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Theorem eftlub 12703
Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eftl.1  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
eftl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
eftl.3  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) )
eftl.4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
eftl.5  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
eftl.6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
eftlub  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  <_  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, F    k, G    k, M, n    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( n)    F( n)    G( n)    H( k, n)

Proof of Theorem eftlub
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eftl.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 eftl.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
32nnnn0d 10267 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
4 eftl.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
54eftlcl 12701 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k )  e.  CC )
61, 3, 5syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  k )  e.  CC )
76abscld 12231 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  e.  RR )
81abscld 12231 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR )
9 eftl.2 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
109reeftlcl 12702 . . 3  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( G `
 k )  e.  RR )
118, 3, 10syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  e.  RR )
128, 3reexpcld 11533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) ^ M )  e.  RR )
13 peano2nn0 10253 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
143, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
1514nn0red 10268 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
16 faccl 11569 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  NN )
173, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  NN )
1817, 2nnmulcld 10040 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  M )  x.  M
)  e.  NN )
1915, 18nndivred 10041 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) )  e.  RR )
2012, 19remulcld 9109 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  x.  ( ( M  +  1 )  /  ( ( ! `
 M )  x.  M ) ) )  e.  RR )
21 eqid 2436 . . 3  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
222nnzd 10367 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
23 eqidd 2437 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
24 eluznn0 10539 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  NN0 )
253, 24sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  k  e.  NN0 )
264eftval 12672 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( F `
 k )  =  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )
2726adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  =  ( ( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
28 eftcl 12669 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
)  e.  CC )
291, 28sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
3027, 29eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
3125, 30syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
324eftlcvg 12700 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  seq  M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  )
331, 3, 32syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
3421, 22, 23, 31, 33isumclim2 12535 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( F `  k
) )
35 eqidd 2437 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  =  ( G `  k ) )
369eftval 12672 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )
3736adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
38 reeftcl 12670 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( abs `  A ) ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
398, 38sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  RR )
4037, 39eqeltrd 2510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4125, 40syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4241recnd 9107 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  CC )
438recnd 9107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  CC )
449eftlcvg 12700 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  ->  seq  M (  +  ,  G )  e.  dom  ~~>  )
4543, 3, 44syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  e. 
dom 
~~>  )
4621, 22, 35, 42, 45isumclim2 12535 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) )
47 eftabs 12671 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( A ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
481, 47sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( A ^
k )  /  ( ! `  k )
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
4927fveq2d 5725 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( F `  k
) )  =  ( abs `  ( ( A ^ k )  /  ( ! `  k ) ) ) )
5048, 49, 373eqtr4rd 2479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
5125, 50syldan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  =  ( abs `  ( F `
 k ) ) )
5221, 34, 46, 22, 31, 51iserabs 12587 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  <_  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
53 nn0uz 10513 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
54 0z 10286 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
5554a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
562nncnd 10009 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
57 nn0cn 10224 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  CC )
58 nn0ex 10220 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
5958mptex 5959 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  A
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  e.  _V
609, 59eqeltri 2506 . . . . . 6  |-  G  e. 
_V
6160shftval4 11885 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( ( G  shift  -u M ) `  j
)  =  ( G `
 ( M  +  j ) ) )
6256, 57, 61syl2an 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( G  shift  -u M ) `  j )  =  ( G `  ( M  +  j ) ) )
63 nn0addcl 10248 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( M  +  j )  e.  NN0 )
643, 63sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  j )  e. 
