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Theorem efopn 20506
Description: The exponential map is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efopn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
efopn  |-  ( S  e.  J  ->  ( exp " S )  e.  J )

Proof of Theorem efopn
Dummy variables  w  r  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efopn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtopon 18774 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
3 toponss 16953 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  e.  J )  ->  S  C_  CC )
42, 3mpan 652 . . . . . 6  |-  ( S  e.  J  ->  S  C_  CC )
54sselda 3312 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  CC )
6 cnxmet 18764 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
7 pire 20329 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
8 pipos 20330 . . . . . . . 8  |-  0  <  pi
97, 8elrpii 10575 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR+
101cnfldtopn 18773 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
1110mopni3 18481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  e.  J  /\  x  e.  S
)  /\  pi  e.  RR+ )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  < 
pi  /\  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  S )
)
129, 11mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S ) )
136, 12mp3an1 1266 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. r  e.  RR+  ( r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S ) )
14 imass2 5203 . . . . . . . 8  |-  ( ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  S  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) )
15 imassrn 5179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ran  exp
16 eff 12643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  exp : CC
--> CC
17 frn 5560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  ran 
exp  C_  CC )
1816, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  exp  C_  CC
1915, 18sstri 3321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  CC
20 sseqin2 3524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  CC 
<->  ( CC  i^i  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
2119, 20mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
i^i  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
22 rpxr 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
23 blssm 18405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
246, 23mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )
2522, 24sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )
2625ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
2726sselda 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  y  e.  CC )
28 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  x  e.  CC )
2927, 28subcld 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  -  x )  e.  CC )
3029subid1d 9360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x )  -  0 )  =  ( y  -  x
) )
3130fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs `  ( ( y  -  x )  -  0 ) )  =  ( abs `  ( y  -  x ) ) )
32 0cn 9044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
33 eqid 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3433cnmetdval 18762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  -  x
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( y  -  x ) ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( ( y  -  x )  -  0 ) ) )
3529, 32, 34sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  (
( y  -  x
)  -  0 ) ) )
3633cnmetdval 18762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( y  -  x
) ) )
3727, 28, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  =  ( abs `  ( y  -  x ) ) )
3831, 35, 373eqtr4d 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( y ( abs 
o.  -  ) x
) )
39 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
406a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
41 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  r  e.  RR+ )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR+ )
4342rpxrd 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR* )
44 elbl3 18379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  <  r
) )
4540, 43, 28, 27, 44syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( y ( abs 
o.  -  ) x
)  <  r )
)
4639, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y
( abs  o.  -  )
x )  <  r
)
4738, 46eqbrtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  < 
r )
4832a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  0  e.  CC )
49 elbl3 18379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  ( y  -  x )  e.  CC ) )  -> 
( ( y  -  x )  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( (
y  -  x ) ( abs  o.  -  ) 0 )  < 
r ) )
5040, 43, 48, 29, 49syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
y  -  x )  e.  ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( y  -  x ) ( abs  o.  -  )
0 )  <  r
) )
5147, 50mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( y  -  x )  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
52 efsub 12660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( exp `  (
y  -  x ) )  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) ) )
5327, 28, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  ( y  -  x
) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )
54 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  ( y  -  x )  ->  ( exp `  w )  =  ( exp `  (
y  -  x ) ) )
5554eqeq1d 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( y  -  x )  ->  (
( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) )  <->  ( exp `  ( y  -  x
) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) ) )
5655rspcev 3016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y  -  x
)  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( exp `  ( y  -  x ) )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) ) )
5751, 53, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) ) )
58 oveq1 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  (
( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
5958eqeq2d 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  (
( exp `  w
)  =  ( ( exp `  y )  /  ( exp `  x
) )  <->  ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
6059rexbidv 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( exp `  y )  =  z  ->  ( E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( ( exp `  y
)  /  ( exp `  x ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
6157, 60syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  y )  =  z  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
6261rexlimdva 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z  ->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
63 eqcom 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( exp `  w )  =  ( z  / 
( exp `  x
) )  <->  ( z  /  ( exp `  x
) )  =  ( exp `  w ) )
64 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  z  e.  CC )
65 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  x  e.  CC )
66 efcl 12644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
