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Theorem efopnlem2 20416
Description: Lemma for efopn 20417. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efopn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
efopnlem2  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  e.  J
)

Proof of Theorem efopnlem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 20330 . . . . . . . 8  |-  log :
( CC  \  {
0 } ) -1-1-onto-> ran  log
2 f1orn 5625 . . . . . . . . 9  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log 
<->  ( log  Fn  ( CC  \  { 0 } )  /\  Fun  `' log ) )
32simprbi 451 . . . . . . . 8  |-  ( log
: ( CC  \  { 0 } ) -1-1-onto-> ran 
log  ->  Fun  `' log )
4 funcnvres 5463 . . . . . . . 8  |-  ( Fun  `' log  ->  `' ( log  |`  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  =  ( `' log  |`  ( log " ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) ) )
51, 3, 4mp2b 10 . . . . . . 7  |-  `' ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0
) ) )  =  ( `' log  |`  ( log " ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) ) )
6 df-log 20322 . . . . . . . . . 10  |-  log  =  `' ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
76cnveqi 4988 . . . . . . . . 9  |-  `' log  =  `' `' ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
8 relres 5115 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
9 dfrel2 5262 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )  <->  `' `' ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )  =  ( exp  |`  ( `' Im "
( -u pi (,] pi ) ) ) )
108, 9mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  `' `' ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )  =  ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
117, 10eqtri 2408 . . . . . . . 8  |-  `' log  =  ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )
1211reseq1i 5083 . . . . . . 7  |-  ( `' log  |`  ( log " ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )  |`  ( log " ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
13 imassrn 5157 . . . . . . . . 9  |-  ( log " ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  C_  ran  log
14 logrn 20324 . . . . . . . . 9  |-  ran  log  =  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
1513, 14sseqtri 3324 . . . . . . . 8  |-  ( log " ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  C_  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )
16 resabs1 5116 . . . . . . . 8  |-  ( ( log " ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) ) 
C_  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) )  ->  (
( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )  |`  ( log " ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( exp  |`  ( log " ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) ) )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( exp  |`  ( `' Im " ( -u pi (,] pi ) ) )  |`  ( log " ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )  =  ( exp  |`  ( log " ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
185, 12, 173eqtri 2412 . . . . . 6  |-  `' ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0
) ) )  =  ( exp  |`  ( log " ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) ) )
1918imaeq1i 5141 . . . . 5  |-  ( `' ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
" ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  =  ( ( exp  |`  ( log " ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) ) ) "
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )
20 cnxmet 18679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
22 0cn 9018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  0  e.  CC )
24 rpxr 10552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2524adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  R  e.  RR* )
26 blssm 18343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  C_  CC )
2721, 23, 25, 26syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  C_  CC )
2827sselda 3292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  x  e.  CC )
2928imcld 11928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( Im `  x
)  e.  RR )
30 efopnlem1 20415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( abs `  (
Im `  x )
)  <  pi )
31 pire 20240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  pi  e.  RR
32 abslt 12046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Im `  x
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
Im `  x )
)  <  pi  <->  ( -u pi  <  ( Im `  x
)  /\  ( Im `  x )  <  pi ) ) )
3329, 31, 32sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( ( abs `  (
Im `  x )
)  <  pi  <->  ( -u pi  <  ( Im `  x
)  /\  ( Im `  x )  <  pi ) ) )
3430, 33mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  x )  /\  ( Im `  x
)  <  pi )
)
3534simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  -u pi  <  ( Im
`  x ) )
3634simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( Im `  x
)  <  pi )
3731renegcli 9295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u pi  e.  RR
3837rexri 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR*
3931rexri 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  RR*
40 elioo2 10890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u pi  e.  RR*  /\  pi  e.  RR* )  ->  ( ( Im `  x )  e.  (
-u pi (,) pi ) 
<->  ( ( Im `  x )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im
`  x )  /\  ( Im `  x )  <  pi ) ) )
4138, 39, 40mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Im `  x )  e.  ( -u pi (,) pi )  <->  ( (
Im `  x )  e.  RR  /\  -u pi  <  ( Im `  x
)  /\  ( Im `  x )  <  pi ) )
4229, 35, 36, 41syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  -> 
( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) )
43 imf 11846 . . . . . . . . . . 11  |-  Im : CC
--> RR
44 ffn 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Im : CC --> RR  ->  Im  Fn  CC )
45 elpreima 5790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Im  Fn  CC  ->  (
x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( Im `  x
)  e.  ( -u pi (,) pi ) ) ) )
4643, 44, 45mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( Im
`  x )  e.  ( -u pi (,) pi ) ) )
4728, 42, 46sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  /\  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  ->  x  e.  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
4847ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  (
x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  ->  x  e.  ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) ) )
4948ssrdv 3298 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  C_  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
50 df-ima 4832 . . . . . . . 8  |-  ( log " ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  =  ran  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0
