MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eftlcl Structured version   Unicode version

Theorem eftlcl 12713
Description: Closure of the sum of an infinite tail of the series defining the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
eftl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
eftlcl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  e.  CC )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, F    k, M, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem eftlcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . 2  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
2 nn0z 10309 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
32adantl 454 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
4 eqidd 2439 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
5 eluznn0 10551 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
65adantll 696 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  k  e.  NN0 )
7 eftl.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
87eftval 12684 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
96, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( F `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
10 simpll 732 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  A  e.  CC )
11 eftcl 12681 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
1210, 6, 11syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( A ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
139, 12eqeltrd 2512 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
147eftlcvg 12712 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  seq  M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
151, 3, 4, 13, 14isumcl 12550 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993    / cdiv 9682   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ^cexp 11387   !cfa 11571   sum_csu 12484
This theorem is referenced by:  eftlub  12715  efsep  12716  resin4p  12744  recos4p  12745  ef01bndlem  12790  sin01bnd  12791  cos01bnd  12792  dveflem  19868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-ico 10927  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485
  Copyright terms: Public domain W3C validator