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Theorem eftlub 12405
Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eftl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
eftl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
eftl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) )
eftl.4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
eftl.5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
eftl.6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
eftlub  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  <_  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, F    k, G    k, M, n    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( n)    F( n)    G( n)    H( k, n)

Proof of Theorem eftlub
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eftl.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 eftl.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
32nnnn0d 10034 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 eftl.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
54eftlcl 12403 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  e.  CC )
61, 3, 5syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  CC )
76abscld 11934 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  e.  RR )
81abscld 11934 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
9 eftl.2 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
109reeftlcl 12404 . . 3  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( G `
 k )  e.  RR )
118, 3, 10syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  RR )
128, 3reexpcld 11278 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) ^ M )  e.  RR )
13 peano2nn0 10020 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
143, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
1514nn0red 10035 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
16 faccl 11314 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  NN )
173, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  NN )
1817, 2nnmulcld 9809 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  M )  x.  M
)  e.  NN )
1915, 18nndivred 9810 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) )  e.  RR )
2012, 19remulcld 8879 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  x.  ( ( M  +  1 )  /  ( ( ! `
 M )  x.  M ) ) )  e.  RR )
21 eqid 2296 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
222nnzd 10132 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
23 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
24 eluznn0 10304 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
253, 24sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  NN0 )
264eftval 12374 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
2726adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
28 eftcl 12371 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
291, 28sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
3027, 29eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3125, 30syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
324eftlcvg 12402 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  seq  M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
331, 3, 32syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
3421, 22, 23, 31, 33isumclim2 12237 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( F `  k
) )
35 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
369eftval 12374 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
3736adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
38 reeftcl 12372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
398, 38sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  RR )
4037, 39eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4125, 40syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4241recnd 8877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  CC )
438recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
449eftlcvg 12402 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  seq  M (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
4543, 3, 44syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
4621, 22, 35, 42, 45isumclim2 12237 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) )
47 eftabs 12373 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
481, 47sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
4927fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )
5048, 49, 373eqtr4rd 2339 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
5125, 50syldan 456 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
5221, 34, 46, 22, 31, 51iserabs 12289 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  <_  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
53 nn0uz 10278 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
54 0z 10051 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
5554a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
562nncnd 9778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
57 nn0cn 9991 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  CC )
58 nn0ex 9987 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
5958mptex 5762 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  e.  _V
609, 59eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  G  e. 
_V
6160shftval4 11588 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( ( G  shift  -u M ) `  j
)  =  ( G `
 ( M  +  j ) ) )
6256, 57, 61syl2an 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( G  shift  -u M ) `  j )  =  ( G `  ( M  +  j ) ) )
63 nn0addcl 10015 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  +  j )  e.  NN0 )
643, 63sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  j )  e. 
NN0 )
659eftval 12374 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  j )  e.  NN0  ->  ( G `
 ( M  +  j ) )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j )
)  /  ( ! `
 ( M  +  j ) ) ) )
6664, 65syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( M  +  j ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) ) )
678adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
68 reeftcl 12372 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( M  +  j
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j )
)  /  ( ! `
 ( M  +  j ) ) )  e.  RR )
6967, 64, 68syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) )  e.  RR )
7066, 69eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( M  +  j ) )  e.  RR )
71 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n )  =  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) )
7271oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
73 eftl.3 . . . . . 6  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) )
74 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  e.  _V
7572, 73, 74fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( H `
 j )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
7675adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( H `  j )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) )
7712, 17nndivred 9810 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  e.  RR )
7877adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  e.  RR )
792peano2nnd 9779 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
8079nnrecred 9807 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( M  +  1 ) )  e.  RR )
81 reexpcl 11136 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  ( M  +  1 ) )  e.  RR  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
)  e.  RR )
8280, 81sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  e.  RR )
8378, 82remulcld 8879 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  e.  RR )
8467, 64reexpcld 11278 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  e.  RR )
8512adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  e.  RR )
86 faccl 11314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  j )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( M  +  j ) )  e.  NN )
8764, 86syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  NN )
8887nnred 9777 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  RR )
8988, 83remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) )  e.  RR )
903adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
91 uzid 10258 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9222, 91syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
93 uzaddcl 10291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  j )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9492, 93sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  j )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
