Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  eigposi Structured version   Unicode version

Theorem eigposi 23329
 Description: A sufficient condition (first conjunct pair, that holds when is a positive operator) for an eigenvalue (second conjunct pair) to be nonnegative. Remark (ii) in [Hughes] p. 137. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
eigpos.1
eigpos.2
Assertion
Ref Expression
eigposi

Proof of Theorem eigposi
StepHypRef Expression
1 oveq2 6081 . . . . . . . 8
21eleq1d 2501 . . . . . . 7
3 oveq1 6080 . . . . . . . . 9
41, 3eqeq12d 2449 . . . . . . . 8
5 eigpos.1 . . . . . . . . 9
6 eigpos.2 . . . . . . . . . 10
76, 5hvmulcli 22507 . . . . . . . . 9
8 hire 22586 . . . . . . . . 9
95, 7, 8mp2an 654 . . . . . . . 8
104, 9syl6rbbr 256 . . . . . . 7
112, 10bitrd 245 . . . . . 6
1211adantr 452 . . . . 5
135, 6eigrei 23327 . . . . 5
1412, 13bitrd 245 . . . 4
1514biimpac 473 . . 3
1615adantlr 696 . 2
17 ax-his4 22577 . . . . 5
185, 17mpan 652 . . . 4
1918ad2antll 710 . . 3
20 simplr 732 . . . 4
211ad2antrl 709 . . . . 5
22 his5 22578 . . . . . . 7
236, 5, 5, 22mp3an 1279 . . . . . 6
2416cjred 12021 . . . . . . 7
2524oveq1d 6088 . . . . . 6
2623, 25syl5eq 2479 . . . . 5
2721, 26eqtrd 2467 . . . 4
2820, 27breqtrd 4228 . . 3
29 hiidrcl 22587 . . . . 5
305, 29ax-mp 8 . . . 4
31 prodge02 9848 . . . 4
3230, 31mpanl2 663 . . 3
3316, 19, 28, 32syl12anc 1182 . 2
3416, 33jca 519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8978  cr 8979  cc0 8980   cmul 8985   clt 9110   cle 9111  ccj 11891  chil 22412   csm 22414   csp 22415  c0v 22417 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-hfvmul 22498  ax-hfi 22571  ax-his1 22574  ax-his3 22576  ax-his4 22577 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-2 10048  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896
 Copyright terms: Public domain W3C validator