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Theorem efopn 20005
Description: The exponential map is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efopn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
efopn  |-  ( S  e.  J  ->  ( exp " S )  e.  J )

Proof of Theorem efopn
Dummy variables  w  r  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efopn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtopon 18292 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
3 toponss 16667 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  e.  J )  ->  S  C_  CC )
42, 3mpan 651 . . . . . 6  |-  ( S  e.  J  ->  S  C_  CC )
54sselda 3180 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
6 cnxmet 18282 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
7 pire 19832 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
8 pipos 19833 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
97, 8elrpii 10357 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR+
101cnfldtopn 18291 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1110mopni3 18040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  e.  J  /\  x  e.  S
)  /\  pi  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  < 
pi  /\  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  S )
)
129, 11mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S ) )
136, 12mp3an1 1264 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S ) )
14 imass2 5049 . . . . . . . 8  |-  ( ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  S  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) )
15 imassrn 5025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ran  exp
16 eff 12363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  exp : CC
--> CC
17 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  ran 
exp  C_  CC )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  exp  C_  CC
1915, 18sstri 3188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  CC
20 sseqin2 3388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  CC 
<->  ( CC  i^i  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
2119, 20mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
i^i  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
22 rpxr 10361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
23 blssm 17968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
246, 23mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )
2522, 24sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
2726sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  y  e.  CC )
28 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  x  e.  CC )
2928ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  x  e.  CC )
3027, 29subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  -  x )  e.  CC )
3130subid1d 9146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x )  -  0 )  =  ( y  -  x
) )
3231fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs `  ( ( y  -  x )  -  0 ) )  =  ( abs `  ( y  -  x ) ) )
33 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
34 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3534cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  -  x
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( y  -  x ) ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( ( y  -  x )  -  0 ) ) )
3630, 33, 35sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  (
( y  -  x
)  -  0 ) ) )
3734cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
3827, 29, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  =  ( abs `  ( y  -  x ) ) )
3932, 36, 383eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( y ( abs 
o.  -  ) x
) )
40 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
416a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
42 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  r  e.  RR+ )
4342adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR+ )
4443rpxrd 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR* )
45 elbl3 17951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  <  r
) )
4641, 44, 29, 27, 45syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( y ( abs 
o.  -  ) x
)  <  r )
)
4740, 46mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  <  r
)
4839, 47eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  < 
r )
4933a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  0  e.  CC )
50 elbl3 17951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  ( y  -  x )  e.  CC ) )  -> 
( ( y  -  x )  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  < 
r ) )
5141, 44, 49, 30, 50syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x )  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( y  -  x ) ( abs  o.  -  )
0 )  <  r
) )
5248, 51mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  -  x )  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
53 efsub 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( exp `  (
y  -  x ) )  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) ) )
5427, 29, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  ( y  -  x
) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )
55 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( y  -  x )  ->  ( exp `  w )  =  ( exp `  (
y  -  x ) ) )
5655eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( y  -  x )  ->  (
( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) )  <->  ( exp `  ( y  -  x
) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) ) )
5756rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  -  x
)  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( exp `  ( y  -  x ) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )
5852, 54, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) ) )
59 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  (
( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
6059eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  (
( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) )  <->  ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
6160rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  ( E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
6258, 61syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  y )  =  z  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
6362rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
64 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( exp `  w )  =  ( z  / 
( exp `  x
) )  <->  ( z  /  ( exp `  x
) )  =  ( exp `  w ) )
65 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  z  e.  CC )
6628ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  x  e.  CC )
67 efcl 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6942rpxrd 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  r  e.  RR* )
70 blssm 17968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
716, 33, 70mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( r  e.  RR*  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
7269, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
7372sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  w  e.  CC )
74 efcl 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  CC  ->  ( exp `  w )  e.  CC )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  w )  e.  CC )
76 efne0 12377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
7766, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  x )  =/=  0
)
7865, 68, 75, 77divmuld 9558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
z  /  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  w
)  <->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w ) )  =  z ) )
7964, 78syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  <-> 
( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z ) )
8066, 73pncan2d 9159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  -  x )  =  w )
8173subid1d 9146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w  -  0 )  =  w )
8280, 81eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  -  x )  =  ( w  -  0 ) )
8382fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs `  ( ( x  +  w )  -  x
) )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8466, 73addcld 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( x  +  w )  e.  CC )
8534cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  +  w
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  +  w ) ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( ( x  +  w )  -  x
) ) )
8684, 66, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  (
( x  +  w
)  -  x ) ) )
8734cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( w ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8873, 33, 87sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8983, 86, 883eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  =  ( w ( abs 
o.  -  ) 0 ) )
90 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
916a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
9242adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR+ )
9392rpxrd 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR* )