951absge0d 11942 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
9695adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
97 eftl.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  1 )
9897adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  <_  1
)
9967, 90, 94, 96, 98leexp2rd 11294 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  <_  (
( abs `  A
) ^ M ) )
10017adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  M )  e.  NN )
101 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 ) ^ j
)  e.  NN )
10279, 101sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  1 ) ^ j )  e.  NN )
103100, 102nnmulcld 9809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  NN )
104103nnred 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  RR )
1058, 3, 95expge0d 11279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ M ) )
10612, 105jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ M
) ) )
107106adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A
) ^ M ) ) )
108 faclbnd6 11328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) )  <_  ( ! `  ( M  +  j ) ) )
1093, 108sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  <_  ( ! `  ( M  +  j ) ) )
110 lemul1a 9626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  RR  /\  ( ! `  ( M  +  j )
)  e.  RR  /\  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ M
) ) )  /\  ( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) )  <_  ( ! `  ( M  +  j ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  x.  (
( abs `  A
) ^ M ) )  <_  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M
) ) )
111104, 88, 107, 109, 110syl31anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ! `  M
)  x.  ( ( M  +  1 ) ^ j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M
) )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) ) )
11288, 85remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M
) )  e.  RR )
113103nnrpd 10405 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  RR+ )
11485, 112, 113lemuldiv2d 10452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  <_  ( ( ! `
 ( M  +  j ) )  x.  ( ( abs `  A
) ^ M ) )  <->  ( ( abs `  A ) ^ M
)  <_  ( (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) ) )
115111, 114mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  <_  (
( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( abs `  A
) ^ M ) )  /  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  +  1 ) ^
j ) ) ) )
11687nncnd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  CC )
11712recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) ^ M )  e.  CC )
118117adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  e.  CC )
119103nncnd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  CC )
120103nnne0d 9806 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  =/=  0
)
121116, 118, 119, 120divassd 9587 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) )  =  ( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) ) )
12279nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
123122adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
12479adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
125124nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  1 )  =/=  0 )
126 nn0z 10062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  ZZ )
127126adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ZZ )
128123, 125, 127exprecd 11269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  =  ( 1  /  (
( M  +  1 ) ^ j ) ) )
129128oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( 1  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) )
13077recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  e.  CC )
131130adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  e.  CC )
132102nncnd 9778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  1 ) ^ j )  e.  CC )
133102nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  1 ) ^ j )  =/=  0 )
134131, 132, 133divrecd 9555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( 1  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) )
13517nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  CC )
136135adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  M )  e.  CC )
137 facne0 11315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  =/=  0 )
1383, 137syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  =/=  0 )
139138adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  M )  =/=  0
)
140118, 136, 132, 139, 133divdiv1d 9583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) )
141129, 134, 1403eqtr2rd 2335 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
142141oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) ) )
143121, 142eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) )  =  ( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) ) )
144115, 143breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) )
14584, 85, 89, 99, 144letrd 8989 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) )
14687nngt0d 9805 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  0  <  ( ! `  ( M  +  j ) ) )
147 ledivmul 9645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  e.  RR  /\  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) )  e.  RR  /\  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  ( M  +  j )
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j ) )  / 
( ! `  ( M  +  j )
) )  <_  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) )  <->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) ) )
14884, 83, 88, 146, 147syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) )  <_ 
( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) )  <->  ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j )
)  <_  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) ) )
149145, 148mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) )  <_ 
( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
15066, 149eqbrtrd 4059 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( M  +  j ) )  <_  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) )
15122znegcld 10135 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u M  e.  ZZ )
15260seqshft 11596 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u M  e.  ZZ )  ->  seq  0 (  +  ,  ( G 
shift  -u M ) )  =  (  seq  (
0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
) )
15354, 151, 152sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( G  shift  -u M ) )  =  (  seq  ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M ) )
154 0cn 8847 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
155 subneg 9112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 0  -  -u M
)  =  ( 0  +  M ) )
156154, 155mpan 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  CC  ->  (
0  -  -u M
)  =  ( 0  +  M ) )
157 addid2 9011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  CC  ->  (
0  +  M )  =  M )
158156, 157eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  CC  ->  (
0  -  -u M
)  =  M )
15956, 158syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  -  -u M
)  =  M )
160159seqeq1d 11068 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G )  =  seq  M (  +  ,  G ) )
161160, 46eqbrtrd 4059 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G )  ~~> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
162 seqex 11064 . . . . . . . 8  |-  seq  (
0  -  -u M
) (  +  ,  G )  e.  _V
163 climshft 12066 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u M  e.  ZZ  /\ 
seq  ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G )  e.  _V )  -> 
( (  seq  (
0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  ~~>  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  <->  seq  ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) ) )
164151, 162, 163sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  (
0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  ~~>  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  <->  seq  ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) ) )
165161, 164mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) )
166 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  (  seq  ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  e.  _V
167 sumex 12176 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
)  e.  _V
168166, 167breldm 4899 . . . . . 6  |-  ( (  seq  ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
)  ->  (  seq  ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  e.  dom  ~~>  )
169165, 168syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M )  e. 
