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Theorem ege2le3 12387
Description: Lemma for egt2lt3 12500. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
erelem1.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
ege2le3  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10278 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0nn0 9996 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
3 1e0p1 10168 . . . . . 6  |-  1  =  ( 0  +  1 )
4 0z 10051 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
5 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
0 ) )
6 fac0 11307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ! `
 0 )  =  1
75, 6syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  1 )
87oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
9 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
109div1i 9504 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
118, 10syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
12 erelem1.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
13 1ex 8849 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5618 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( G `
 0 )  =  1 )
152, 14mp1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( G `  0
)  =  1 )
164, 15seq1i 11076 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  0 )  =  1 )
17 1nn0 9997 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
18 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
1 ) )
19 fac1 11308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ! `
 1 )  =  1
2018, 19syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  1 )
2120oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
2221, 10syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
2322, 12, 13fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( G `
 1 )  =  1 )
2417, 23mp1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( G `  1
)  =  1 )
251, 2, 3, 16, 24seqp1i 11078 . . . . 5  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
26 df-2 9820 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2725, 26syl6eqr 2346 . . . 4  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  2 )
2817a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  NN0 )
29 nn0z 10062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
30 1exp 11147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
3231oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
3332mpteq2ia 4118 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
3412, 33eqtr4i 2319 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
) )
3534efcvg 12382 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  seq  0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
369, 35mp1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
37 df-e 12366 . . . . . 6  |-  _e  =  ( exp `  1 )
3836, 37syl6breqr 4079 . . . . 5  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  G )  ~~>  _e )
39 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
4039oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
41 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e. 
_V
4240, 12, 41fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
4342adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
44 faccl 11314 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4544adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
4645nnrecred 9807 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
4743, 46eqeltrd 2370 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4845nnred 9777 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
4945nngt0d 9805 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <  ( ! `  k
) )
50 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
51 0le1 9313 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
52 divge0 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( ! `
 k )  e.  RR  /\  0  < 
( ! `  k
) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
5350, 51, 52mpanl12 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  k ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
5448, 49, 53syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
5554, 43breqtrrd 4065 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
561, 28, 38, 47, 55climserle 12152 . . . 4  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  1 )  <_  _e )
5727, 56eqbrtrrd 4061 . . 3  |-  (  T. 
->  2  <_  _e )
5857trud 1314 . 2  |-  2  <_  _e
59 nnuz 10279 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
60 1z 10069 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
6160a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
622a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  0  e.  NN0 )
6347recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
641, 62, 63, 38clim2ser 12144 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  0 )
) )
65 0p1e1 9855 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
66 seqeq1 11065 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  =  seq  1 (  +  ,  G ) )
6765, 66ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  seq  (
0  +  1 ) (  +  ,  G
)  =  seq  1
(  +  ,  G
)
6816trud 1314 . . . . . . . 8  |-  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  0
)  =  1
6968oveq2i 5885 . . . . . . 7  |-  ( _e 
-  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  0 )
)  =  ( _e 
-  1 )
7064, 67, 693brtr3g 4070 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  1 ) )
71 2cn 9832 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
7271a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  2  e.  CC )
73 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
74 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) )
75 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  e. 
_V
7673, 74, 75fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
7776adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
78 2nn 9893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
79 nnrecre 9798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
8078, 79ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
81 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
82 reexpcl 11136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )
8380, 81, 82sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR )
8483recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  CC )
8577, 84eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
86 1lt2 9902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
87 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
88 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
89 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
9088, 87, 89ltleii 8957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  2
91 absid 11797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
9287, 90, 91mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  2 )  =  2
9386, 92breqtrri 4064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  ( abs `  2
)
9493a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  1  <  ( abs `  2 ) )
9572, 94, 77georeclim 12344 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  /  (
2  -  1 ) ) )
9626oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  -  1 )  =  ( ( 1  +  1 )  -  1 )
97 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  1 )  -  1 )  =  1 )
989, 9, 97mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  +  1 )  -  1 )  =  1
9996, 98eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  -  1 )  =  1
10099oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  ( 2  /  1
)
10171div1i 9504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  1 )  =  2
102100, 101eqtri 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  2
10395, 102syl6breq 4078 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  2 )
1041, 62, 85, 103clim2ser 12144 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  -  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 ) ) )
105 seqeq1 11065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) )
10665, 105ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  seq  (
0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )  =  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )
107 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
0 ) )
108 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  e. 
_V
109107, 74, 108fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 ) )
1102, 109ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 )
111 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
11271, 111reccli 9506 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
113 exp0 11124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
) ^ 0 )  =  1 )
114112, 113ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  =  1
115110, 114eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  1
116115a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ` 
0 )  =  1 )
1174, 116seq1i 11076 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 )  =  1 )
118117trud 1314 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 )  =  1
119118oveq2i 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  ( 2  -  1 )
120119, 99eqtri 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  1
121104, 106, 1203brtr3g 4070 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  1 )
122 nnnn0 9988 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
123122, 85sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
12473oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
125 erelem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
126 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  e. 
_V
127124, 125, 126fvmpt 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
128127adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
129122, 77sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
130129oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
131128, 130eqtr4d 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) `  k ) ) )
13259, 61, 72, 121, 123, 131isermulc2 12147 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 2  x.  1 ) )
13371mulid1i 8855 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
134132, 133syl6breq 4078 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  2 )
135122, 47sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
136 remulcl 8838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  e.  RR )
13787, 83, 136sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
138122, 137sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
139128, 138eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
140 faclbnd2 11320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ k )  /  2 )  <_ 
( ! `  k
) )
141140adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  <_  ( ! `  k ) )
142 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
14378, 81, 142sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN )
144143nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR+ )
145144rphalfcld 10418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  e.  RR+ )
14645nnrpd 10405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR+ )
147145, 146lerecd 10425 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( ( 2 ^ k )  /  2
)  <_  ( ! `  k )  <->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  <_ 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) ) ) )
148141, 147mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
14971a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  e.  CC )
150143nncnd 9778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
151143nnne0d 9806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  =/=  0 )
152149, 150, 151divrecd 9555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
153 recdiv 9482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2 ^ k )  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) )  =  ( 2  /  ( 2 ^ k ) ) )
15471, 111, 153mpanr12 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) )  =  ( 2  /  ( 2 ^ k ) ) )
155150, 151, 154syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ( 2 ^ k )  /  2 ) )  =  ( 2  / 
( 2 ^ k
) ) )
156111a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  =/=  0 )
157 nn0z 10062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
158157adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
159149, 156, 158exprecd 11269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
160159oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
161152, 155, 1603eqtr4rd 2339 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
162148, 161breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
163122, 162sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
164122, 43sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
165163, 164, 1283brtr4d 4069 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
16659, 61, 70, 134, 135, 139, 165iserle 12149 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( _e  -  1 )  <_  2 )
167166trud 1314 . . . 4  |-  ( _e 
-  1 )  <_ 
2
168 ere 12386 . . . . 5  |-  _e  e.  RR
169168, 50, 87lesubaddi 9347 . . . 4  |-  ( ( _e  -  1 )  <_  2  <->  _e  <_  ( 2  +  1 ) )
170167, 169mpbi 199 . . 3  |-  _e  <_  ( 2  +  1 )
171 df-3 9821 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
172170, 171breqtrri 4064 . 2  |-  _e  <_  3
17358, 172pm3.2i 441 1  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   NN0cn0 9981   ZZcz 10040    seq cseq 11062   ^cexp 11120   !cfa 11304   abscabs 11735    ~~> cli 11974   expce 12359   _eceu 12360
This theorem is referenced by:  egt2lt3  12500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366
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