9433a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  0  e.  CC )
95 elbl3 17951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  <  r
) )
9691, 93, 94, 73, 95syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( w ( abs 
o.  -  ) 0 )  <  r ) )
9790, 96mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  <  r
)
9889, 97eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  < 
r )
99 elbl3 17951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( x  e.  CC  /\  ( x  +  w )  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  w )  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  < 
r ) )
10091, 93, 66, 84, 99syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  e.  ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( x  +  w ) ( abs  o.  -  )
x )  <  r
) )
10198, 100mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( x  +  w )  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
102 efadd 12375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  w ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) ) )
10366, 73, 102syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  ( x  +  w
) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )
104 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  +  w )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
x  +  w ) ) )
105104eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  +  w )  ->  (
( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) )  <->  ( exp `  ( x  +  w
) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) ) )
106105rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  +  w
)  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( exp `  ( x  +  w ) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )
107101, 103, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) ) )
108 eqeq2 2292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  ( ( exp `  y )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  <->  ( exp `  y )  =  z ) )
109108rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  ( E. y  e.  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
110107, 109syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
11179, 110sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z ) )
112111rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  ->  E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z ) )
11363, 112impbid 183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z  <->  E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
114 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
11516, 114ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  exp  Fn  CC
116 fvelimab 5578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )  -> 
( z  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
117115, 26, 116sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
z  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
118 fvelimab 5578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )  -> 
( ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
119115, 72, 118sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( z  /  ( exp `  x ) )  e.  ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
120113, 117, 1193bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
z  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  ( z  /  ( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
121120rabbi2dva 3377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( CC  i^i  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  /  ( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) } )
12221, 121syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) } )
123 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
124123mptpreima 5166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) " ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) }
125122, 124syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) "
( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
12667ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  e.  CC )
12776ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  =/=  0 )
128123divccncf 18410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( exp `  x
)  e.  CC  /\  ( exp `  x )  =/=  0 )  -> 
( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
129126, 127, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
1301cncfcn1 18414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( J  Cn  J )
131129, 130syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
1321efopnlem2 20004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  e.  J
)
133132adantll 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )
134 cnima 16994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )  ->  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) ) "
( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  e.  J )
135131, 133, 134syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
" ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  e.  J )
136125, 135eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )
137 blcntr 17964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
1386, 137mp3an1 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
139 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  Fun 
exp )
14016, 139ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  exp
14116fdmi 5394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  exp  =  CC
14225, 141syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  dom  exp )
143 funfvima2 5754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  exp  /\  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  dom  exp )  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
144140, 142, 143sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  ( exp `  x )  e.  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
145138, 144mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )
146145adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )
147 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  y  <->  ( exp `  x )  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
148 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( y  C_  ( exp " S )  <->  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) )
149147, 148anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) )  <-> 
( ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  /\  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) ) )
150149rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J  /\  ( ( exp `  x )  e.  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  /\  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
151150expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J  /\  ( exp `  x )  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  ->  ( ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
152136, 146, 151syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
15314, 152syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  S  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
154153expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( r  < 
pi  /\  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
155154rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( E. r  e.  RR+  (
r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
1565, 13, 155sylc 56 . . . 4  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) )
157156ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
158 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( z  e.  y  <->  ( exp `  x
)  e.  y ) )
159158anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
160159rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( E. y  e.  J  (
z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
161160ralima 5758 . . . 4  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  S  C_  CC )  -> 
( A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) )  <->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
162115, 4, 161sylancr 644 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  ( A. z  e.  ( exp " S ) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
163157, 162mpbird 223 . 2  |-  ( S  e.  J  ->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
1641cnfldtop 18293 . . 3  |-  J  e. 
Top
165 eltop2 16713 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( exp " S
)  e.  J  <->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
166164, 165ax-mp 8 . 2  |-  ( ( exp " S )  e.  J  <->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
167163, 166sylibr 203 1  |-  ( S  e.  J  ->  ( exp " S )  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    o. ccom 4693   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742   RR*cxr 8866    < clt 8867    - cmin 9037    / cdiv 9423   RR+crp 10354   abscabs 11719   expce 12343   picpi 12348   TopOpenctopn 13326   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   -cn->ccncf 18380
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
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