Theorem efm1lim 7351

Description: Series convergence to the exponential function minus 1. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
efm1lim.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
efm1lim.2	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
efm1lim	|- (<.1, + >. seq F) ~~> ((exp` A) - 1)

Distinct variable group:   A,j,y

Proof of Theorem efm1lim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 6060	. . . 4 |- 0 e. NN0
2		nn0uz 6370	. . . 4 |- NN0 = (ZZ>` 0)
3	1, 2	eleqtr 1538	. . 3 |- 0 e. (ZZ>` 0)
4		nn0ex 6052	. . . . 5 |- NN0 e. V
5		efm1lim.1	. . . . 5 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
6	4, 5	fopabex2 3598	. . . 4 |- F e. V
7		fvex 3717	. . . 4 |- (exp` A) e. V
8		addex 5289	. . . . . 6 |- + e. V
9	8, 6	seq0seqz 6474	. . . . 5 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
10		efm1lim.2	. . . . . 6 |- A e. CC
11	5	efcvg 7256	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ( + seq0 F) ~~> (exp` A))
12	10, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( + seq0 F) ~~> (exp` A)
13	9, 12	eqbrtrr 2626	. . . 4 |- (<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A)
14		eftclt 7245	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ j e. NN0) -> ((A^j) / (!` j)) e. CC)
15	10, 14	mpan 693	. . . . . 6 |- (j e. NN0 -> ((A^j) / (!` j)) e. CC)
16	5, 15	fopab 3812	. . . . 5 |- F:NN0-->CC
17		feq2 3607	. . . . . 6 |- (NN0 = (ZZ>` 0) -> (F:NN0-->CC <-> F:(ZZ>` 0)-->CC))
18	2, 17	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F:NN0-->CC <-> F:(ZZ>` 0)-->CC)
19	16, 18	mpbi 189	. . . 4 |- F:(ZZ>` 0)-->CC
20	6, 7, 13, 19	clim2serz 7081	. . 3 |- (0 e. (ZZ>` 0) -> (<.(0 + 1), + >. seq F) ~~> ((exp` A) - ((<.0, + >. seq F)` 0)))
21	3, 20	ax-mp 7	. 2 |- (<.(0 + 1), + >. seq F) ~~> ((exp` A) - ((<.0, + >. seq F)` 0))
22		ax1cn 5241	. . . . 5 |- 1 e. CC
23	22	addid2 5303	. . . 4 |- (0 + 1) = 1
24	23	opeq1i 2481	. . 3 |- <.(0 + 1), + >. = <.1, + >.
25	24	opreq1i 3956	. 2 |- (<.(0 + 1), + >. seq F) = (<.1, + >. seq F)
26		0z 6093	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
27	8, 6	seqz1 6479	. . . . 5 |- (0 e. ZZ -> ((<.0, + >. seq F)` 0) = (F` 0))
28	26, 27	ax-mp 7	. . . 4 |- ((<.0, + >. seq F)` 0) = (F` 0)
29	5, 10	eft0val 7339	. . . 4 |- (F` 0) = 1
30	28, 29	eqtr 1487	. . 3 |- ((<.0, + >. seq F)` 0) = 1
31	30	opreq2i 3957	. 2 |- ((exp` A) - ((<.0, + >. seq F)` 0)) = ((exp` A) - 1)
32	21, 25, 31	3brtr3 2632	1 |- (<.1, + >. seq F) ~~> ((exp` A) - 1)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  <.cop 2401   class class class wbr 2609  {copab 2656  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   - cmin 5264   / cdiv 5266  NN0cn0 5269  ZZcz 5270  ZZ>cuz 6349   seq cseqz 6463   seq0 cseq0 6464  ^cexp 6500  !cfa 6868   ~~> cli 6912  expce 7235

This theorem is referenced by:  absefm1le 7352

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-clim 6913  df-sum 6918  df-ef 7240

Copyright terms: Public domain