6841rpxrd 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  r  e.  RR* )
69 blssm 18405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
706, 32, 69mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( r  e.  RR*  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
7168, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  CC )
7271sselda 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  w  e.  CC )
73 efcl 12644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  CC  ->  ( exp `  w )  e.  CC )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  w )  e.  CC )
75 efne0 12657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  =/=  0 )
7665, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  x )  =/=  0
)
7764, 67, 74, 76divmuld 9772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
z  /  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  w
)  <->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w ) )  =  z ) )
7863, 77syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  <-> 
( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z ) )
7965, 72pncan2d 9373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  -  x )  =  w )
8072subid1d 9360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w  -  0 )  =  w )
8179, 80eqtr4d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  -  x )  =  ( w  -  0 ) )
8281fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs `  ( ( x  +  w )  -  x
) )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8365, 72addcld 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( x  +  w )  e.  CC )
8433cnmetdval 18762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  +  w
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( x  +  w ) ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( ( x  +  w )  -  x
) ) )
8583, 65, 84syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  (
( x  +  w
)  -  x ) ) )
8633cnmetdval 18762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( w  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( w ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8772, 32, 86sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  =  ( abs `  ( w  -  0 ) ) )
8882, 85, 873eqtr4d 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  =  ( w ( abs 
o.  -  ) 0 ) )
89 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
906a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )
9141adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR+ )
9291rpxrd 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  r  e.  RR* )
9332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  0  e.  CC )
94 elbl3 18379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( 0  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  <  r
) )
9590, 92, 93, 72, 94syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <-> 
( w ( abs 
o.  -  ) 0 )  <  r ) )
9689, 95mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( w
( abs  o.  -  )
0 )  <  r
)
9788, 96eqbrtrd 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  < 
r )
98 elbl3 18379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  r  e.  RR* )  /\  ( x  e.  CC  /\  ( x  +  w )  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  w )  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  <->  ( (
x  +  w ) ( abs  o.  -  ) x )  < 
r ) )
9990, 92, 65, 83, 98syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
x  +  w )  e.  ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  <->  ( ( x  +  w ) ( abs  o.  -  )
x )  <  r
) )
10097, 99mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( x  +  w )  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
101 efadd 12655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  w ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) ) )
10265, 72, 101syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( exp `  ( x  +  w
) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )
103 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  ( x  +  w )  ->  ( exp `  y )  =  ( exp `  (
x  +  w ) ) )
104103eqeq1d 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  +  w )  ->  (
( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) )  <->  ( exp `  ( x  +  w
) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) ) )
105104rspcev 3016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  +  w
)  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( exp `  ( x  +  w ) )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) ) )
106100, 102, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) ) )
107 eqeq2 2417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  ( ( exp `  y )  =  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  <->  ( exp `  y )  =  z ) )
108107rexbidv 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  ( E. y  e.  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  w
) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
109106, 108syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( (
( exp `  x
)  x.  ( exp `  w ) )  =  z  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
11078, 109sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  /\  w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  ->  ( ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  ->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z ) )
111110rexlimdva 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) )  ->  E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z ) )
11262, 111impbid 184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  ( E. y  e.  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y )  =  z  <->  E. w  e.  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w )  =  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) )
113 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
11416, 113ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  exp  Fn  CC
115 fvelimab 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )  -> 
( z  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
116114, 26, 115sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
z  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  E. y  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  y
)  =  z ) )
117 fvelimab 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  CC )  -> 
( ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
118114, 71, 117sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( z  /  ( exp `  x ) )  e.  ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  <->  E. w  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ( exp `  w
)  =  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) )
119112, 116, 1183bitr4d 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  /\  z  e.  CC )  ->  (
z  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  <->  ( z  /  ( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
120119rabbi2dva 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( CC  i^i  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  /  ( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) } )
