Theorem efifolem7 8728

Description: Lemma for efifo 8729.

Assertion

Ref	Expression
efifolem7	|- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))Z = (exp` (i x. a)))

Distinct variable group:   Z,a

Proof of Theorem efifolem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 5435	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
2		0re 5440	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
3		lt01 5680	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
4	2, 1, 3	ltlei 5581	. . . . . . . 8 |- 0 <_ 1
5	1, 4	pm3.2i 285	. . . . . . 7 |- (1 e. RR /\ 0 <_ 1)
6		sq11t 6629	. . . . . . 7 |- ((((abs` Z) e. RR /\ 0 <_ (abs` Z)) /\ (1 e. RR /\ 0 <_ 1)) -> (((abs` Z)^2) = (1^2) <-> (abs` Z) = 1))
7	5, 6	mpan2 696	. . . . . 6 |- (((abs` Z) e. RR /\ 0 <_ (abs` Z)) -> (((abs` Z)^2) = (1^2) <-> (abs` Z) = 1))
8		absclt 6833	. . . . . 6 |- (Z e. CC -> (abs` Z) e. RR)
9		absge0t 6854	. . . . . 6 |- (Z e. CC -> 0 <_ (abs` Z))
10	7, 8, 9	sylanc 471	. . . . 5 |- (Z e. CC -> (((abs` Z)^2) = (1^2) <-> (abs` Z) = 1))
11	10	biimpar 417	. . . 4 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> ((abs` Z)^2) = (1^2))
12		sq1 6637	. . . 4 |- (1^2) = 1
13	11, 12	syl6eq 1523	. . 3 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> ((abs` Z)^2) = 1)
14		efifolem6 8727	. . . . 5 |- (((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR /\ (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1) -> ((Im` Z) = 0 -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
15		efifolem5 8726	. . . . 5 |- (((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR /\ (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1) -> ((Im` Z) =/= 0 -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
16	14, 15	pm2.61dne 1635	. . . 4 |- (((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR /\ (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a)))
17		reclt 6757	. . . . 5 |- (Z e. CC -> (Re` Z) e. RR)
18	17	adantr 389	. . . 4 |- ((Z e. CC /\ ((abs` Z)^2) = 1) -> (Re` Z) e. RR)
19		imclt 6758	. . . . 5 |- (Z e. CC -> (Im` Z) e. RR)
20	19	adantr 389	. . . 4 |- ((Z e. CC /\ ((abs` Z)^2) = 1) -> (Im` Z) e. RR)
21		absvalsq2t 6836	. . . . . 6 |- (Z e. CC -> ((abs` Z)^2) = (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)))
22	21	eqeq1d 1483	. . . . 5 |- (Z e. CC -> (((abs` Z)^2) = 1 <-> (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1))
23	22	biimpa 416	. . . 4 |- ((Z e. CC /\ ((abs` Z)^2) = 1) -> (((Re` Z)^2) + ((Im` Z)^2)) = 1)
24	16, 18, 20, 23	syl3anc 858	. . 3 |- ((Z e. CC /\ ((abs` Z)^2) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a)))
25	13, 24	syldan 467	. 2 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a)))
26		replimt 6761	. . . . . . 7 |- (Z e. CC -> Z = ((Re` Z) + (i x. (Im` Z))))
27		recnt 5313	. . . . . . . 8 |- (a e. RR -> a e. CC)
28		efivalt 7447	. . . . . . . 8 |- (a e. CC -> (exp` (i x. a)) = ((cos` a) + (i x. (sin` a))))
29	27, 28	syl 10	. . . . . . 7 |- (a e. RR -> (exp` (i x. a)) = ((cos` a) + (i x. (sin` a))))
30	26, 29	eqeqan12d 1490	. . . . . 6 |- ((Z e. CC /\ a e. RR) -> (Z = (exp` (i x. a)) <-> ((Re` Z) + (i x. (Im` Z))) = ((cos` a) + (i x. (sin` a)))))
31		crut 6738	. . . . . . 7 |- ((((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR) /\ ((cos` a) e. RR /\ (sin` a) e. RR)) -> (((Re` Z) + (i x. (Im` Z))) = ((cos` a) + (i x. (sin` a))) <-> ((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
32	17, 19	jca 288	. . . . . . 7 |- (Z e. CC -> ((Re` Z) e. RR /\ (Im` Z) e. RR))
33		recosclt 7439	. . . . . . . 8 |- (a e. RR -> (cos` a) e. RR)
34		resinclt 7438	. . . . . . . 8 |- (a e. RR -> (sin` a) e. RR)
35	33, 34	jca 288	. . . . . . 7 |- (a e. RR -> ((cos` a) e. RR /\ (sin` a) e. RR))
36	31, 32, 35	syl2an 454	. . . . . 6 |- ((Z e. CC /\ a e. RR) -> (((Re` Z) + (i x. (Im` Z))) = ((cos` a) + (i x. (sin` a))) <-> ((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
37	30, 36	bitrd 528	. . . . 5 |- ((Z e. CC /\ a e. RR) -> (Z = (exp` (i x. a)) <-> ((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
38		2re 5979	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
39		pire 8677	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
40	38, 39	remulcl 5335	. . . . . . . 8 |- (2 x. pi) e. RR
41		elico2t 6391	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ (2 x. pi) e. RR) -> (a e. (0[,)(2 x. pi)) <-> (a e. RR /\ 0 <_ a /\ a < (2 x. pi))))
42	2, 40, 41	mp2an 697	. . . . . . 7 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) <-> (a e. RR /\ 0 <_ a /\ a < (2 x. pi)))
43	42	biimp 151	. . . . . 6 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) -> (a e. RR /\ 0 <_ a /\ a < (2 x. pi)))
44	43	3simp1d 794	. . . . 5 |- (a e. (0[,)(2 x. pi)) -> a e. RR)
45	37, 44	sylan2 451	. . . 4 |- ((Z e. CC /\ a e. (0[,)(2 x. pi))) -> (Z = (exp` (i x. a)) <-> ((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
46	45	rexbidva 1660	. . 3 |- (Z e. CC -> (E.a e. (0[,)(2 x. pi))Z = (exp` (i x. a)) <-> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
47	46	adantr 389	. 2 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> (E.a e. (0[,)(2 x. pi))Z = (exp` (i x. a)) <-> E.a e. (0[,)(2 x. pi))((Re` Z) = (cos` a) /\ (Im` Z) = (sin` a))))
48	25, 47	mpbird 196	1 |- ((Z e. CC /\ (abs` Z) = 1) -> E.a e. (0[,)(2 x. pi))Z = (exp` (i x. a)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235  ici 5236   + caddc 5237   x. cmul 5239   <_ cle 5295   < clt 5486  2c2 5961  [,)cico 6359  ^cexp 6568  Recre 6747  Imcim 6748  abscabs 6750  expce 7293  sincsin 7295  cosccos 7296  picpi 7297

This theorem is referenced by:  efifo 8729  circgrp 8740

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487