Theorem eftlexOLD 7377

Description: An upper part of the series defining the exponential function converges. (Contributed by Paul Chapman, 23-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
eftlex.1	|- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
eftlex.2	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
eftlexOLD	|- (N e. NN -> E.x(<.N, + >. seq F) ~~> x)

Distinct variable groups:   A,j,y   x,A   x,F   x,N

Proof of Theorem eftlexOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnz 6147	. 2 |- (N e. NN <-> (N e. ZZ /\ 0 < N))
2		nn0ex 6107	. . . 4 |- NN0 e. V
3		eftlex.1	. . . 4 |- F = {<.j, y>. | (j e. NN0 /\ y = ((A^j) / (!` j)))}
4	2, 3	fopabex2 3618	. . 3 |- F e. V
5		fvex 3738	. . 3 |- (exp` A) e. V
6		0z 6148	. . 3 |- 0 e. ZZ
7		eftlex.2	. . . . . 6 |- A e. CC
8		eftclt 7303	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ j e. NN0) -> ((A^j) / (!` j)) e. CC)
9	7, 8	mpan 697	. . . . 5 |- (j e. NN0 -> ((A^j) / (!` j)) e. CC)
10	3, 9	fopab 3833	. . . 4 |- F:NN0-->CC
11		nn0uz 6439	. . . . 5 |- NN0 = (ZZ>` 0)
12		feq2 3627	. . . . 5 |- (NN0 = (ZZ>` 0) -> (F:NN0-->CC <-> F:(ZZ>` 0)-->CC))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . 4 |- (F:NN0-->CC <-> F:(ZZ>` 0)-->CC)
14	10, 13	mpbi 189	. . 3 |- F:(ZZ>` 0)-->CC
15		addex 5329	. . . . 5 |- + e. V
16	15, 4	seq0seqz 6543	. . . 4 |- ( + seq0 F) = (<.0, + >. seq F)
17	3	efcvg 7314	. . . . 5 |- (A e. CC -> ( + seq0 F) ~~> (exp` A))
18	7, 17	ax-mp 7	. . . 4 |- ( + seq0 F) ~~> (exp` A)
19	16, 18	eqbrtrr 2641	. . 3 |- (<.0, + >. seq F) ~~> (exp` A)
20	4, 5, 6, 14, 19	iserzex 7146	. 2 |- ((N e. ZZ /\ 0 < N) -> E.x(<.N, + >. seq F) ~~> x)
21	1, 20	sylbi 199	1 |- (N e. NN -> E.x(<.N, + >. seq F) ~~> x)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  <.cop 2415   class class class wbr 2624  {copab 2671  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  0cc0 5246   + caddc 5249   / cdiv 5306  NNcn 5308  NN0cn0 5309  ZZcz 5310   < clt 5498  ZZ>cuz 6418   seq cseqz 6532   seq0 cseq0 6533  ^cexp 6569  !cfa 6931   ~~> cli 6974  expce 7293

This theorem is referenced by:  eftlext 7378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-fac 6932  df-clim 6975  df-sum 6980  df-ef 7298

Copyright terms: Public domain