12121, 120syl5eqr 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) } )
122 eqid 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x
) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
123122mptpreima 5326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) ) " ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )  =  { z  e.  CC  |  ( z  / 
( exp `  x
) )  e.  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) }
124121, 123syl6eqr 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x
) ) ) "
( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
12566ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  e.  CC )
12675ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  =/=  0 )
127122divccncf 18893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( exp `  x
)  e.  CC  /\  ( exp `  x )  =/=  0 )  -> 
( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
128125, 126, 127syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
1291cncfcn1 18897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( J  Cn  J )
130128, 129syl6eleq 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) )  e.  ( J  Cn  J
) )
1311efopnlem2 20505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  e.  J
)
132131adantll 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )
133 cnima 17287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )  ->  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  / 
( exp `  x
) ) ) "
( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  e.  J )
134130, 132, 133syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( `' ( z  e.  CC  |->  ( z  /  ( exp `  x ) ) )
" ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  e.  J )
135124, 134eqeltrd 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J )
136 blcntr 18400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
1376, 136mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
138 ffun 5556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  Fun 
exp )
13916, 138ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  exp
14016fdmi 5559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  exp  =  CC
14125, 140syl6sseqr 3359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  dom  exp )
142 funfvima2 5937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  exp  /\  (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  dom  exp )  ->  ( x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) ) )
143139, 141, 142sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( x  e.  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  ->  ( exp `  x )  e.  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
144137, 143mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )
145144adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) ) )
146 eleq2 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( ( exp `  x
)  e.  y  <->  ( exp `  x )  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) ) )
147 sseq1 3333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( y  C_  ( exp " S )  <->  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) )
148146, 147anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  -> 
( ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) )  <-> 
( ( exp `  x
)  e.  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  /\  ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) ) )
149148rspcev 3016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J  /\  ( ( exp `  x )  e.  ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  /\  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  C_  ( exp " S ) ) )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
150149expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp " (
x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e.  J  /\  ( exp `  x )  e.  ( exp " ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )  ->  ( ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
151135, 145, 150syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( ( exp " ( x (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  C_  ( exp " S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
15214, 151syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  /\  r  <  pi )  ->  ( ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  S  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
153152expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  -> 
( ( r  < 
pi  /\  ( x
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  C_  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
154153rexlimdva 2794 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  ( E. r  e.  RR+  (
r  <  pi  /\  ( x ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
1555, 13, 154sylc 58 . . . 4  |-  ( ( S  e.  J  /\  x  e.  S )  ->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) )
156155ralrimiva 2753 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
157 eleq1 2468 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( z  e.  y  <->  ( exp `  x
)  e.  y ) )
158157anbi1d 686 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
159158rexbidv 2691 . . . . 5  |-  ( z  =  ( exp `  x
)  ->  ( E. y  e.  J  (
z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
160159ralima 5941 . . . 4  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  S  C_  CC )  -> 
( A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) )  <->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x
)  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) ) ) )
161114, 4, 160sylancr 645 . . 3  |-  ( S  e.  J  ->  ( A. z  e.  ( exp " S ) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S
) )  <->  A. x  e.  S  E. y  e.  J  ( ( exp `  x )  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
162156, 161mpbird 224 . 2  |-  ( S  e.  J  ->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
1631cnfldtop 18775 . . 3  |-  J  e. 
Top
164 eltop2 16999 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( exp " S
)  e.  J  <->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) ) )
165163, 164ax-mp 8 . 2  |-  ( ( exp " S )  e.  J  <->  A. z  e.  ( exp " S
) E. y  e.  J  ( z  e.  y  /\  y  C_  ( exp " S ) ) )
166162, 165sylibr 204 1  |-  ( S  e.  J  ->  ( exp " S )  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671   {crab 2674    i^i cin 3283    C_ wss 3284   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   `'ccnv 4840   dom cdm 4841   ran crn 4842   "cima 4844    o. ccom 4845   Fun wfun 5411    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   0cc0 8950    + caddc 8953    x. cmul 8955   RR*cxr 9079    < clt 9080    - cmin 9251    / cdiv 9637   RR+crp 10572   abscabs 11998   expce 12623   picpi 12628   TopOpenctopn 13608   * Metcxmt 16645   ballcbl 16647  ℂfldccnfld 16662   Topctop 16917  TopOnctopon 16918    Cn ccn 17246   -cn->ccncf 18863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-ef 12629  df-sin 12631  df-cos 12632  df-tan 12633  df-pi 12634  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-cmp 17408  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711  df-log 20411
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