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Theorem ege2le3 12692
Description: Lemma for egt2lt3 12805. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
erelem1.2  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
Assertion
Ref Expression
ege2le3  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10520 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0nn0 10236 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
3 1e0p1 10410 . . . . . 6  |-  1  =  ( 0  +  1 )
4 0z 10293 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
5 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
0 ) )
6 fac0 11569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ! `
 0 )  =  1
75, 6syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  0  ->  ( ! `  n )  =  1 )
87oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
9 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
109div1i 9742 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  1 )  =  1
118, 10syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  0  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
12 erelem1.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
13 1ex 9086 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
1411, 12, 13fvmpt 5806 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( G `
 0 )  =  1 )
152, 14mp1i 12 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( G `  0
)  =  1 )
164, 15seq1i 11337 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  0 )  =  1 )
17 1nn0 10237 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
18 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  ( ! ` 
1 ) )
19 fac1 11570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ! `
 1 )  =  1
2018, 19syl6eq 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  ( ! `  n )  =  1 )
2120oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
1 ) )
2221, 10syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  1 )
2322, 12, 13fvmpt 5806 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( G `
 1 )  =  1 )
2417, 23mp1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( G `  1
)  =  1 )
251, 2, 3, 16, 24seqp1i 11339 . . . . 5  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
26 df-2 10058 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2725, 26syl6eqr 2486 . . . 4  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  1 )  =  2 )
2817a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  1  e.  NN0 )
29 nn0z 10304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
30 1exp 11409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
3231oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) )  =  ( 1  /  ( ! `  n )
) )
3332mpteq2ia 4291 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( 1  / 
( ! `  n
) ) )
3412, 33eqtr4i 2459 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1 ^ n )  /  ( ! `  n )
) )
3534efcvg 12687 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  seq  0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
369, 35mp1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  G )  ~~>  ( exp `  1 ) )
37 df-e 12671 . . . . . 6  |-  _e  =  ( exp `  1 )
3836, 37syl6breqr 4252 . . . . 5  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  G )  ~~>  _e )
39 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  k ) )
4039oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( ! `
 n ) )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
41 ovex 6106 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  ( ! `  k ) )  e. 
_V
4240, 12, 41fvmpt 5806 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
4342adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
44 faccl 11576 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
4544adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  NN )
4645nnrecred 10045 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  e.  RR )
4743, 46eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4845nnred 10015 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR )
4945nngt0d 10043 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <  ( ! `  k
) )
50 1re 9090 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
51 0le1 9551 . . . . . . . 8  |-  0  <_  1
52 divge0 9879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( ( ! `
 k )  e.  RR  /\  0  < 
( ! `  k
) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
5350, 51, 52mpanl12 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ! `  k
)  e.  RR  /\  0  <  ( ! `  k ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( ! `  k ) ) )
5448, 49, 53syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( 1  /  ( ! `  k )
) )
5554, 43breqtrrd 4238 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
561, 28, 38, 47, 55climserle 12456 . . . 4  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  1 )  <_  _e )
5727, 56eqbrtrrd 4234 . . 3  |-  (  T. 
->  2  <_  _e )
5857trud 1332 . 2  |-  2  <_  _e
59 nnuz 10521 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
60 1z 10311 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
6160a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
622a1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  0  e.  NN0 )
6347recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
641, 62, 63, 38clim2ser 12448 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  0 )
) )
65 0p1e1 10093 . . . . . . . 8  |-  ( 0  +  1 )  =  1
66 seqeq1 11326 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  G )  =  seq  1 (  +  ,  G ) )
6765, 66ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  seq  (
0  +  1 ) (  +  ,  G
)  =  seq  1
(  +  ,  G
)
6816trud 1332 . . . . . . . 8  |-  (  seq  0 (  +  ,  G ) `  0
)  =  1
6968oveq2i 6092 . . . . . . 7  |-  ( _e 
-  (  seq  0
(  +  ,  G
) `  0 )
)  =  ( _e 
-  1 )
7064, 67, 693brtr3g 4243 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  G )  ~~>  ( _e 
-  1 ) )
71 2cn 10070 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
7271a1i 11 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  2  e.  CC )
73 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )
74 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) )
75 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ k )  e. 
_V
7673, 74, 75fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )
7776adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
78 2nn 10133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
79 nnrecre 10036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
8078, 79ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
81 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
82 reexpcl 11398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )
8380, 81, 82sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  RR )
8483recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  e.  CC )
8577, 84eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
86 1lt2 10142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
87 2re 10069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
88 0re 9091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
89 2pos 10082 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
9088, 87, 89ltleii 9196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  2
91 absid 12101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( abs `  2
)  =  2 )
9287, 90, 91mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  2 )  =  2
9386, 92breqtrri 4237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <  ( abs `  2
)
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  1  <  ( abs `  2 ) )
9572, 94, 77georeclim 12649 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  /  (
2  -  1 ) ) )
96 2m1e1 10095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  -  1 )  =  1
9796oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  ( 2  /  1
)
9871div1i 9742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  /  1 )  =  2
9997, 98eqtri 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  /  ( 2  -  1 ) )  =  2
10095, 99syl6breq 4251 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  2 )
1011, 62, 85, 100clim2ser 12448 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  ( 2  -  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 ) ) )
102 seqeq1 11326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  seq  ( 0  +  1 ) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ) )
10365, 102ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  seq  (
0  +  1 ) (  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )  =  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) )
104 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  0  ->  (
( 1  /  2
) ^ n )  =  ( ( 1  /  2 ) ^
0 ) )
105 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  e. 
