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Theorem efopn 20227
Description: The exponential map is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efopn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
efopn  |-  ( S  e.  J  ->  ( exp " S )  e.  J )

Proof of Theorem efopn
Dummy variables  w  r  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efopn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtopon 18505 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
3 toponss 16884 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  e.  J )  ->  S  C_  CC )
42, 3mpan 651 . . . . . 6  |-  ( S  e.  J  ->  S  C_  CC )
54sselda 3266 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
6 cnxmet 18495 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
7 pire 20050 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
8 pipos 20051 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
97, 8elrpii 10508 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR+
101cnfldtopn 18504 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1110mopni3 18253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  e.  J  /\  x  e.  S
)  /\  pi  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  < 
pi  /\  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  S )
)
129, 11mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S ) )
136, 12mp3an1 1265 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S ) )
14 imass2 5152 . . . . . . . 8  |-  ( ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  S  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) )
15 imassrn 5128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ran  exp
16 eff 12571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  exp : CC
--> CC
17 frn 5501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  ran 
exp  C_  CC )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  exp  C_  CC
1915, 18sstri 3274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  CC
20 sseqin2 3476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  CC 
<->  ( CC  i^i  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
2119, 20mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
i^i  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
22 rpxr 10512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
23 blssm 18181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
246, 23mp3an1 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )
2522, 24sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
2726sselda 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  y  e.  CC )
28 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  x  e.  CC )
2928ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  x  e.  CC )
3027, 29subcld 9304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  -  x )  e.  CC )
3130subid1d 9293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x )  -  0 )  =  ( y  -  x
) )
3231fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs `  ( ( y  -  x )  -  0 ) )  =  ( abs `  ( y  -  x ) ) )
33 0cn 8978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
34 eqid 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3534cnmetdval 18493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  -  x
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( y  -  x ) ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( ( y  -  x )  -  0 ) ) )
3630, 33, 35sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  (
( y  -  x
)  -  0 ) ) )
3734cnmetdval 18493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
3827, 29, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  =  ( abs `  ( y  -  x ) ) )
3932, 36, 383eqtr4d 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( y ( abs 
o.  -  ) x
) )
40 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
416a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
42 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  r  e.  RR+ )
4342adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR+ )
4443rpxrd 10542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR* )
45 elbl3 18164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  <  r
) )
4641, 44, 29, 27, 45syl22anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( y ( abs 
o.  -  ) x
)  <  r )
)
4740, 46mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  <  r
)
4839, 47eqbrtrd 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  < 
r )
4933a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  0  e.  CC )
50 elbl3 18164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  ( y  -  x )  e.  CC ) )  -> 
( ( y  -  x )  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  < 
r ) )
5141, 44, 49, 30, 50syl22anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x )  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( y  -  x ) ( abs  o.  -  )
0 )  <  r
) )
5248, 51mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  -  x )  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
53 efsub 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( exp `  (
y  -  x ) )  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) ) )
5427, 29, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  ( y  -  x
) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )
55 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( y  -  x )  ->  ( exp `  w )  =  ( exp `  (
y  -  x ) ) )
5655eqeq1d 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( y  -  x )  ->  (
( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) )  <->  ( exp `  ( y  -  x
) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) ) )
5756rspcev 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  -  x
)  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( exp `  ( y  -  x ) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )
5852, 54, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) ) )
59 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  (
( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
6059eqeq2d 2377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  (
( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) )  <->  ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
6160rexbidv 2649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  ( E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
6258, 61syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  y )  =  z  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
6362rexlimdva 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
64 eqcom 2368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( exp `  w )  =  ( z  / 
( exp `  x
) )  <->  ( z  /  ( exp `  x
) )  =  ( exp `  w ) )
65 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  z  e.  CC )
6628ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  x  e.  CC )
67 efcl 12572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6942rpxrd 10542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  r  e.  RR* )
70 blssm 18181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
716, 33, 70mp3an12 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( r  e.  RR*  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
7269, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
7372sselda 3266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  w  e.  CC )
74 efcl 12572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  CC  ->  ( exp `  w )  e.  CC )
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  w )  e.  CC )
76 efne0 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
7766, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  x )  =/=  0
)
7865, 68, 75, 77divmuld 9705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
z  /  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  w
)  <->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w ) )  =  z ) )
7964, 78syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  <-> 
( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z ) )
8066, 73pncan2d 9306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  -  x )  =  w )
8173subid1d 9293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w  -  0 )  =  w )
8280, 81eqtr4d 2401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  -  x )  =  ( w  -  0 ) )
8382fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs `  ( ( x  +  w )  -  x
) )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8466, 73addcld 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( x  +  w )  e.  CC )
8534cnmetdval 18493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  +  w
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  +  w ) ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( ( x  +  w )  -  x
) ) )
8684, 66, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  (
( x  +  w
)  -  x ) ) )
8734cnmetdval 18493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( w ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8873, 33, 87sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8983, 86, 883eqtr4d 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  =  ( w ( abs 
o.  -  ) 0 ) )
90 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
916a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
9242adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR+ )
9392rpxrd 10542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR* )
9433a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  0  e.  CC )
95 elbl3 18164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  <  r
) )
9691, 93, 94, 73, 95syl22anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( w ( abs 
o.  -  ) 0 )  <  r ) )
9790, 96mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  <  r
)
9889, 97eqbrtrd 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  < 
