MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmival Structured version   Unicode version

Theorem efmival 12785
Description: The exponential function in terms of sine and cosine. (Contributed by NM, 14-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
efmival  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )

Proof of Theorem efmival
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9080 . . . 4  |-  _i  e.  CC
2 mulneg12 9503 . . . 4  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u A
) )
31, 2mpan 653 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  A )  =  ( _i  x.  -u A ) )
43fveq2d 5761 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( exp `  (
_i  x.  -u A ) ) )
5 negcl 9337 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
6 efival 12784 . . . 4  |-  ( -u A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  -u A )  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A ) ) ) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  -u A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) ) ) )
8 cosneg 12779 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  -u A )  =  ( cos `  A
) )
9 sinneg 12778 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  -u A )  = 
-u ( sin `  A
) )
109oveq2d 6126 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sin `  -u A ) )  =  ( _i  x.  -u ( sin `  A ) ) )
11 sincl 12758 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
12 mulneg2 9502 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u ( sin `  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
131, 11, 12sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( sin `  A ) )  = 
-u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
1410, 13eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sin `  -u A ) )  = 
-u ( _i  x.  ( sin `  A ) ) )
158, 14oveq12d 6128 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  -u A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) ) )  =  ( ( cos `  A
)  +  -u (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
16 coscl 12759 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
17 mulcl 9105 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
181, 11, 17sylancr 646 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( sin `  A ) )  e.  CC )
1916, 18negsubd 9448 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  A
)  +  -u (
_i  x.  ( sin `  A ) ) )  =  ( ( cos `  A )  -  (
_i  x.  ( sin `  A ) ) ) )
2015, 19eqtrd 2474 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( cos `  -u A
)  +  ( _i  x.  ( sin `  -u A
) ) )  =  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
217, 20eqtrd 2474 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  -u A ) )  =  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
224, 21eqtrd 2474 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( ( cos `  A
)  -  ( _i  x.  ( sin `  A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   CCcc 9019   _ici 9023    + caddc 9024    x. cmul 9026    - cmin 9322   -ucneg 9323   expce 12695   sincsin 12697   cosccos 12698
This theorem is referenced by:  sinadd  12796  cosadd  12797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-ico 10953  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-seq 11355  df-exp 11414  df-fac 11598  df-hash 11650  df-shft 11913  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-limsup 12296  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-ef 12701  df-sin 12703  df-cos 12704
  Copyright terms: Public domain W3C validator