) ) )
51 eqid 2388 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
5251logf1o2 20409 . . . . . . . . 9  |-  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
53 f1ofo 5622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0
) ) ) : ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) -1-1-onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )  ->  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) : ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) -onto-> ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) ) )
54 forn 5597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0
) ) ) : ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
-onto-> ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) )  ->  ran  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0
) ) )  =  ( `' Im "
( -u pi (,) pi ) ) )
5552, 53, 54mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ran  ( log  |`  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
5650, 55eqtri 2408 . . . . . . 7  |-  ( log " ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  =  ( `' Im " ( -u pi (,) pi ) )
5749, 56syl6sseqr 3339 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  C_  ( log " ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) ) )
58 resima2 5120 . . . . . 6  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  C_  ( log " ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  ->  (
( exp  |`  ( log " ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) ) ) "
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  =  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) ) )
5957, 58syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  (
( exp  |`  ( log " ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) ) ) "
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  =  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) ) )
6019, 59syl5eq 2432 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  ( `' ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
" ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  =  ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) ) )
6151logcn 20406 . . . . . 6  |-  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  e.  ( ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )
62 difss 3418 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  C_  CC
63 ssid 3311 . . . . . . 7  |-  CC  C_  CC
64 efopn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
65 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  =  ( Jt  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) ) )
6664cnfldtop 18690 . . . . . . . . . 10  |-  J  e. 
Top
6764cnfldtopon 18689 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
6867toponunii 16921 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  =  U. J
6968restid 13589 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  CC )  =  J
)
7066, 69ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  CC )  =  J
7170eqcomi 2392 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( Jt  CC )
7264, 65, 71cncfcn 18811 . . . . . . 7  |-  ( ( ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )  =  ( ( Jt  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  Cn  J ) )
7362, 63, 72mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) -cn-> CC )  =  ( ( Jt  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  Cn  J )
7461, 73eleqtri 2460 . . . . 5  |-  ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  Cn  J )
7564cnfldtopn 18688 . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
7675blopn 18421 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  e.  J
)
7721, 23, 25, 76syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  e.  J
)
78 cnima 17252 . . . . 5  |-  ( ( ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  e.  ( ( Jt  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )  Cn  J )  /\  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  e.  J )  -> 
( `' ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  e.  ( Jt  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) ) )
7974, 77, 78sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  ( `' ( log  |`  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) )
" ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  e.  ( Jt  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
8060, 79eqeltrrd 2463 . . 3  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  e.  ( Jt  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
8151logdmopn 20408 . . . . 5  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
8281, 64eleqtrri 2461 . . . 4  |-  ( CC 
\  (  -oo (,] 0 ) )  e.  J
83 restopn2 17164 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )  e.  J )  -> 
( ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  e.  ( Jt  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  <->  ( ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  e.  J  /\  ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  C_  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) ) )
8466, 82, 83mp2an 654 . . 3  |-  ( ( exp " ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  e.  ( Jt  ( CC  \ 
(  -oo (,] 0 ) ) )  <->  ( ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  e.  J  /\  ( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  C_  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
8580, 84sylib 189 . 2  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  (
( exp " (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )  e.  J  /\  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  C_  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) ) ) )
8685simpld 446 1  |-  ( ( R  e.  RR+  /\  R  <  pi )  ->  ( exp " ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )  e.  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3261    C_ wss 3264   {csn 3758   class class class wbr 4154   `'ccnv 4818   ran crn 4820    |` cres 4821   "cima 4822    o. ccom 4823   Rel wrel 4824   Fun wfun 5389    Fn wfn 5390   -->wf 5391   -onto->wfo 5393   -1-1-onto->wf1o 5394   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924    -oocmnf 9052   RR*cxr 9053    < clt 9054    - cmin 9224   -ucneg 9225   RR+crp 10545   (,)cioo 10849   (,]cioc 10850   Imcim 11831   abscabs 11967   expce 12592   picpi 12597   ↾t crest 13576   TopOpenctopn 13577   * Metcxmt 16613   ballcbl 16615  ℂfldccnfld 16627   Topctop 16882    Cn ccn 17211   -cn->ccncf 18778   logclog 20320
This theorem is referenced by:  efopn  20417
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-ef 12598  df-sin 12600  df-cos 12601  df-tan 12602  df-pi 12603  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-limc 19621  df-dv 19622  df-log 20322
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