NN0 )
659eftval 12672 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  j )  e.  NN0  ->  ( G `
 ( M  +  j ) )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j )
)  /  ( ! `
 ( M  +  j ) ) ) )
6664, 65syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( M  +  j ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) ) )
678adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
68 reeftcl 12670 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  ( M  +  j
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j )
)  /  ( ! `
 ( M  +  j ) ) )  e.  RR )
6967, 64, 68syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) )  e.  RR )
7066, 69eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( M  +  j ) )  e.  RR )
71 oveq2 6082 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n )  =  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) )
7271oveq2d 6090 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
73 eftl.3 . . . . . 6  |-  H  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) )
74 ovex 6099 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  e.  _V
7572, 73, 74fvmpt 5799 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( H `
 j )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
7675adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( H `  j )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) )
7712, 17nndivred 10041 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  e.  RR )
7877adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  e.  RR )
792peano2nnd 10010 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
8079nnrecred 10038 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( M  +  1 ) )  e.  RR )
81 reexpcl 11391 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  ( M  +  1 ) )  e.  RR  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
)  e.  RR )
8280, 81sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  e.  RR )
8378, 82remulcld 9109 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  e.  RR )
8467, 64reexpcld 11533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  e.  RR )
8512adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  e.  RR )
86 faccl 11569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  j )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( M  +  j ) )  e.  NN )
8764, 86syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  NN )
8887nnred 10008 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  RR )
8988, 83remulcld 9109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) )  e.  RR )
903adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
91 uzid 10493 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9222, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
93 uzaddcl 10526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  j )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9492, 93sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  j )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
951absge0d 12239 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
9695adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
97 eftl.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  1 )
9897adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( abs `  A )  <_  1
)
9967, 90, 94, 96, 98leexp2rd 11549 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  <_  (
( abs `  A
) ^ M ) )
10017adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  M )  e.  NN )
101 nnexpcl 11387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  +  1 )  e.  NN  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 ) ^ j
)  e.  NN )
10279, 101sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  1 ) ^ j )  e.  NN )
103100, 102nnmulcld 10040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  NN )
104103nnred 10008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  RR )
1058, 3, 95expge0d 11534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ M ) )
10612, 105jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ M
) ) )
107106adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A
) ^ M ) ) )
108 faclbnd6 11583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  j  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) )  <_  ( ! `  ( M  +  j ) ) )
1093, 108sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  <_  ( ! `  ( M  +  j ) ) )
110 lemul1a 9857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  RR  /\  ( ! `  ( M  +  j )
)  e.  RR  /\  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  e.  RR  /\  0  <_  ( ( abs `  A ) ^ M
) ) )  /\  ( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) )  <_  ( ! `  ( M  +  j ) ) )  -> 
( ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  x.  (
( abs `  A
) ^ M ) )  <_  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M
) ) )
111104, 88, 107, 109, 110syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ! `  M
)  x.  ( ( M  +  1 ) ^ j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M
) )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) ) )
11288, 85remulcld 9109 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M
) )  e.  RR )
113103nnrpd 10640 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  RR+ )
11485, 112, 113lemuldiv2d 10687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) )  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  <_  ( ( ! `
 ( M  +  j ) )  x.  ( ( abs `  A
) ^ M ) )  <->  ( ( abs `  A ) ^ M
)  <_  ( (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) ) )
115111, 114mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  <_  (
( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( abs `  A
) ^ M ) )  /  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  +  1 ) ^
j ) ) ) )
11687nncnd 10009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  CC )
11712recnd 9107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
) ^ M )  e.  CC )
118117adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  e.  CC )
119103nncnd 10009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  e.  CC )
120103nnne0d 10037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  =/=  0
)
121116, 118, 119, 120divassd 9818 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) )  =  ( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) ) )
12279nncnd 10009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
123122adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  1 )  e.  CC )
12479adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  1 )  e.  NN )
125124nnne0d 10037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( M  +  1 )  =/=  0 )
126 nn0z 10297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e.  ZZ )
127126adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ZZ )