r )
99 elbl3 18164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( x  e.  CC  /\  ( x  +  w )  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  w )  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  < 
r ) )
10091, 93, 66, 84, 99syl22anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  e.  ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( x  +  w ) ( abs  o.  -  )
x )  <  r
) )
10198, 100mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( x  +  w )  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
102 efadd 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  w ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) ) )
10366, 73, 102syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  ( x  +  w
) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )
104 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  +  w )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
x  +  w ) ) )
105104eqeq1d 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  +  w )  ->  (
( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) )  <->  ( exp `  ( x  +  w
) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) ) )
106105rspcev 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  +  w
)  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( exp `  ( x  +  w ) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )
107101, 103, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) ) )
108 eqeq2 2375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  ( ( exp `  y )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  <->  ( exp `  y )  =  z ) )
109108rexbidv 2649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  ( E. y  e.  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
110107, 109syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
11179, 110sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z ) )
112111rexlimdva 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  ->  E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z ) )
11363, 112impbid 183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z  <->  E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
114 ffn 5495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
11516, 114ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  exp  Fn  CC
116 fvelimab 5685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )  -> 
( z  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
117115, 26, 116sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
z  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
118 fvelimab 5685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )  -> 
( ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
119115, 72, 118sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( z  /  ( exp `  x ) )  e.  ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
120113, 117, 1193bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
z  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  ( z  /  ( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
121120rabbi2dva 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( CC  i^i  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  /  ( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) } )
12221, 121syl5eqr 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) } )
123 eqid 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
124123mptpreima 5269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) " ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) }
125122, 124syl6eqr 2416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) "
( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
12667ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  e.  CC )
12776ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  =/=  0 )
128123divccncf 18624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( exp `  x
)  e.  CC  /\  ( exp `  x )  =/=  0 )  -> 
( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
129126, 127, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
1301cncfcn1 18628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( J  Cn  J )
131129, 130syl6eleq 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
1321efopnlem2 20226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  e.  J
)
133132adantll 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )
134 cnima 17211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )  ->  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) ) "
( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  e.  J )
135131, 133, 134syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
" ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  e.  J )
136125, 135eqeltrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )
137 blcntr 18177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
1386, 137mp3an1 1265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
139 ffun 5497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  Fun 
exp )
14016, 139ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  exp
14116fdmi 5500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  exp  =  CC
14225, 141syl6sseqr 3311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  dom  exp )
143 funfvima2 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  exp  /\  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  dom  exp )  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
144140, 142, 143sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  ( exp `  x )  e.  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
145138, 144mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )
146145adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )
147 eleq2 2427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  y  <->  ( exp `  x )  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
148 sseq1 3285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( y  C_  ( exp " S )  <->  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) )
149147, 148anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) )  <-> 
( ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  /\  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) ) )
150149rspcev 2969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J  /\  ( ( exp `  x )  e.  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  /\  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
151150expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J  /\  ( exp `  x )  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  ->  ( ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
152136, 146, 151syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
15314, 152syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  S  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
154153expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( r  < 
pi  /\  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
155154rexlimdva 2752 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( E. r  e.  RR+  (
r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
1565, 13, 155sylc 56 . . . 4  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) )
157156ralrimiva 2711 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
158 eleq1 2426 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( z  e.  y  <->  ( exp `  x
)  e.  y ) )
159158anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
160159rexbidv 2649 . . . . 5  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( E. y  e.  J  (
z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
161160ralima 5878 . . . 4  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  S  C_  CC )  -> 
( A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) )  <->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
162115, 4, 161sylancr 644 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  ( A. z  e.  ( exp " S ) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
163157, 162mpbird 223 . 2  |-  ( S  e.  J  ->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
1641cnfldtop 18506 . . 3  |-  J  e. 
Top
165 eltop2 16930 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( exp " S
)  e.  J  <->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
166164, 165ax-mp 8 . 2  |-  ( ( exp " S )  e.  J  <->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
167163, 166sylibr 203 1  |-  ( S  e.  J  ->  ( exp " S )  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   A.wral 2628   E.wrex 2629   {crab 2632    i^i cin 3237    C_ wss 3238   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   `'ccnv 4791   dom cdm 4792   ran crn 4793   "cima 4795    o. ccom 4796   Fun wfun 5352    Fn wfn 5353   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   0cc0 8884    + caddc 8887    x. cmul 8889   RR*cxr 9013    < clt 9014    - cmin 9184    / cdiv 9570   RR+crp 10505   abscabs 11926   expce 12551   picpi 12556   TopOpenctopn 13536   * Metcxmt 16579   ballcbl 16581  ℂfldccnfld 16593   Topctop 16848  TopOnctopon 16849    Cn ccn 17171   -cn->ccncf 18594
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ioc 10814  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-fac 11454  df-bc 11481  df-hash 11506  df-shft 11769  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-limsup 12152  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-ef 12557  df-sin 12559  df-cos 12560  df-tan 12561  df-pi 12562  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-lp 17085  df-perf 17086  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-haus 17260  df-cmp 17331  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cncf 18596  df-limc 19431  df-dv 19432  df-log 20132
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