dom 
~~>  )
170153, 169eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( G  shift  -u M ) )  e. 
dom 
~~>  )
1712nnge1d 9804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
172 1nn 9773 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
173 nnleltp1 10087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 1  <_  M  <->  1  <  ( M  + 
1 ) ) )
174172, 2, 173sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  <->  1  <  ( M  + 
1 ) ) )
175171, 174mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( M  +  1 ) )
17614nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M  +  1 ) )
17715, 176absidd 11921 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( M  +  1 ) )  =  ( M  +  1 ) )
178175, 177breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( abs `  ( M  +  1 ) ) )
179 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) )
180 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  e. 
_V
18171, 179, 180fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j )  =  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )
182181adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j )  =  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )
183122, 178, 182georeclim 12344 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) ) )  ~~>  ( ( M  + 
1 )  /  (
( M  +  1 )  -  1 ) ) )
18482recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  e.  CC )
185182, 184eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j )  e.  CC )
186182oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) ) `  j ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
18776, 186eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( H `  j )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j ) ) )
18853, 55, 130, 183, 185, 187isermulc2 12147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( M  +  1 )  -  1 ) ) ) )
189 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
190 pncan 9073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
19156, 189, 190sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
192191oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  (
( M  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  /  M ) )
193192oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( ( M  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) ) )
19415, 2nndivred 9810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  M
)  e.  RR )
195194recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  M
)  e.  CC )
196117, 195, 135, 138div23d 9589 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) ) )
197193, 196eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( ( M  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  /  M ) )  / 
( ! `  M
) ) )
198117, 195, 135, 138divassd 9587 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  / 
( ! `  M
) ) ) )
1992nnne0d 9806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
200122, 56, 135, 199, 138divdiv1d 9583 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( M  +  1 )  /  ( M  x.  ( ! `  M ) ) ) )
20156, 135mulcomd 8872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( ! `  M )
)  =  ( ( ! `  M )  x.  M ) )
202201oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  ( M  x.  ( ! `  M ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) )
203200, 202eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( M  +  1 )  /  ( ( ! `
 M )  x.  M ) ) )
204203oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  x.  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  /  ( ! `  M ) ) )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
205197, 198, 2043eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( ( M  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) ) )
206188, 205breqtrd 4063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) ) )
207 seqex 11064 . . . . . 6  |-  seq  0
(  +  ,  H
)  e.  _V
208 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) )  e. 
_V
209207, 208breldm 4899 . . . . 5  |-  (  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) )  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e.  dom  ~~>  )
210206, 209syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
21153, 55, 62, 70, 76, 83, 150, 170, 210isumle 12319 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( G `  ( M  +  j ) )  <_  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
212 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) )
213 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( k  =  ( M  +  j )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  j
) ) )
21456addid2d 9029 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  +  M
)  =  M )
215214fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
216215eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
217216biimpa 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
218217, 42syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
21953, 212, 213, 22, 55, 218isumshft 12314 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) ( G `  k )  =  sum_ j  e.  NN0  ( G `  ( M  +  j ) ) )
220215sumeq1d 12190 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) ( G `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
221219, 220eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( G `  ( M  +  j ) )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
22283recnd 8877 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  e.  CC )
22353, 55, 76, 222, 206isumclim 12236 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) ) )
224211, 221, 2233brtr3d 4068 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  <_  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
2257, 11, 20, 52, 224letrd 8989 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  <_  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246    seq cseq 11062   ^cexp 11120   !cfa 11304    shift cshi 11577   abscabs 11735    ~~> cli 11974   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  12480  eirrlem  12498  dveflem  19342  subfaclim  23734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175
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