128123, 125, 127exprecd 11524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  =  ( 1  /  (
( M  +  1 ) ^ j ) ) )
129128oveq2d 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( 1  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) )
13077recnd 9107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  e.  CC )
131130adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  e.  CC )
132102nncnd 10009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  1 ) ^ j )  e.  CC )
133102nnne0d 10037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  1 ) ^ j )  =/=  0 )
134131, 132, 133divrecd 9786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( 1  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) )
13517nncnd 10009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  CC )
136135adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  M )  e.  CC )
137 facne0 11570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  =/=  0 )
1383, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  =/=  0 )
139138adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ! `  M )  =/=  0
)
140118, 136, 132, 139, 133divdiv1d 9814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  / 
( ( M  + 
1 ) ^ j
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) ) )
141129, 134, 1403eqtr2rd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ M )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
142141oveq2d 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ( ! `  M )  x.  (
( M  +  1 ) ^ j ) ) ) )  =  ( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) ) )
143121, 142eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( abs `  A ) ^ M ) )  /  ( ( ! `
 M )  x.  ( ( M  + 
1 ) ^ j
) ) )  =  ( ( ! `  ( M  +  j
) )  x.  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) ) )
144115, 143breqtrd 4229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^ M )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) )
14584, 85, 89, 99, 144letrd 9220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) )
14687nngt0d 10036 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  0  <  ( ! `  ( M  +  j ) ) )
147 ledivmul 9876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  e.  RR  /\  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) )  e.  RR  /\  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  ( M  +  j )
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j ) )  / 
( ! `  ( M  +  j )
) )  <_  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) )  <->  ( ( abs `  A ) ^
( M  +  j ) )  <_  (
( ! `  ( M  +  j )
)  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) ) )
14884, 83, 88, 146, 147syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) )  <_ 
( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) )  <->  ( ( abs `  A ) ^ ( M  +  j )
)  <_  ( ( ! `  ( M  +  j ) )  x.  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) ) ) ) )
149145, 148mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ ( M  +  j ) )  /  ( ! `  ( M  +  j
) ) )  <_ 
( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
15066, 149eqbrtrd 4225 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( G `  ( M  +  j ) )  <_  (
( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
j ) ) )
15122znegcld 10370 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u M  e.  ZZ )
15260seqshft 11893 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u M  e.  ZZ )  ->  seq  0 (  +  ,  ( G 
shift  -u M ) )  =  (  seq  (
0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
) )
15354, 151, 152sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( G  shift  -u M ) )  =  (  seq  ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M ) )
154 0cn 9077 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
155 subneg 9343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 0  -  -u M
)  =  ( 0  +  M ) )
156154, 155mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  CC  ->  (
0  -  -u M
)  =  ( 0  +  M ) )
157 addid2 9242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  CC  ->  (
0  +  M )  =  M )
158156, 157eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  CC  ->  (
0  -  -u M
)  =  M )
15956, 158syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  -  -u M
)  =  M )
160159seqeq1d 11322 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G )  =  seq  M (  +  ,  G ) )
161160, 46eqbrtrd 4225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G )  ~~> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
162 seqex 11318 . . . . . . . 8  |-  seq  (
0  -  -u M
) (  +  ,  G )  e.  _V
163 climshft 12363 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u M  e.  ZZ  /\ 
seq  ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G )  e.  _V )  -> 
( (  seq  (
0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  ~~>  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  <->  seq  ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) ) )
164151, 162, 163sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  (
0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  ~~>  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  <->  seq  ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) ) )
165161, 164mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
) )
166 ovex 6099 . . . . . . 7  |-  (  seq  ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  e.  _V
167 sumex 12474 . . . . . . 7  |-  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
)  e.  _V
168166, 167breldm 5067 . . . . . 6  |-  ( (  seq  ( 0  - 
-u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M )  ~~>  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M )
( G `  k
)  ->  (  seq  ( 0  -  -u M
) (  +  ,  G )  shift  -u M
)  e.  dom  ~~>  )
169165, 168syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  ( 0  -  -u M ) (  +  ,  G ) 
shift  -u M )  e. 
dom 
~~>  )
170153, 169eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( G  shift  -u M ) )  e. 
dom 
~~>  )
1712nnge1d 10035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
172 1nn 10004 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
173 nnleltp1 10322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 1  <_  M  <->  1  <  ( M  + 
1 ) ) )
174172, 2, 173sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  M  <->  1  <  ( M  + 
1 ) ) )
175171, 174mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( M  +  1 ) )
17614nn0ge0d 10270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M  +  1 ) )
17715, 176absidd 12218 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( M  +  1 ) )  =  ( M  +  1 ) )
178175, 177breqtrrd 4231 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <  ( abs `  ( M  +  1 ) ) )
179 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) )
180 ovex 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  e. 