_V
106104, 74, 105fvmpt 5806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 ) )
1072, 106ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  ( ( 1  / 
2 ) ^ 0 )
108 2ne0 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  =/=  0
10971, 108reccli 9744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
110 exp0 11386 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
) ^ 0 )  =  1 )
111109, 110ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 ) ^ 0 )  =  1
112107, 111eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 0 )  =  1
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  T. 
->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) ` 
0 )  =  1 )
1144, 113seq1i 11337 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 )  =  1 )
115114trud 1332 . . . . . . . . . . 11  |-  (  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) ) ` 
0 )  =  1
116115oveq2i 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  -  (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  ( 2  -  1 )
117116, 96eqtri 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  -  (  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) ) `  0 ) )  =  1
118101, 103, 1173brtr3g 4243 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) )  ~~>  1 )
119 nnnn0 10228 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
120119, 85sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  e.  CC )
12173oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
122 erelem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  2
) ^ n ) ) )
123 ovex 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^
k ) )  e. 
_V
124121, 122, 123fvmpt 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
125124adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
126119, 77sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  / 
2 ) ^ n
) ) `  k
)  =  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )
127126oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^ n ) ) `
 k ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
128125, 127eqtr4d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( 1  /  2 ) ^
n ) ) `  k ) ) )
12959, 61, 72, 118, 120, 128isermulc2 12451 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 2  x.  1 ) )
13071mulid1i 9092 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
131129, 130syl6breq 4251 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  2 )
132119, 47sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
133 remulcl 9075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) )  e.  RR )
13487, 83, 133sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
135119, 134sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  e.  RR )
136125, 135eqeltrd 2510 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
137 faclbnd2 11582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ k )  /  2 )  <_ 
( ! `  k
) )
138137adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  <_  ( ! `  k ) )
139 nnexpcl 11394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
14078, 81, 139sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN )
141140nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR+ )
142141rphalfcld 10660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 2 ^ k
)  /  2 )  e.  RR+ )
14345nnrpd 10647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  ( ! `  k )  e.  RR+ )
144142, 143lerecd 10667 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( ( 2 ^ k )  /  2
)  <_  ( ! `  k )  <->  ( 1  /  ( ! `  k ) )  <_ 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) ) ) )
145138, 144mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
14671a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  e.  CC )
147140nncnd 10016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
148140nnne0d 10044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2 ^ k )  =/=  0 )
149146, 147, 148divrecd 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  /  ( 2 ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
150 recdiv 9720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2 ^ k )  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
( 2 ^ k
)  /  2 ) )  =  ( 2  /  ( 2 ^ k ) ) )
15171, 108, 150mpanr12 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  ( 2 ^ k
)  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) )  =  ( 2  /  ( 2 ^ k ) ) )
152147, 148, 151syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ( 2 ^ k )  /  2 ) )  =  ( 2  / 
( 2 ^ k
) ) )
153108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  2  =/=  0 )
154 nn0z 10304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  ZZ )
155154adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  k  e.  ZZ )
156146, 153, 155exprecd 11531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
157156oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 2  x.  ( 1  /  (
2 ^ k ) ) ) )
158149, 152, 1573eqtr4rd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
2  x.  ( ( 1  /  2 ) ^ k ) )  =  ( 1  / 
( ( 2 ^ k )  /  2
) ) )
159145, 158breqtrrd 4238 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e. 
NN0 )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
160119, 159sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( ! `
 k ) )  <_  ( 2  x.  ( ( 1  / 
2 ) ^ k
) ) )
161119, 43sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ! `  k
) ) )
162160, 161, 1253brtr4d 4242 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( F `  k
) )
16359, 61, 70, 131, 132, 136, 162iserle 12453 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( _e  -  1 )  <_  2 )
164163trud 1332 . . . 4  |-  ( _e 
-  1 )  <_ 
2
165 ere 12691 . . . . 5  |-  _e  e.  RR
166165, 50, 87lesubaddi 9585 . . . 4  |-  ( ( _e  -  1 )  <_  2  <->  _e  <_  ( 2  +  1 ) )
167164, 166mpbi 200 . . 3  |-  _e  <_  ( 2  +  1 )
168 df-3 10059 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
169167, 168breqtrri 4237 . 2  |-  _e  <_  3
17058, 169pm3.2i 442 1  |-  ( 2  <_  _e  /\  _e  <_  3 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   3c3 10050   NN0cn0 10221   ZZcz 10282    seq cseq 11323   ^cexp 11382   !cfa 11566   abscabs 12039    ~~> cli 12278   expce 12664   _eceu 12665
This theorem is referenced by:  egt2lt3  12805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-ico 10922  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-e 12671
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