  C_  C
21 df-ima 4920 . . . . 5  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ran  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )
221reseq1i 5171 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )
23 0xr 9162 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
24 2re 10100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
25 pire 20403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
2624, 25remulcli 9135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
27 elioc2 11004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR )  -> 
( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( z  e.  RR  /\  0  <  z  /\  z  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
2823, 26, 27mp2an 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( z  e.  RR  /\  0  < 
z  /\  z  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
2928simp1bi 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  ->  z  e.  RR )
3029ssriv 3338 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  C_  RR
31 resmpt 5220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
C_  RR  ->  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
3322, 32eqtri 2462 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
3433rneqi 5125 . . . . . 6  |-  ran  ( F  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ran  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
35 0re 9122 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
36 eqid 2442 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
3726recni 9133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
3837addid2i 9285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  pi )
3938oveq2i 6121 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,] ( 0  +  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )
4039eqcomi 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  =  ( 0 (,] (
0  +  ( 2  x.  pi ) ) )
4136, 14, 40efif1o 20479 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C )
4235, 41ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) ) : ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C
43 f1ofo 5710 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C  -> 
( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )
-onto-> C )
44 forn 5685 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -onto-> C  ->  ran  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )  =  C )
4542, 43, 44mp2b 10 . . . . . 6  |-  ran  (
z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  =  C
4634, 45eqtri 2462 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  C
4721, 46eqtri 2462 . . . 4  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  C
48 imassrn 5245 . . . 4  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  C_  ran  F
4947, 48eqsstr3i 3365 . . 3  |-  C  C_  ran  F
5020, 49eqssi 3350 . 2  |-  ran  F  =  C
51 df-fo 5489 . 2  |-  ( F : RR -onto-> C  <->  ( F  Fn  RR  /\  ran  F  =  C ) )
5218, 50, 51mpbir2an 888 1  |-  F : RR -onto-> C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727    C_ wss 3306   {csn 3838   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291   `'ccnv 4906   ran crn 4908    |` cres 4909   "cima 4910    Fn wfn 5478   -->wf 5479   -onto->wfo 5481   -1-1-onto->wf1o 5482   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022   _ici 9023    + caddc 9024    x. cmul 9026   RR*cxr 9150    < clt 9151    <_ cle 9152   2c2 10080   (,]cioc 10948   abscabs 12070   expce 12695   picpi 12700
This theorem is referenced by:  circgrp  21993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ioc 10952  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-mod 11282  df-seq 11355  df-exp 11414  df-fac 11598  df-bc 11625  df-hash 11650  df-shft 11913  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-limsup 12296  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-ef 12701  df-sin 12703  df-cos 12704  df-pi 12706  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-hom 13584  df-cco 13585  df-rest 13681  df-topn 13682  df-topgen 13698  df-pt 13699  df-prds 13702  df-xrs 13757  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-qtop 13764  df-imas 13765  df-xps 13767  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-fbas 16730  df-fg 16731  df-cnfld 16735  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-topsp 16998  df-cld 17114  df-ntr 17115  df-cls 17116  df-nei 17193  df-lp 17231  df-perf 17232  df-cn 17322  df-cnp 17323  df-haus 17410  df-tx 17625  df-hmeo 17818  df-fil 17909  df-fm 18001  df-flim 18002  df-flf 18003  df-xms 18381  df-ms 18382  df-tms 18383  df-cncf 18939  df-limc 19784  df-dv 19785
  Copyright terms: Public domain W3C validator