MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efifo Unicode version

Theorem efifo 19909
Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efifo.1  |-  F  =  ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
efifo.2  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
Assertion
Ref Expression
efifo  |-  F : RR -onto-> C
Distinct variable group:    z, C
Allowed substitution hint:    F( z)

Proof of Theorem efifo
StepHypRef Expression
1 efifo.1 . . . 4  |-  F  =  ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
2 ax-icn 8796 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
3 recn 8827 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
4 mulcl 8821 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( _i  x.  z
)  e.  CC )
52, 3, 4sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  RR  ->  (
_i  x.  z )  e.  CC )
6 efcl 12364 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  z )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  CC )
75, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  CC )
8 absefi 12476 . . . . . 6  |-  ( z  e.  RR  ->  ( abs `  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )  =  1 )
9 absf 11821 . . . . . . 7  |-  abs : CC
--> RR
10 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
11 fniniseg 5646 . . . . . . 7  |-  ( abs 
Fn  CC  ->  ( ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  z )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  1 ) ) )
129, 10, 11mp2b 9 . . . . . 6  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " { 1 } )  <-> 
( ( exp `  (
_i  x.  z )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  1 ) )
137, 8, 12sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  ( `' abs " {
1 } ) )
14 efifo.2 . . . . 5  |-  C  =  ( `' abs " {
1 } )
1513, 14syl6eleqr 2374 . . . 4  |-  ( z  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  z ) )  e.  C )
161, 15fmpti 5683 . . 3  |-  F : RR
--> C
17 ffn 5389 . . 3  |-  ( F : RR --> C  ->  F  Fn  RR )
1816, 17ax-mp 8 . 2  |-  F  Fn  RR
19 frn 5395 . . . 4  |-  ( F : RR --> C  ->  ran  F  C_  C )
2016, 19ax-mp 8 . . 3  |-  ran  F  C_  C
21 df-ima 4702 . . . . 5  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ran  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )
221reseq1i 4951 . . . . . . . 8  |-  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )  =  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )
23 0xr 8878 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
24 2re 9815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
25 pire 19832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
2624, 25remulcli 8851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
27 elioc2 10713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR )  -> 
( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  <-> 
( z  e.  RR  /\  0  <  z  /\  z  <_  ( 2  x.  pi ) ) ) )
2823, 26, 27mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  <->  ( z  e.  RR  /\  0  < 
z  /\  z  <_  ( 2  x.  pi ) ) )
2928simp1bi 970 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  ->  z  e.  RR )
3029ssriv 3184 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  C_  RR
31 resmpt 5000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
C_  RR  ->  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) ) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  RR  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
3322, 32eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )
3433rneqi 4905 . . . . . 6  |-  ran  ( F  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  ran  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
35 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
36 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) )  =  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )
3726recni 8849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
3837addid2i 9000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  pi )
3938oveq2i 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 (,] ( 0  +  ( 2  x.  pi ) ) )  =  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )
4039eqcomi 2287 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  =  ( 0 (,] (
0  +  ( 2  x.  pi ) ) )
4136, 14, 40efif1o 19908 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C )
4235, 41ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z
) ) ) : ( 0 (,] (
2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C
43 f1ofo 5479 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -1-1-onto-> C  -> 
( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) 
|->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )
-onto-> C )
44 forn 5454 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) ) : ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) -onto-> C  ->  ran  ( z  e.  ( 0 (,] (
2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  (
_i  x.  z )
) )  =  C )
4542, 43, 44mp2b 9 . . . . . 6  |-  ran  (
z  e.  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) )  |->  ( exp `  ( _i  x.  z ) ) )  =  C
4634, 45eqtri 2303 . . . . 5  |-  ran  ( F  |`  ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  C
4721, 46eqtri 2303 . . . 4  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  =  C
48 imassrn 5025 . . . 4  |-  ( F
" ( 0 (,] ( 2  x.  pi ) ) )  C_  ran  F
4947, 48eqsstr3i 3209 . . 3  |-  C  C_  ran  F
5020, 49eqssi 3195 . 2  |-  ran  F  =  C
51 df-fo 5261 . 2  |-  ( F : RR -onto-> C  <->  ( F  Fn  RR  /\  ran  F  =  C ) )
5218, 50, 51mpbir2an 886 1  |-  F : RR -onto-> C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   2c2 9795   (,]cioc 10657   abscabs 11719   expce 12343   picpi 12348
This theorem is referenced by:  circgrp  21041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217
  Copyright terms: Public domain W3C validator