_V
18171, 179, 180fvmpt 5799 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j )  =  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )
182181adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j )  =  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )
183122, 178, 182georeclim 12642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) ) )  ~~>  ( ( M  + 
1 )  /  (
( M  +  1 )  -  1 ) ) )
18482recnd 9107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j )  e.  CC )
185182, 184eqeltrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j )  e.  CC )
186182oveq2d 6090 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  + 
1 ) ) ^
n ) ) `  j ) )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
18776, 186eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( H `  j )  =  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  /  ( ! `
 M ) )  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ n ) ) `
 j ) ) )
18853, 55, 130, 183, 185, 187isermulc2 12444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( M  +  1 )  -  1 ) ) ) )
189 ax-1cn 9041 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
190 pncan 9304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
19156, 189, 190sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
192191oveq2d 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  (
( M  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( M  +  1 )  /  M ) )
193192oveq2d 6090 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( ( M  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) ) )
19415, 2nndivred 10041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  M
)  e.  RR )
195194recnd 9107 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  M
)  e.  CC )
196117, 195, 135, 138div23d 9820 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) ) )
197193, 196eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( ( M  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  /  M ) )  / 
( ! `  M
) ) )
198117, 195, 135, 138divassd 9818 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  M
) )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  / 
( ! `  M
) ) ) )
1992nnne0d 10037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
200122, 56, 135, 199, 138divdiv1d 9814 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( M  +  1 )  /  ( M  x.  ( ! `  M ) ) ) )
20156, 135mulcomd 9102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( ! `  M )
)  =  ( ( ! `  M )  x.  M ) )
202201oveq2d 6090 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  /  ( M  x.  ( ! `  M ) ) )  =  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) )
203200, 202eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  /  ( ! `  M )
)  =  ( ( M  +  1 )  /  ( ( ! `
 M )  x.  M ) ) )
204203oveq2d 6090 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ M
)  x.  ( ( ( M  +  1 )  /  M )  /  ( ! `  M ) ) )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
205197, 198, 2043eqtrd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( M  +  1 )  /  ( ( M  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) ) )
206188, 205breqtrd 4229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) ) )
207 seqex 11318 . . . . . 6  |-  seq  0
(  +  ,  H
)  e.  _V
208 ovex 6099 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) )  e. 
_V
209207, 208breldm 5067 . . . . 5  |-  (  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) )  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e.  dom  ~~>  )
210206, 209syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
21153, 55, 62, 70, 76, 83, 150, 170, 210isumle 12617 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( G `  ( M  +  j ) )  <_  sum_ j  e.  NN0  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) ) )
212 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  ( 0  +  M
) )  =  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) )
213 fveq2 5721 . . . . 5  |-  ( k  =  ( M  +  j )  ->  ( G `  k )  =  ( G `  ( M  +  j
) ) )
21456addid2d 9260 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  +  M
)  =  M )
215214fveq2d 5725 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  =  ( ZZ>= `  M )
)
216215eleq2d 2503 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) )  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
217216biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )  ->  k  e.  (
ZZ>= `  M ) )
218217, 42syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
21953, 212, 213, 22, 55, 218isumshft 12612 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) ( G `  k )  =  sum_ j  e.  NN0  ( G `  ( M  +  j ) ) )
220215sumeq1d 12488 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( 0  +  M ) ) ( G `  k )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
221219, 220eqtr3d 2470 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( G `  ( M  +  j ) )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k ) )
22283recnd 9107 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( (
( ( abs `  A
) ^ M )  /  ( ! `  M ) )  x.  ( ( 1  / 
( M  +  1 ) ) ^ j
) )  e.  CC )
22353, 55, 76, 222, 206isumclim 12534 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  NN0  ( ( ( ( abs `  A ) ^ M )  / 
( ! `  M
) )  x.  (
( 1  /  ( M  +  1 ) ) ^ j ) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ M )  x.  ( ( M  +  1 )  / 
( ( ! `  M )  x.  M
) ) ) )
224211, 221, 2233brtr3d 4234 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  M ) ( G `  k )  <_  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
2257, 11, 20, 52, 224letrd 9220 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  M ) ( F `
 k ) )  <_  ( ( ( abs `  A ) ^ M )  x.  ( ( M  + 
1 )  /  (
( ! `  M
)  x.  M ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   _Vcvv 2949   class class class wbr 4205    e. cmpt 4259   dom cdm 4871   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   CCcc 8981   RRcr 8982   0cc0 8983   1c1 8984    + caddc 8986    x. cmul 8988    < clt 9113    <_ cle 9114    - cmin 9284   -ucneg 9285    / cdiv 9670   NNcn 9993   NN0cn0 10214   ZZcz 10275   ZZ>=cuz 10481    seq cseq 11316   ^cexp 11375   !cfa 11559    shift cshi 11874   abscabs 12032    ~~> cli 12271   sum_csu 12472
This theorem is referenced by:  ef01bndlem  12778  eirrlem  12796  dveflem  19856  subfaclim  24867
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061  ax-addf 9062  ax-mulf 9063
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-pm 7014  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-sup 7439  df-oi 7472  df-card 7819  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-rp 10606  df-ico 10915  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-fl 11195  df-seq 11317  df-exp 11376  df-fac 11560  df-hash 11612  df-shft 11875  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-limsup 12258  df-clim 12275  df-rlim 12276  df-sum 12473
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